高中數(shù)學基本數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用

　　函數(shù)思想和方程思想是學習數(shù)列的兩大精髓.“從基本量出發(fā)，知三求二.”這是方程思想的體現(xiàn).而“將數(shù)列看成一種特殊的函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式都是關于n的函數(shù).”則蘊含了數(shù)列中的函數(shù)思想.借助有關函數(shù)、方程的性質來解決數(shù)列問題，常能起到化難為易的功效。以下是小編給大家?guī)淼姆匠趟枷朐跀?shù)列上的應用，僅供考生閱讀。

　　函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用(含具體案例)

　　本文列舉幾例分類剖析：

　　一、方程思想

　　1.知三求二

　　等差(或等比)數(shù)列{an}的通項公式，前n項和公式集中了等差(或等比)數(shù)列的五個基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)數(shù)列最基本的題型，通過解方程的方法達到解決問題的目的.

　　例1等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若Sn=242，求n的值.

　　解(1)由a10=a1+9d=30，

　　a20=a1+19d=50，

　　解得a1=12，

　　因為n∈N*，所以n=11.

　　2.轉化為基本量

　　在等差(等比)數(shù)列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.

　　例2在等比數(shù)列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8項的和S8.

　　解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)

　　由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.

　　將a1q3=―8代入(1)，

　　得q2=―2(舍去);

　　將a1q3=8代入(1)，得q=±2.

　　當q=2時，a1=1，S8=255;

　　當q=―2時，a1=―1，S8=85.

　　3.加減消元法利用Sn求an

　　利用Sn求an是求通項公式的一種重要方法，其實這種方法就是方程思想中加減消元法的運用.

　　例3(2011年佛山二模)已知數(shù)列{an}、{bn}中，對任何正整數(shù)n都有：

　　a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.

　　若數(shù)列{bn}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式.

　　解將等式左邊看成Sn，令

　　Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.

　　依題意Sn=(n―1)?2n+1，(1)

　　又構造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)

　　兩式相減可得

　　Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).

　　又因為數(shù)列{bn}的通項公式為

　　bn=2n―1，

　　所以an=n (n≥2).

　　當n=1，由題設式子可得a1=1，符合an=n.

　　從而對一切n∈N*，都有an=n.

　　所以數(shù)列{an}的通項公式是an=n.

　　4.等差、等比的綜合問題

　　這一類的綜合問題往往還是回歸到數(shù)列的基本量去建立方程組.

　　例4設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4構成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式.

　　解根據求和定義和等差中項建立關于a1，a2，a3的方程組.

　　由已知得a1+a2+a3=7，

　　(a1+3)+(a3+4)2=3a2.

　　解得a2=2.設數(shù)列{an}的公比為q，

　　由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.

　　又S3=7，可知2q+2+2q=7，

　　即2q2―5q+2=0，

　　解得q1=2，q2=12.

　　由題意得q>1，所以q=2.

　　可得a1=1，

　　從而數(shù)列{an}的通項為an=2n―1.

　　二、函數(shù)思想

　　數(shù)列是一類定義在正整數(shù)或它的有限子集上的特殊函數(shù).可見，任何數(shù)列問題都蘊含著函數(shù)的本質及意義，具有函數(shù)的一些固有特征.如一次、二次函數(shù)的性質、函數(shù)的單調性、周期性等在數(shù)列中有廣泛的應用.如等差數(shù)列{an}的通項公式

　　an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，

　　前n項和的公式

　　Sn=na1+n(n―1)2d

　　=d2n2+(a1―d2)n，

　　當d≠0時，可以看作自變量n的一次和二次函數(shù).因此我們在解決數(shù)列問題時，應充分利用函數(shù)有關知識，以它的概念、圖象、性質為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁，揭示了它們間的內在聯(lián)系，從而有效地分解數(shù)列問題.

　　1.運用函數(shù)解析式解數(shù)列問題

　　在等差數(shù)列中，Sn是關于n的二次函數(shù)，故可用研究二次函數(shù)的方法進行解題.

　　例5等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出當n為何值時Sn有最大值.

　　分析顯然公差d≠0，所以Sn是n的二次函數(shù)且無常數(shù)項.

