排列組合概率題解題技巧
排列組合概率題解題技巧有哪些?怎么樣解決這類問題?下面是小編為大家整理的關(guān)于排列組合概率題解題技巧，希望對您有所幫助。歡迎大家閱讀參考學(xué)習(xí)!
排列組合概率題解題技巧
1.排列、組合、概率與錯位公式
2.排列組合概率解題思路——分類法
3.例題1：繁瑣的計(jì)算導(dǎo)致正確率變低
4.例題2：通過選項(xiàng)思考暴力的可能性
5.例題3：極為簡單，一半做錯的題
6.例題4：分不同情況考慮安排方案
7.例題5：分不同情況考慮安排方案
8.例題6：理解排列組合題的關(guān)鍵
一、排列、組合、概率與錯位公式
「數(shù)量關(guān)系」板塊中的「排列、組合、概率」方面的題目每年必考、國考省考都會考，而此類題的難度一般較高，因此掌握它們的解題方法是非常有必要的。
總體來說，此類題目的公式非常簡單，大致只有三個半，即排列公式、組合公式、概率公式和錯位排列公式。
(1)排列公式
A(總個數(shù)，選出排列的個數(shù))
特點(diǎn)是每個個體有「排列」的獨(dú)特性，誰先選、誰后選會影響結(jié)果。
例如5個人選3個排隊(duì)，5個項(xiàng)目選3個先后完成，兩種情況的運(yùn)算均為：
A(5，3)=5×4×3=60種方式
(2)組合公式
C(總個數(shù)，選出組合的個數(shù))
特點(diǎn)是每個個體沒有「排列」的獨(dú)特性，誰先選、誰后選都不影響結(jié)果。
例如5個人選3個參加比賽，5個項(xiàng)目選3個于今年內(nèi)完成(不要求完成順序)，則運(yùn)算均為：
C(5，3)=C(5，2)
=5×4÷(1×2)=10種方式
注意C(5，3)一般要轉(zhuǎn)換為C(5，2)，其原因是：
C(5，3)=5×4×3÷(1×2×3)=5×4÷2，中間要約去3，因此可能會多花兩三秒鐘，故要盡量節(jié)約時間。
注：排列組合公式很好記憶，由于公考中考察的「排列組合概率」題的數(shù)值不會很大，因此在實(shí)際考試中，直接在紙上用筆列草稿即可：
總數(shù)×(總數(shù)-1)×(總數(shù)-2)×……
一直讓相乘數(shù)字的個數(shù)達(dá)到「選出的個數(shù)」，即為排列公式;
再從1開始乘，乘到「選出的個數(shù)」，用排列公式得出的結(jié)果除以該數(shù)即為「組合公式」。
關(guān)于「排列組合」，最標(biāo)準(zhǔn)的公式如下：
這兩個公式很優(yōu)美，不過大家實(shí)際做題時沒必要這么列，畢竟公考中的n和m都不會很大，一邊列公式一邊約分(尤其是對于組合公式)即可。
只要熟練掌握「排列組合」公式，理解兩者的不同，就很容易解出答案。
(3)概率公式
發(fā)生某情況的概率=發(fā)生該情況的個數(shù)/總情況的個數(shù)
概率公式極為簡單，也很好理解，而「總情況個數(shù)」一般也能快速得出，此類題的解題關(guān)鍵是「發(fā)生該情況的個數(shù)」。
(4)錯位排列公式
此類公式只能算「半個公式」，因?yàn)樗谂帕薪M合公式，但公式的步驟又很難理解，而且它雖然在公考中出現(xiàn)過，但出現(xiàn)次數(shù)極少，因此大家只要記住它的描述和數(shù)值即可。
錯位排列的描述為「全部錯位」，例如：
一個人寫了n封不同的信及相應(yīng)的n個不同的信封，他把這n封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的裝法有多少種?
