小升初數(shù)學(xué)必考難點詳解
小升初數(shù)學(xué)必考難點詳解
小升初數(shù)學(xué)往往最后一題都是難題，搞定了這道題目就能和別人拉開距離，對此我們該怎么做。小編在這里整理了相關(guān)知識，快來學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)吧!
小升初數(shù)學(xué)必考難點詳解
鐘表問題
鐘表行程問題是研究鐘表上的時針和分針關(guān)系的問題，常見的有兩種：
?、叛芯繒r針、分針成一定角度的問題，包括重合、成一條直線、成直角或成一定角度;
⑵研究有關(guān)時間誤差的問題。
在鐘面上每針都沿順時針方向轉(zhuǎn)動，但因速度不同總是分針追趕時針，或是分針超越時針的局面，因此常見的鐘面問題往往轉(zhuǎn)化為追及問題來解.
例題
例題1：
4時與5時之間，什么時刻時鐘的分針和時針反向成一條直線?
解答：我們從4時開始讓時針和分針追及，分針和時針成一直線，分針比時針多走50格，每分鐘多走1-1/12=11/12格，則50÷11/12=54又6/11分
答：4點54又6/11分時鐘的分針和時針成一直線。
例題2：
當(dāng)鐘表上4時10分時，時針與分針的夾角是多少度?
解答：分針每分鐘走360÷60=6度，時針每分鐘走30度÷60=0.5度，4點整分針與時針相差120度，從4點開始追及，10分鐘后分針比時針多走(6-0.5)×10=55度。
120度-55度=65度。
答：當(dāng)鐘表上4時10分時，時針與分針的夾角是65度。
扶梯問題
與流水行船不同的是，自動扶梯上的行走速度有兩種度量，一種是“單位時間運動了多少米”，一種是“單位時間走了多少級臺階”，這兩種速度看似形同，實則不等，拿流水行船問題作比較，“單位時間運動了多少米”對應(yīng)的是流水行程問題中的“船只順(逆)水速度”，而“單位時間走了多少級臺階”對應(yīng)的是“船只靜水速度”，一般奧數(shù)題目涉及自動扶梯的問題中更多的只出現(xiàn)后一種速度，即“單位時間走了多少級臺階”，所以處理數(shù)量關(guān)系的時候要非常小心，理清了各種數(shù)量關(guān)系，自動扶梯上的行程問題會變得非常簡單。
例題
例題1：小偷與警察相隔30秒先后逆向跑上一自動扶梯，小偷每秒可跨越3級階梯，警察每秒可跨越4級階梯。已知該自動扶梯共有150級階梯，每秒運行1.5級階梯，問警察能否在自動扶梯上抓住小偷?答：_____。
分析：全部以地板為參照物，那么小偷速度為每秒1.5級階梯，警察速度為每秒2.5級階梯。警察跑上電梯時相距小偷1.5×30=45級階梯，警察追上小偷需要45秒，在這45秒內(nèi)，小偷可以跑上1.5×45=67.5級階梯，那么追上小偷后，小偷在第112～第113級階梯之間，沒有超過150，所以警察能在自動扶梯上抓住小偷。
例題2：在商場里甲開始乘自動扶梯從一樓到二樓，并在上向上走，同時乙站在速度相等的并排扶梯從二層到一層。當(dāng)甲乙處于同一高度時，甲反身向下走，結(jié)果他一共走了60級，如果他一直走到頂端再反身向下走，則一共要走80級，那么，自動扶梯不動時從下到上要走多少級?
分析：向上走速度為甲和自動扶梯的速度和，向下走速度為甲和自動扶梯的速度差。
當(dāng)甲乙處于同一高度時，甲反身向下走，結(jié)果他一共走了60級，如果他一直走到頂端再反身向下走，則一共要走80級，60÷80=3/4，這說明甲乙處于同一高度時，甲的高度是兩層總高度的3/4。
則甲和自動扶梯的速度和與自動扶梯的速度之比是3/4：(1-3/4)=3：1，即甲的速度與自動扶梯速度之比2：1，甲和自動扶梯的速度差與自動扶梯的速度相等。向下走速度向上走速度的1/3，所用時間為向上走的3倍，則甲向下走的臺階數(shù)就是向上走臺階數(shù)的3倍.因此甲向上走了80÷(3+1)=20級臺階。甲的速度與自動扶梯速度之比2：1，甲走20級臺階的同時自動扶梯向上移動了10級臺階，因此如果自動扶梯不動，甲從下到上要走20+10=30級臺階。
例題3：商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了40級到達(dá)樓上，男孩走了80級到達(dá)樓下。如果男孩單位時間內(nèi)走的扶梯級數(shù)是女孩的2倍，則當(dāng)該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級?
