高考數學等比數列的通項公式相關練習及答案解析

　　1.下列數列是等比數列的是(　　)

　　A.1,1,1,1,1　　　　　　　　　　B.0,0,0，…

　　C.0，12，14，18，… D.-1，-1,1，-1，…

　　答案：A

　　2.已知{an}是等比數列，a2=2，a5=14，則公比q等于(　　)

　　A.-12 B.-2

　　C.2 D.12

　　答案：D

　　3.若等比數列的前三項分別為5，-15,45，則第5項是________.

　　答案：405

　　4.在等比數列{an}中，

　　(1)已知a3=9，a6=243，求a5;

　　(2)已知a1=98，an=13，q=23，求n.

　　解：(1)∵a6=a3q3，∴q3=27，∴q=3.

　　∴a5=a6•13=81.

　　(2)∵an=a1qn-1，∴13=98•(23)n-1.

　　∴(23)n-1=(23)3，∴n=4.

　　一、選擇題

　　1.等比數列{an}中，a1=2，q=3，則an等于(　　)

　　A.6 B.3×2n-1

　　C.2×3n-1 D.6n

　　答案：C

　　2.在等比數列{an}中，若a2=3，a5=24，則數列{an}的通項公式為(　　)

　　A.32•2n B.32•2n-2

　　C.3•2n-2 D.3•2n-1

　　解析：選C.∵q3=a5a2=243=8，∴q=2，而a1=a2q=32，∴an=32×2n-1=3•2n-2.

　　3.等比數列{an}中，a1+a2=8，a3-a1=16，則a3等于(　　)

　　A.20 B.18

　　C.10 D.8

　　解析：選B.設公比為q(q≠1)，則

　　a1+a2=a1(1+q)=8，

　　a3-a1=a1(q2-1)=16，

　　兩式相除得：1q-1=12，解得q=3.

　　又∵a1(1+q)=8，∴a1=2，

　　∴a3=a1q2=2×32=18.

　　4.(2010年高考江西卷)等比數列{an}中，|a1|=1，a5=-8a2，a5>a2，則an=(　　)

　　A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1

　　C.(-2)n D.-(-2)n

　　解析：選A.∵|a1|=1，

　　∴a1=1或a1=-1.

　　∵a5=-8a2=a2•q3，

　　∴q3=-8，∴q=-2.

　　又a5>a2，即a2q3>a2，

　　∴a2<0.

　　而a2=a1q=a1•(-2)<0，

　　∴a1=1.故an=a1•(-2)n-1=(-2)n-1.

　　5.下列四個命題中正確的是(　　)

　　A.公比q>1的等比數列的各項都大于1

　　B.公比q<0的等比數列是遞減數列

　　C.常數列是公比為1的等比數列

　　D.{lg2n}是等差數列而不是等比數列

　　解析：選D.A錯，a1=-1，q=2，數列各項均負.B錯，a1=1，q=-1，是擺動數列.C錯，常數列中0,0,0，…，不是等比數列.lg2n=nlg2，是首項為lg2，公差為lg2的等差數列，故選D.

　　6.等比數列{an}中，a1=18，q=2，則a4與a8的等比中項是(　　)

　　A.±4 B.4

　　C.±14 D.14

　　解析：選A.由an=18•2n-1=2n-4知，a4=1，a8=24，其等比中項為±4.

　　二、填空題

　　7.若x,2x+2,3x+3是一個等比數列的連續(xù)三項，則x的值為__________.

　　解析：由于x,2x+2,3x+3成等比數列，

　　∴2x+2x=3x+32x+2=32且x≠-1,0.

　　∴2(2x+2)=3x，∴x=-4. X k b 1 . c o m

　　答案：-4

　　8.等比數列{an}中，若an+2=an，則公比q=__________;若an=an+3，則公比q=__________.

　　解析：∵an+2=an，∴anq2=an，∴q=±1;

　　∵an=an+3，∴an=anq3，∴q=1.

　　答案：±1　1

　　9.等比數列{an}中，a3=3，a10=384，則該數列的通項公式為an=________.

　　解析：a3=a1q2=3，a10=a1q9=384.

　　兩式相比得q7=128，∴q=2，∴a1=34.

　　an=a1qn-1=34×2n-1=3•2n-3.

　　答案：3•2n-3

　　三、解答題

　　10.已知數列{an}滿足：lgan=3n+5，求證：{an}是等比數列.

　　證明：由lgan=3n+5，得an=103n+5，

　　∴an+1an=103n+1+5103n+5=1000=常數.

　　∴{an}是等比數列.

　　11.已知{an}為等比數列，a3=2，a2+a4=203，求{an}的通項公式.

　　解：設等比數列{an}的公比為q，

　　則q≠0.a2=a3q=2q，a4=a3q=2q，

　　∴2q+2q=203.解得q1=13，q2=3.

　　當q=13時，a1=18，

　　∴an=18×(13)n-1=2×33-n.

　　當q=3時，a1=29，

　　∴an=29×3n-1=2×3n-3.

　　綜上，當q=13時，an=2×33-n;

　　當q=3時，an=2×3n-3.

　　12.一個等比數列的前三項依次是a,2a+2,3a+3，則-1312是否是這個數列中的一項?如果是，是第幾項?如果不是，請說明理由.

　　解：∵a,2a+2,3a+3是等比數列的前三項，

　　∴a(3a+3)=(2a+2)2.

　　解得a=-1，或a=-4.

　　當a=-1時，數列的前三項依次為-1,0,0，

　　與等比數列定義矛盾，故a=-1舍去.

　　當a=-4時，數列的前三項依次為-4，-6，-9，

　　則公比為q=32，∴ an=-4(32)n-1，

　　令-4(32)n-1=-1312，

　　即(32)n-1=278=(32)3，

　　∴n-1=3，即n=4，

　　∴-1312是這個數列中的第4項.