數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)
數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)就是以強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)進(jìn)行熏陶感染,鼓勵(lì)將個(gè)人儲(chǔ)備的知識(shí)信息進(jìn)行重新組合,從而形成一些具有較高價(jià)值的新發(fā)現(xiàn)、新設(shè)想。數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)在創(chuàng)造性思維的形成過(guò)程中起到十分關(guān)鍵的作用,其不僅有助于扎實(shí)、牢固地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)也可以借助數(shù)學(xué)知識(shí)這一載體,有效掌握正確的數(shù)學(xué)思想方法,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值,進(jìn)而樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)。下面就是小編給大家?guī)?lái)的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng),希望大家喜歡!
數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)
一、“數(shù)”“形”結(jié)合解題法的理論概述
(一)方法釋義
首先,關(guān)于解析幾何的釋義,其泛指幾何學(xué)上一個(gè)小分支,主要用代數(shù)方法研究集合對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì),因此也稱作“坐標(biāo)幾何”。其包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分,其中,平面解析幾何是二維空間上的解析幾何;立體解析幾何是三維空間上的解析幾何,而立體解析幾何則比平面解析幾何更加復(fù)雜、抽象。
其次,關(guān)于數(shù)形結(jié)合的釋義,即是把題目所給條件中的“數(shù)”與“形”一一對(duì)應(yīng),用簡(jiǎn)單的、直觀的幾何圖形以及條件之間的位置關(guān)系把復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言以及條件之間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來(lái),通過(guò)形象思維與抽象思維之間的結(jié)合,以形助數(shù),或以數(shù)解形,從而使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象的問(wèn)題具體化,以起到優(yōu)化解題途徑的目的。
(二)解題思路
在遇到解析幾何時(shí),能清楚條件與問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,將“數(shù)”與“形”一一對(duì)應(yīng),便能夠快速找到解題突破點(diǎn)。事實(shí)上,當(dāng)熟練掌握到數(shù)形結(jié)合方法,能夠舉一反三時(shí),遇到的所有題目都將是同一題目了。因此,掌握數(shù)形結(jié)合思,就必須厘清下列關(guān)系:第一點(diǎn),復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等以幾何條件和幾何元素為背景建立的概念;第二點(diǎn),題目所給的等式或代數(shù)方程式的結(jié)構(gòu)中所含明顯的幾何意義;第三點(diǎn),函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系;第四點(diǎn)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系;第五點(diǎn),實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
二、“數(shù)”“形”結(jié)合法在幾何解題中的實(shí)例解析
(一)解析幾何中圓類(lèi)問(wèn)題
實(shí)踐證明,數(shù)形結(jié)合對(duì)速解圓類(lèi)問(wèn)題的幫助很大,因?yàn)樵谝话憬忸}過(guò)程中,解析幾何圓類(lèi)問(wèn)題主要圍繞求圓與圓之間的位置關(guān)系、圓與直線的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等幾方面展開(kāi)。比如在判斷圓與直線的位置關(guān)系時(shí),通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,便可以直觀地觀察到直線在圓外,但是答題需要寫(xiě)出確切的答題步驟才能得分。這時(shí)就需要有“數(shù)”“形”結(jié)合解題思想的輔導(dǎo)——以數(shù)解形:通過(guò)計(jì)算圓心到直線的距離,距離比圓的半徑大即表明直線在圓外。這是最基本的用“數(shù)”“形”結(jié)合方式解答圓類(lèi)問(wèn)題。為更為詳盡的說(shuō)明,下文將針對(duì)對(duì)“數(shù)”“形”結(jié)合法速解解析幾何圓類(lèi)問(wèn)題作出例題說(shuō)明:
例題1:已知曲線y=1+√(4-x2)與直線y=k(x-2)+4交于兩個(gè)不同的點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
解析:將曲線y=1+√(4-x2)變形,得x2+(y-1)2=4(1≤y≤3),可知曲線是以點(diǎn)A(0,1)為圓心,2為半徑的圓,但是值域y要大于1,因此是上半圓;
直線y=k(x-2)+4過(guò)定點(diǎn)B(2,4);當(dāng)直線繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至直線與圓相切,當(dāng)直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)在弧線MT之間都滿足題目要求,符合題意;
而交點(diǎn)M在直線y=1上,因此可算出M點(diǎn)的坐標(biāo),即M(-2,1);
直線BM可用點(diǎn)斜式法計(jì)算出來(lái),例題1kMB=3/4,即點(diǎn)M到點(diǎn)A之間的距離等于半徑;
列等式∣1+2k-4∣/√(1+k2),可解得kBT=5/12。因此,k∈(5/12,3/4]。
(二)解析幾何不等式問(wèn)題
運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解決解析幾何中的不等式問(wèn)題主要是將原不等式化解,通常能化解為某個(gè)曲線方程,然后將曲線方程在數(shù)軸上表示,注意計(jì)算過(guò)程中值域與定義域,然后幾個(gè)圖形的交集就是該不等式的解集。
三、結(jié)語(yǔ)
基于上述可知,合理運(yùn)用“數(shù)”“形”結(jié)合的方法,對(duì)于解析幾何的答題速度與準(zhǔn)確度都有著相當(dāng)大的優(yōu)勢(shì),其不僅能夠減少運(yùn)算量,還能顯著節(jié)省答題時(shí)間,提高解題正確率。
高中數(shù)學(xué)考試中常用三種解題技巧
一、“構(gòu)造法+函數(shù)法”的結(jié)合
而且本題還可以從另一個(gè)思路進(jìn)行解答,就是運(yùn)用復(fù)數(shù)模的概念,將相聯(lián)系的數(shù)據(jù)和看成一個(gè)模函數(shù),仍然可以得到所求的結(jié)果。
二、轉(zhuǎn)換法
這種方法是體現(xiàn)學(xué)生的想象力及創(chuàng)新能力的方法,也是數(shù)學(xué)解題技巧中最富有挑戰(zhàn)性的方法,能將復(fù)雜的題型輔以轉(zhuǎn)換的功能,成為簡(jiǎn)單的、易被理解的題型。比如,一個(gè)正方體平面為ABCB和A1B1C1D1,在正方體的棱長(zhǎng)D1C1和C1B1分別設(shè)置兩點(diǎn)E和F為中點(diǎn),AC與BD相交于P點(diǎn),A1C1于EF相交于Q點(diǎn),求證:(1)點(diǎn)D、B、F、B在同一平面上;(2)如果線段A1C通過(guò)平面DBFE,交點(diǎn)到R點(diǎn),那么P、R、Q三點(diǎn)共線?