分析：因為男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80級到達(dá)樓下與女孩走40級到達(dá)樓上所用時間相同，在這段時間中，自動扶梯向上運行了(80-40)÷2=20(級)所以扶梯可見部分有80-20=60(級)。
濃度問題
例1 爺爺有16%的糖水50克，(1)要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克?(2)若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克?
解：(1)需要加水多少克? 50×16%÷10%-50=30(克)
(2)需要加糖多少克? 50×(1-16%)÷(1-30%)-50
=10(克)
答：(1)需要加水30克，(2)需要加糖10克。
例2 我們把50%的鹽水1千克與20%的鹽水4千克混合，求混合后溶液濃度?
求出第一份溶液中溶質(zhì)(即食鹽)質(zhì)量，50%×1=0.5千克;
第二份溶液中溶質(zhì)質(zhì)量，20%×4=0.8千克;
則總?cè)苜|(zhì)質(zhì)量為0.5+0.8=1.3千克;
總?cè)芤嘿|(zhì)量為1+4=5千克。
于是，混合后溶液的濃度為：=26%。
例3 有含糖量為7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%，需要再加入多少克糖?
解析：根據(jù)題意，在7%的糖水中加糖就改變了原來糖水的濃度，糖的質(zhì)量增加了，糖水的質(zhì)量也增加了，但水的質(zhì)量并沒有改變。因此，可以先根據(jù)原來糖水中的濃度求出水的質(zhì)量，再根據(jù)后來糖水中的濃度求出現(xiàn)在糖水的質(zhì)量，用現(xiàn)在糖水的質(zhì)量減去原來糖水的質(zhì)量就是增加的糖的質(zhì)量。
原來糖水中水的質(zhì)量：600×(1-7%)=558(克)
現(xiàn)在糖水的質(zhì)量 ：558÷(1-10%)=620(克)
加入糖的質(zhì)量 ：620-600=20(克)
答：需要加入20克糖。
例4 現(xiàn)有濃度為10%的鹽水20千克。再加入多少千克濃度為30%的鹽水，可以得到濃度為22%的鹽水?
解析：這是一個溶液混合問題?；旌锨啊⒑笕芤旱臐舛雀淖兞?，但總體上溶質(zhì)及溶液的總質(zhì)量沒有改變。所以，混合前兩種溶液中溶質(zhì)的和等于混合后溶液中的溶質(zhì)的量。
20千克10%的鹽水中含鹽的質(zhì)量：20×10%=2(千克)
混合成22%時，20千克溶液中含鹽的質(zhì)量：20×22%=404(千克)
需加30%鹽水溶液的質(zhì)量：(4.4-2)÷(30%-22%)=30(千克)
答：需加入30千克濃度為30%的鹽水，可以得到濃度為22%的鹽水。
例5 將20%的鹽水與5%的鹽水混合，配成15%的鹽水600克，需要20%的鹽水和5%的鹽水各多少克?
