高一學年數(shù)學必修知識點總結(jié)
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高一學年數(shù)學必修知識點總結(jié)1
對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當指數(shù)n是負整數(shù)時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù),那么我們就可以知道:
排除了為0與負數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數(shù);
排除了為0這種可能,即對于x<0和x>0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);
排除了為負數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數(shù),a就不能是負數(shù)。
總結(jié)起來,就可以得到當a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);
如果a為負數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。
在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。
在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。
而只有a為正數(shù),0才進入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到:
(1)所有的圖形都通過(1,1)這點。
(2)當a大于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當a大于1時,冪函數(shù)圖形下凹;當a小于1大于0時,冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點。
(6)顯然冪函數(shù)無界。
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1.并集
(1)并集的定義
由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合稱為集合A與B的并集,記作A∪B(讀作"A并B");
(2)并集的符號表示
A∪B={x|x∈A或x∈B}.
并集定義的數(shù)學表達式中"或"字的意義應引起注意,用它連接的并列成分之間不一定是互相排斥的.
x∈A,或x∈B包括如下三種情況:
①x∈A,但xB;②x∈B,但xA;③x∈A,且x∈B.
由集合A中元素的互異性知,A與B的公共元素在A∪B中只出現(xiàn)一次,因此,A∪B是由所有至少屬于A、B兩者之一的元素組成的集合.
例如,設A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},則A∪B={3,4,5,6,7,8},而不是{3,5,6,8,4,5,7,8}.
2.交集
利用下圖類比并集的概念引出交集的概念.
(1)交集的定義
由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B(讀作"A交B").
(2)交集的符號表示
A∩B={x|x∈A且x∈B}.
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圓的方程定義:
圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,即圓心坐標為(a,b),只要求出a、b、r,這時圓的方程就被確定,因此確定圓方程,須三個獨立條件,其中圓心坐標是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件。
直線和圓的位置關系:
1.直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點,即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組,利用判別式Δ來討論位置關系.
①Δ>0,直線和圓相交.②Δ=0,直線和圓相切.③Δ<0,直線和圓相離.
方法二是幾何的觀點,即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.
①dR,直線和圓相離.
2.直線和圓相切,這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況,而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.
3.直線和圓相交,這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.
切線的性質(zhì)
⑴圓心到切線的距離等于圓的半徑;
⑵過切點的半徑垂直于切線;
⑶經(jīng)過圓心,與切線垂直的直線必經(jīng)過切點;
⑷經(jīng)過切點,與切線垂直的直線必經(jīng)過圓心;
當一條直線滿足
(1)過圓心;
(2)過切點;
(3)垂直于切線三個性質(zhì)中的兩個時,第三個性質(zhì)也滿足.
切線的判定定理
經(jīng)過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
切線長定理
從圓外一點作圓的兩條切線,兩切線長相等,圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.
訓,
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