上面這道題就是「錯位排列」的最初源頭，類似描述包括「5個部門5個人員重新分配，都不回到原部門」等。
「錯位排列」的數(shù)據(jù)很好記憶，總共只有3個(用D表示)：
D1= 0，D2= 1，D3=2，D4= 9，
D5= 44，D6= 265，D7= 1854。
D1、D2太小，D7及以上太大，一般不會考;D3可直接從紙上列出情況，很好理解。只要記住D4~D6的結(jié)果即可。
二、排列組合概率解題思路——分類法
根據(jù)上面的描述可發(fā)現(xiàn)，「排列組合」題的公式一點(diǎn)都不難，而且也很好記憶。此類題的難點(diǎn)主要在于「確定其屬于什么類別」。
在實(shí)際考試中，「排列」「組合」「概率」三者經(jīng)常結(jié)合在一起，往往一道求概率的題，其分情況和總情況都需要用「排列組合公式」去求得結(jié)果。
根據(jù)公考出現(xiàn)的題目，可將其大致分為以下幾類(有時候下面幾類會再次結(jié)合)：
(1)加法類
求某事物的概率，該事物有多種情況成立，則總概率等于每種情況成立時的概率相加。
求某情況的總數(shù)，該情況分為多種分情況，則總情況等于所有情況的和。
(2)乘法類
此類題目的描述和加法類有所類似，區(qū)別的關(guān)鍵在于某概率成立/某情況成立時和分概率/分情況的關(guān)系。
求某事物的概率，該事物分為多種情況，當(dāng)所有情況成立時才滿足題干要求，則總概率等于每種情況成立時的概率相乘。
求某情況的總數(shù)，該情況為多種分情況的總體組合，每種分情況都有自己的個數(shù)，則總情況等于所有分情況相乘。
用一個簡單例題來區(qū)別「加法類」和「乘法類」的區(qū)別：
甲乙下棋(沒有平局)，甲每盤戰(zhàn)勝乙的幾率為40%，三局兩勝，求甲三局后戰(zhàn)勝乙的幾率。
此時可將其分為「甲3勝」和「甲2勝1負(fù)」兩種情況，然后將兩種情況相加即可，即：
(40%×40%×40%)+C(3，1)×(40%×40%×60%)
甲乙下棋(沒有平局)，甲每盤戰(zhàn)勝乙的幾率為40%，三局兩勝，求甲通過「先輸一局、再贏兩局」這種方法戰(zhàn)勝乙的幾率。
此時每盤情況都固定，則結(jié)果為：
60%×40%×40%
此類題在沒有概率的「排列組合」題中也存在。例如甲乙兩個部門選3人參加活動：
如果要求是「分情況」，例如共有「甲1乙2」「甲2乙1」「甲3乙0」3種情況，則需要分不同情況得出結(jié)果后相加。
如果要求是「分部門」，例如「甲1乙2」的形式固定下來了，則總情況即為「甲1」的情況數(shù)×「乙2」的情況數(shù)。
很多「排列組合概率」的難題可能同時出現(xiàn)兩種情況，只要能將其分類分清楚了，其實(shí)這種題目并不難。
(3)特殊類(除錯位排列)
某些難題可能會考察特殊情況的排列組合，例如：
「植樹時在馬路兩側(cè)植樹且第一棵樹固定」
「2人一組，共有多組參加活動」
「在圓桌上參加宴會」
「有的人可選擇任何位置，有的人只能選擇部分位置(如住旅館只能住在1層等)」
這些情況本質(zhì)上和「排列組合」公式以及「加法、乘法」的分類是想通的，除了「錯位排列」之外，其他題目都是非常好理解的，只要根據(jù)題干描述進(jìn)行分類即可，在接下來的真題講解中都會詳細(xì)分析。
需要注意，如果題目看似是在求「排列組合概率」，但選項(xiàng)和題干數(shù)字都很小，那很可能需要使用「逐個列出」等方法去解題。關(guān)于這方面的解析，各位小伙伴可參考之前的內(nèi)容：「數(shù)量關(guān)系」解題技巧(7)——整消法。
三、例題1：繁瑣的計(jì)算導(dǎo)致正確率變低
【2017國考地市級卷66題/ 省級卷68題】小張需要在5個長度分別為15秒、53秒、22秒、47秒、23秒的視頻片段中選取若干個，合成為一個長度在80~90秒之間的宣傳視頻。要求每個片段均需完整使用且最多使用一次，并且片段間沒有空閑時段。
小張最多可能做出多少個不同的視頻?