　　解設Sn=an2+bn(a≠0)，則

　　a×102+b×10=100，

　　a×1002+b×100=10.

　　解得a=―11100，

　　b=11110.

　　所以Sn=―11100n2+11110n.

　　從而S110=―11100×1102+11110×110

　　=―110.

　　函數(shù)Sn=―11100n2+11110n的對稱軸為

　　n=111102×11100=55211=50211.

　　因為n∈N*，

　　所以n=50時Sn有最大值.

　　2.利用函數(shù)單調性解數(shù)列問題

　　通過構造函數(shù)，求導判斷函數(shù)的單調性，從而證明數(shù)列的單調性.

　　例6已知數(shù)列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求證an>an+1.

　　解設f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，

　　則f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 　　因為x≥2，

　　所以x1+x<1，ln(1+x)>1，

　　所以f ′(x)<0.

　　即f(x)在[2，+∞)上是單調減函數(shù).

　　故當n≥2時，an>an+1.

　　例7已知數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，bn=1+anan.

　　(1)若a1=―52，求數(shù)列{bn}中的最大項和最小項的值;

　　(2)若對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍.

　　(1)分析最大、最小是函數(shù)的一個特征，一般可以從研究函數(shù)的單調性入手，用來研究函數(shù)最大值或最小值的方法同樣適用于研究數(shù)列的最大項或最小項.

　　解由題設易得an=n―72，

　　所以bn=2n―52n―7.

　　由bn=2n―52n―7=1+22n―7，

　　可考察函數(shù)f(x)=1+22x―7的單調性.

　　當x<72時，f(x)為減函數(shù)，

　　且f(x)<1;

　　當x>72時，f(x)為減函數(shù)，

　　且f(x)>1.

　　所以數(shù)列{bn}的最大項為b4=3，最小項為b3=―1.

　　(2)分析由于對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本題實際上就是求數(shù)列{bn}中的最大項.

　　由于bn=1+1n―1+a1，

　　故可以考察函數(shù)f(x)=1+1x―1+a1的形態(tài).

　　解由題，得an=n―1+a1，

　　所以bn=1+1n―1+a1.

　　考察函數(shù)f(x)=1+1x―1+a1，

　　當x<1―a1時，f(x)為減函數(shù)，

　　且f(x)<1;

　　當x>1―a1時，f(x)為減函數(shù)，

　　且f(x)>1.

　　所以要使b8是最大項，當且僅當7<1―a1<8，

　　所以a1的取值范圍是―7
　　3.利用函數(shù)周期性解數(shù)列問題

　　例8數(shù)列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.試求S100=a1+a2+…+a100的值.

　　分析從遞推式不易直接求通項，觀察前幾項a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜測該數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列.

　　解由已知

　　兩式相減得

　　通過上述實例的分析與說明，我們可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列的教學中，應重視方程函數(shù)思想的滲透，應該把函數(shù)概念、圖象、性質有機地融入到數(shù)列中，通過數(shù)列與函數(shù)知識的相互交匯，使學生的知識網絡得以不斷優(yōu)化與完善，同時也使學生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高.

　　高中數(shù)學思想方法介紹，高中數(shù)學解題思想方法與講解

　　數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數(shù)學思想是對數(shù)學事實與理論經過概括后產生的本質認識;基本數(shù)學思想則是體現(xiàn)或應該體現(xiàn)于基礎數(shù)學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數(shù)學思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。通過數(shù)學思想的培養(yǎng)，數(shù)學的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數(shù)學思想，就是掌握數(shù)學的精髓。

　　數(shù)學思想方法是對數(shù)學及規(guī)律的理性認識，是對數(shù)學知識的本質認識，是數(shù)學認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點方法。學生大腦中若不蘊含數(shù)學思想方法，會導致數(shù)學學習缺乏自主性，往往就成為離不開教師這個拐棍的被動學習者，學的數(shù)學知識不能用數(shù)學思想方法有效連接，支離破碎。所以，學生在數(shù)學學習中，大腦有了數(shù)學思想，學習才有方向導引，心中有了明確方向，才能主動思考，才有利于對數(shù)學本質的認識，才能知道如何去思考和解決問題。

