2017年高考全國Ⅰ卷理數試題和答案(2)
2017年高考全國Ⅰ卷理數試題和答案
2017年高考全國Ⅰ卷文數試題解析版
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合A=，B=，則
A.AB= B.AB
C.AB D.AB=R
【答案】A
2.為評估一種農作物的種植效果，選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的是
A.x1，x2，…，xn的平均數 B.x1，x2，…，xn的標準差
C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位數
【答案】B
【解析】
試題分析：刻畫評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的指標是標準差，故選B
【考點】樣本特征數
【名師點睛】眾數：一組數據出現(xiàn)次數最多的數叫眾數，眾數反應一組數據的多數水平; 中位數：一組數據中間的數，(起到分水嶺的作用)中位數反應一組數據的中間水平; 平均數：反應一組數據的平均水平;
方差：方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數據的波動大小(即這批數據偏離平均數的大小)并把它叫做這組數據的方差.在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數據的波動越大，越不穩(wěn)定.
標準差是方差的算術平方根，意義在于反映一個數據集的離散程度.
3.下列各式的運算結果為純虛數的是
A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)
【答案】C
4.如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是
B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析：不妨設正方形邊長為，由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即所各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，所求概率為，選B.
【考點】幾何概型
【名師點睛】對于一個具體問題能否用幾何概型的概率公式計算事件的概率，關鍵在于能否將問題幾何化，也可根據實際問題的具體情況，選取合適的參數建立適當的坐標系，在此基礎上，將實驗的每一結果一一對應于該坐標系中的一點，使得全體結果構成一個可度量的區(qū)域;另外，從幾何概型的定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞理解為對應于每個實驗結果的點落入某區(qū)域內的可能性大小，僅與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置、形狀無關.
5.已知F是雙曲線C：的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1，3)，則△APF的面積為
A. B. C. D.
【答案】D
6.如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析：由B，AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ;由C，AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ;由D，AB∥NQ，則直線AB∥平面MNQ.故A不滿足，選A.
【考點】空間位置關系判斷
【名師點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面.
7.設x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
8.函數的部分圖像大致為
A. B.
C. D.
【答案】C
9.已知函數，則
A.在(0，2)單調遞增 B.在單調遞減
C.y=的圖像關于直線x=1對稱 D.y=的圖像關于點(1，0)對稱
【答案】C
【解析】
試題分析：由題意知，，所以的圖象關于直線對稱，C正確，D錯誤;又()，在上單調遞增，在上單調遞減，A，B錯誤，故選C.
【考點】函數性質
【名師點睛】如果函數，，滿足，恒有，那么函數的圖象有對稱軸;如果函數，，滿足，恒有，那么函數的圖象有對稱中心.
10.如圖是為了求出滿足的最小偶數n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入
A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+2
【答案】D
11.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，a=2，c=，則C=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析：由題意得
，
即，所以.
由正弦定理得，即，得，故選B.
【考點】解三角形
【名師點睛】在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.
12.設A、B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是
A. B.
C. D.
【答案】A
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知向量a=(–1，2)，b=(m，1).若向量a+b與a垂直，則m=________.
【答案】7
【解析】
試題分析：由題得，因為，所以，解得
【考點】平面向量的坐標運算 ，垂直向量
【名師點睛】如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(b≠0)，則ab的充要條件是x1x2+y1y2=0.
14.曲線在點(1，2)處的切線方程為______________.
【答案】
15.已知，tan α=2，則=__________.
【答案】
【解析】
試題分析：由得
又
所以
因為
所以
因為
所以
【考點】三角函數求值
【名師點睛】三角函數求值的三種類型
(1)給角求值：關鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數.
(2)給值求值：關鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數的差異.
①一般可以適當變換已知式，求得另外函數式的值，以備應用;
?、谧儞Q待求式，便于將已知式求得的函數值代入，從而達到解題的目的.
(3)給值求角：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，確定角.
16.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________.
【答案】
形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線(這兩個多邊形需有公共點)，這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球.
三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.
(一)必考題：60分.
17.(12分)
記Sn為等比數列的前n項和，已知S2=2，S3=-6.
(1)求的通項公式;
(2)求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數列.
【答案】(1);(2)，證明見解析.
解決等差、等比數列的運算問題時，經常采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法.
18.(12分)
如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.
(1)證明：平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC，，且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側面積.
【答案】(1)證明見解析; (2).
19.(12分)
為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30 min從該生產線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm).下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經計算得，，，，其中為抽取的第個零件的尺寸，.
(1)求的相關系數，并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若，則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小).
(2)一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.
(ⅰ)從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產過程進行檢查?
(ⅱ)在之外的數據稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01)
附：樣本的相關系數，.
【答案】(1)，可以;(2)(ⅰ)需要;(ⅱ)均值與標準差估計值分別為10.02，0.09.
(ii)剔除離群值，即第13個數據，剩下數據的平均數為，這條生產線當天生產的零件尺寸的均值的估計值為10.02.
，
剔除第13個數據，剩下數據的樣本方差為，
這條生產線當天生產的零件尺寸的標準差的估計值為.
【考點】相關系數，方差均值計算
【名師點睛】解答新穎的數學題時，一是通過轉化，化“新”為“舊”;二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”;三是創(chuàng)造性地運用數學思想方法，以“新”制“新”，應特別關注創(chuàng)新題型的切入點和生長點.
20.(12分)
設A，B為曲線C：y=上兩點，A與B的橫坐標之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程.
【答案】(1)1; (2).
【解析】
21.(12分)
已知函數=ex(ex﹣a)﹣a2x.
(1)討論的單調性;
(2)若，求a的取值范圍.
【答案】(1)當，在單調遞增;當，在單調遞減，在單調遞增;當，在單調遞減，在單調遞增;(2).
【解析】
試題分析：(1)分，，分別討論函數的單調性;(2)分，，分別解，從而確定a的取值范圍.
試題解析：(1)函數的定義域為，，
?、偃?，則，在單調遞增.
?、谌?，則由得.
當時，;當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.
?、廴?，則由得.
當時，;當時，，故在單調遞減，在單調遞增.
(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.
22.[選修4―4：坐標系與參數方程](10分)
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為
.
(1)若，求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l的距離的最大值為，求.
【答案】(1)，;(2)或.
(2)直線的普通方程為，故上的點到的距離為
.
當時，的最大值為.由題設得，所以;
當時，的最大值為.由題設得，所以.
綜上，或.
【考點】參數方程
【名師點睛】本題為選修內容，先把直線與橢圓的參數方程化為直角坐標方程，聯(lián)立方程，可得交點坐標，利用橢圓的參數方程，求橢圓上一點到一條直線的距離的最大值，直接利用點到直線的距離公式，表達橢圓上的點到直線的距離，利用三角有界性確認最值，進而求得參數的值.
23.[選修4—5：不等式選講](10分)
已知函數，.
(1)當時，求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
(2)圖像法：作出函數和的圖像，結合圖像求解.
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