解題(1):由題可知:線段EF是△D1B1C1的中位線,所以,EF與B1D1平行,在正方體AC1中,線段B1D1與BD平行,相應(yīng)得出:線段EF與線段BD相平行,由此得出線段EF和BD在一個(gè)平面,所以可以求得點(diǎn)D、B、F、E在同一個(gè)平面。
解題(2):假設(shè)平面A1ACC1為x,平面BDEF為y,由于Q點(diǎn)在平面AC,所以Q點(diǎn)也屬于平面x,為x和y的交點(diǎn),同屬兩個(gè)平面的點(diǎn)。同理可得,點(diǎn)P也屬x、y的公共點(diǎn),而R點(diǎn)是平面A1C與平面y的交點(diǎn),所以,可以得到P、Q、R三點(diǎn)共線。
三、反證法
任何事物的結(jié)果有時(shí)順著程序去思考,往往不得要領(lǐng),倘若從結(jié)果向事物開(kāi)始的方向或用假設(shè)的反方向去推理,反倒會(huì)“一片洞天”。數(shù)學(xué)解題技巧也是如此。首先,假設(shè)命題結(jié)論相反的答案,順理演繹地解答,得出假設(shè)的矛盾結(jié)果,從另一側(cè)面論證了正確答案。例如,蘇教版教材必修1《函數(shù)》章節(jié),已知函數(shù)f(x)是一項(xiàng)正負(fù)無(wú)限大范圍內(nèi)的增函數(shù),a、b都為實(shí)數(shù),求證:(1)假設(shè):(a+b)≥0,則函數(shù)式表示為:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)成立;(2)求證(1)問(wèn)中逆命題是否正確。
解題分析:(1)因?yàn)椋╝+b)≥0,移項(xiàng)后,可得:a≥-b,由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),則:f(a)≥f(-b),又(a+b)≥0,移項(xiàng)后,可得:b≥-a,f(b)≥f(-a);兩個(gè)方程相加,得:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),由此證明完畢。
解題(2)分析思路就是由(1)中得出的結(jié)論f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),反證得出(a+b)≥0是否成立。于是,我們先假設(shè)(a+b)<0成立,那么,移項(xiàng)后,分別出現(xiàn)兩個(gè)不等式函數(shù),即:f(a) f(b) 四、逐項(xiàng)消除法(也可稱:歸納法)
這種方法就是將數(shù)列前項(xiàng)與后項(xiàng)進(jìn)行規(guī)律查找,逐項(xiàng)消除或歸納合并的方法去求得答案。在蘇教版必修5《數(shù)列》章節(jié)中,有一道習(xí)題為:求:1/2+2/3!+3/4!+4/5!+5/6!+…+(n-1)/n!的和;
解題分析:這道習(xí)題就是按照一定的規(guī)律進(jìn)行遞增的集合,那么,就可以運(yùn)用求和的公式,轉(zhuǎn)化為:Sn=1/1-1/2+1/2+1/3+…+1/(n-2)!-1/(n-1)!+1/(n-1)!-1/n=1-(1/n)的形式進(jìn)行解答,使解題的速度效率提高。
數(shù)學(xué)解題方法多種多樣,熟練掌握解題技巧不但可以發(fā)掘出學(xué)生的創(chuàng)新思維,而且可以通過(guò)發(fā)散性思維激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,將數(shù)學(xué)成為萬(wàn)變的花筒,神奇又有趣,更好地培養(yǎng)高中生善于思考,細(xì)心觀察,不斷總結(jié)的良好習(xí)慣。既鍛煉了高中生的邏輯思維能力,又練就了他們多角度、多層次地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
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