解析：根據(jù)題意，將20%的鹽水與5%的鹽水混合配成15%的鹽水，說明混合前兩種鹽水中鹽的質(zhì)量和與混合后鹽水中鹽的質(zhì)量是相等的?？筛鶕?jù)這一數(shù)量間的相等關(guān)系列方程解答。
解：設(shè)20%的鹽水需x克，則5%的鹽水為600-x克，那么
20%x+(600-x)×5%=600×15%
X =400
600-400=200(克)
答：需要20%的鹽水400克，5%的鹽水200克。
小升初數(shù)學(xué)必考知識點總結(jié)
一、算術(shù)
1、加法交換律：兩數(shù)相加交換加數(shù)的位置，和不變。
2、加法結(jié)合律：a + b = b + a
3、乘法交換律：a × b = b × a
4、乘法結(jié)合律：a × b × c = a ×(b × c)
5、乘法分配律：a × b + a × c = a × b + c
6、除法的性質(zhì)：a ÷ b ÷ c = a ÷(b × c)
7、除法的性質(zhì)：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大(或縮小)相同的倍數(shù)，商不變。 O除以任何不是O的數(shù)都得O. 簡便乘法：被乘數(shù)、乘數(shù)末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不參加運算，有幾個零都落下，添在積的末尾。
8、有余數(shù)的除法： 被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)
二、方程、代數(shù)與等式
等式：等號左邊的數(shù)值與等號右邊的數(shù)值相等的式子叫做等式。 等式的基本性質(zhì)：等式兩邊同時乘以(或除以)一個相同的數(shù)，等式仍然成立。
方程式：含有未知數(shù)的等式叫方程式。
一元一次方程式：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次 數(shù)是一次的等式叫做一元一次方程式。學(xué)會一元一次方程式的例法及計算。即例出代有χ的算式并計算。
代數(shù)： 代數(shù)就是用字母代替數(shù)。
代數(shù)式：用字母表示的式子叫做代數(shù)式。如：3x =ab+c
三、分?jǐn)?shù)
分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾分的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。
分?jǐn)?shù)大小的比較：同分母的分?jǐn)?shù)相比較，分子大的大，分子小的小。異分母的分?jǐn)?shù)相比較，先通分然后再比較;若分子相同，分母大的反而小。
分?jǐn)?shù)的加減法則：同分母的分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分?jǐn)?shù)相加減，先通分，然后再加減。
分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。
分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作為分母。
分?jǐn)?shù)的加、減法則：同分母的分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分?jǐn)?shù)相加減，先通分，然后再加減。
倒數(shù)的概念：1.如果兩個數(shù)乘積是1，我們稱一個是另一個的倒數(shù)。這兩個數(shù)互為倒數(shù)。1的倒數(shù)是1，0沒有倒數(shù)。
分?jǐn)?shù)除以整數(shù)(0除外)，等于分?jǐn)?shù)乘以這個整數(shù)的倒數(shù)。
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以同一個數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小
分?jǐn)?shù)的除法則：除以一個數(shù)(0除外)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。
真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。
假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1.
帶分?jǐn)?shù)：把假分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)的形式，叫做帶分?jǐn)?shù)。
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以同一個數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。
四、體積和表面積
三角形的面積=底×高÷2. 公式 S= a×h÷2
正方形的面積=邊長×邊長 公式 S= a2
長方形的面積=長×寬 公式 S= a×b
平行四邊形的面積=底×高 公式 S= a×h
梯形的面積=(上底+下底)×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2
內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和=180度。
長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高 ) ×2 公式：S=(a×b+a×c+b×c)×2
正方體的表面積=棱長×棱長×6 公式： S=6a2
長方體的體積=長×寬×高 公式：V = abh
長方體(或正方體)的體積=底面積×高 公式：V = abh
正方體的體積=棱長×棱長×棱長 公式：V = a3
圓的周長=直徑×π 公式：L=πd=2πr
圓的面積=半徑×半徑×π 公式：S=πr2
圓柱的表(側(cè))面積：圓柱的表(側(cè))面積等于底面的周長乘高。公式：S=ch=πdh=2πrh
圓柱的表面積：圓柱的表面積等于底面的周長乘高再加上兩頭的圓的面積。 公式：S=ch+2s=ch+2πr2
圓柱的體積：圓柱的體積等于底面積乘高。公式：V=Sh
圓錐的體積=1/3底面×積高。公式：V=1/3Sh
五、數(shù)量關(guān)系計算公式
單價×數(shù)量=總價 2、單產(chǎn)量×數(shù)量=總產(chǎn)量
速度×時間=路程 4、工效×時間=工作總量
加數(shù)+加數(shù)=和 一個加數(shù)=和+另一個加數(shù)
被減數(shù)-減數(shù)=差 減數(shù)=被減數(shù)-差 被減數(shù)=減數(shù)+差
因數(shù)×因數(shù)=積 一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)
被除數(shù)÷除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)÷商 被除數(shù)=商×除數(shù)
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