高考數(shù)學(xué)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知識(shí)點(diǎn)
觀察歷年來(lái)的高考數(shù)學(xué)題,等比數(shù)列相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)也會(huì)涉及到,同學(xué)們平時(shí)就需要做好復(fù)習(xí),下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)的高考數(shù)學(xué)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知識(shí)點(diǎn),希望對(duì)你有幫助。
高考數(shù)學(xué)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知識(shí)點(diǎn)
一般地,如果一個(gè)數(shù)列[1]從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列(Geometric Sequences)。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。在運(yùn)用等比數(shù)列[2]的前n和時(shí),一定要注意討論公比q是否為1。
另外,一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列;反之,以任一個(gè)正數(shù)C為底,用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can,則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下,一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
1、等比中項(xiàng)定義:從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)。
(1)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式:
無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式:公比的絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)的極限叫做這個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和。
(2)由等比數(shù)列組成的新的等比數(shù)列的公比:
{an}是公比為q的等比數(shù)列
1、若A=a1+a2+……+an
等比數(shù)列公式
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+……a3n
則,A、B、C構(gòu)成新的等比數(shù)列,公比Q=q^n
2、若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
則,A、B、C構(gòu)成新的等比數(shù)列,公比Q=q
2、公式性質(zhì)
(1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am*an=ap*aq;
(2)在等比數(shù)列中,依次每 k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。
(3)“G是a、b的等比中項(xiàng)”“G^2=ab(G≠0)”.
(4)若{an}是等比數(shù)列,公比為q1,{bn}也是等比數(shù)列,公比是q2,則{a2n},{a3n}…是等比數(shù)列,公比為q1^2,q1^3…{can},c是常數(shù),{an*bn},{an/bn}是等比數(shù)列,公比為q1,q1q2,q1/q2。
(5)等比數(shù)列中,連續(xù)的,等長(zhǎng)的,間隔相等的片段和為等比。
(6)若(an)為等比數(shù)列且各項(xiàng)為正,公比為q,則(log以a為底an的對(duì)數(shù))成等差,公差為log以a為底q的對(duì)數(shù)。
(7) 等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比數(shù)列中,首項(xiàng)A1與公比q都不為零。
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
(8)由于首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫成an=(a1/q)*q^n,它的指數(shù)函數(shù)y=a^x有著密切的聯(lián)系,從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究等比數(shù)列。
3、求通項(xiàng)法
1、待定系數(shù)法:已知a(n+1)=2an+3,a1=1,求an構(gòu)造等比數(shù)列a(n+1)+x=2(an+x)
a(n+1)=2an+x,∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3
所以(a(n+1)+3)/(an+3)=2
∴{an+3}為首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
2、定義法:已知Sn=a·2^n+b,,求an的通項(xiàng)公式。
∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b
∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1
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