　　高中數(shù)學基本數(shù)學思想

　　1.轉化與化歸思想：

　　是把那些待解決或難解決的問題化歸到已有知識范圍內可解問題的一種重要的基本數(shù)學思想.這種化歸應是等價轉化，即要求轉化過程中的前因后果應是充分必要的，這樣才能保證轉化后所得結果仍為原題的結果. 高中數(shù)學中新知識的學習過程，就是一個在已有知識和新概念的基礎上進行化歸的過程.因此，化歸思想在數(shù)學中無處不在. 化歸思想在解題教學中的的運用可概括為：化未知為已知，化難為易，化繁為簡.從而達到知識遷移使問題獲得解決.但若化歸不當也可能使問題的解決陷入困境. 例證

　　2.邏輯劃分思想(即分類與整合思想)：

　　是當數(shù)學對象的本質屬性在局部上有不同點而又不便化歸為單一本質屬性的問題解決時，而根據其不同點選擇適當?shù)膭澐謽藴史诸惽蠼?，并綜合得出答案的一種基本數(shù)學思想.但要注意按劃分標準所分各類間應滿足互相排斥，不重復，不遺漏，最簡潔的要求. 在解題教學中常用的劃分標準有：按定義劃分;按公式或定理的適用范圍劃分;按運算法則的適用條件范圍劃分;按函數(shù)性質劃分;按圖形的位置和形狀的變化劃分;按結論可能出現(xiàn)的不同情況劃分等.需說明的是： 有些問題既可用分類思想求解又可運用化歸思想或數(shù)形結合思想等將其轉化到一個新的知識環(huán)境中去考慮，而避免分類求解.運用分類思想的關鍵是尋找引起分類的原因和找準劃分標準. 例證

　　3. 函數(shù)與方程思想(即聯(lián)系思想或運動變化的思想)：

　　就是用運動和變化的觀點去分析研究具體問題中的數(shù)量關系，抽象其數(shù)量特征，建立函數(shù)關系式，利用函數(shù)或方程有關知識解決問題的一種重要的基本數(shù)學思想.

　　4. 數(shù)形結合思想：

　　將數(shù)學問題中抽象的數(shù)量關系表現(xiàn)為一定的幾何圖形的性質(或位置關系);或者把幾何圖形的性質(或位置關系)抽象為適當?shù)臄?shù)量關系，使抽象思維與形象思維結合起來，實現(xiàn)抽象的數(shù)量關系與直觀的具體形象的聯(lián)系和轉化，從而使隱蔽的條件明朗化，是化難為易，探索解題思維途徑的重要的基本數(shù)學思想.

　　5. 整體思想：

　　處理數(shù)學問題的著眼點或在整體或在局部.它是從整體角度出發(fā)，分析條件與目標之間的結構關系，對應關系，相互聯(lián)系及變化規(guī)律，從而找出最優(yōu)解題途徑的重要的數(shù)學思想.它是控制論，信息論，系統(tǒng)論中“整體—部分—整體”原則在數(shù)學中的體現(xiàn).在解題中，為了便于掌握和運用整體思想，可將這一思想概括為：記住已知(用過哪些條件?還有哪些條件未用上?如何創(chuàng)造機會把未用上的條件用上?)，想著目標(向著目標步步推理，必要時可利用圖形標示出已知和求證);看聯(lián)系，抓變化，或化歸;或數(shù)形轉換，尋求解答.一般來說，整體范圍看得越大，解法可能越好.

　　在整體思想指導下，解題技巧只需記住已知，想著目標， 步步正確推理就夠了.

　　中學數(shù)學中還有一些數(shù)學思想，如：

　　集合的思想;

　　補集思想;

　　歸納與遞推思想;

　　對稱思想;

　　逆反思想;

　　類比思想;

　　參變數(shù)思想

　　有限與無限的思想;

　　特殊與一般的思想.

　　它們大多是本文所述基本數(shù)學思想在一定知識環(huán)境中的具體體現(xiàn).所以在中學數(shù)學中，只要掌握數(shù)學基礎知識，把握代數(shù)，三角，立體幾何，解析幾何的每部分的知識點及聯(lián)系，掌握幾個常用的基本數(shù)學思想和將它們統(tǒng)一起來的整體思想，就定能找到解題途徑.提高數(shù)學解題能力。