證明三角形重心判定性質(zhì)
重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)。重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等，重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。下面小編給大家?guī)?lái)證明三角形重心判定性質(zhì)，希望能幫助到大家!
證明三角形重心判定定理
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點(diǎn)。EC、FB交于G。
求證：EG=1/2CG
證明：過(guò)E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
方法二 連接EF
利用三角形相似
求證：EG=1/2CG 即證明EF=1/2BC
利用中位線可證明EF=1/2BC利用中位線可證明EF=1/2BC
證明三角形重心判定性質(zhì)
證明方法：
在△ABC內(nèi)，三邊為a，b，c，點(diǎn)O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據(jù)重心性質(zhì)知：
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
過(guò)O，A分別作a邊上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
則，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可證S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB
在三角形ABC中，向量BO與向量BF共線，故可設(shè)BO=xBF
根據(jù)三角形加法法則：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b
向量CO與向量CD共線，故可設(shè)CO=yCD,
根據(jù)三角形加法法則：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.
所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b
則1-x= y/2， x/2=1-y，
解得x=2/3,y=2/3.
向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD
即BO：OF=CO：OD=2。
∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b
又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)
證明三角形重心判定方法
已知：△ABC中,D為BC中點(diǎn),E為AC中點(diǎn),AD與BE交于O,CO延長(zhǎng)線交AB于F。
求證：F為AB中點(diǎn). 三角形重心
證明：根據(jù)燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF,命題得證。
1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.
2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。
3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。
4、在平面直角坐標(biāo)系中,重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均,即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,
(Y1+Y2+Y3)/3);空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)(Z1+Z2+Z3)/3
5、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分. 證明：剛才證明三線交一時(shí)已證。
6、重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。
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