(A)6
(B)12
(C)18
(D)24
正確答案C，正確率50%，易錯項(xiàng)B
列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
?、?片段長度為15、53、22、47、23
②合成視頻長度80~90
?、燮瓮暾o空閑、最多使用一次，求視頻種類數(shù)量
由①②可知，小張需要選擇幾個視頻片段，找出時間相加在80~90之間的組合。
把幾個數(shù)從大到小排列：53、47、23、22、15，首先從最大數(shù)53開始羅列所有的可能：
53+47=100>90，排除
53+23=76,76+(最小的)15=91>90，排除
53+22+15=90，符合情況
然后從47開始數(shù)：
47+23=70,70+22=92>90，排除
47+23+15=85，符合情況
47+22+15=84，符合情況
可以看出，符合情況的共三類，分別為：
53+22+15=90
47+23+15=85
47+22+15=84
根據(jù)③可知，每個視頻片段放在不同的位置都是不同的視頻，即本題適用排列公式(A)，不適用組合公式(C)，可得視頻數(shù)為：
A(3，3)+A(3，3)+A(3，3)
=6+6+6=18個，C選項(xiàng)正確。
此類計(jì)算量大的題目一定要有耐心才能解得正確答案，需要注意本題適用于排列公式。
雖然這道題的計(jì)算量不是很大，但計(jì)算較為繁瑣，因此正確率不高。
四、例題2：通過選項(xiàng)思考暴力的可能性
【2017國考省級卷70題】某集團(tuán)企業(yè)5個分公司分別派出1人去集團(tuán)總部參加培訓(xùn)，培訓(xùn)后再將5人隨機(jī)分配到這5個分公司，每個分公司只分配1人。
5個參加培訓(xùn)的人中，有且僅有1人在培訓(xùn)后返回原分公司的概率為：
(A)低于20%
(B)在20%~30%之間
(C)在30%~35%之間
(D)大于35%
正確答案D，正確率15%，易錯項(xiàng)B
列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
?、?公司分別派1人
?、谥匦路峙?，每公司分配1人
③求有且僅有1人返回原公司的概率
列出計(jì)算公式：
有且僅有1人返回原公司的概率=有且僅有1人返回原公司的情況/全部分配情況
根據(jù)②可知，5個人分到不同的公司屬于不同的分配情況，符合排列公式(A)，即：
全部分配情況=A(5，5)=120
本題的難點(diǎn)是「只有1人返回原公司的分配情況」。設(shè)5家公司為ABCDE，5名員工也為ABCDE，字母一一對應(yīng)。以員工A為例，該描述可以分解為兩句話：
(1)員工A返回了A公司;
(2)其他4名員工沒有回到自己的公司，即B可以去CDE不能去B,C可以去BDE不能去C……
分析之后可得出，(2)是個典型的4個元素的錯位排列問題，即D4=9。
錯位排列公式：D3=2，D4=9，D5=44，D6=265，更復(fù)雜的一般不會去考察。
BCDE員工返回原公司的概率和A員工相同，共有9×5=45種分配情況。因此，所求概率為：
45/120=37.5%>35%，D選項(xiàng)正確。
那么問題就來了：如果考生不熟悉錯位排列的公式，或者不熟悉錯位排列的適用場景，應(yīng)該怎么辦呢?
這就是國考的精髓之處。相對于排列組合公式，錯位排列是一個較為冷門的考點(diǎn)，但本題并不要求考生一定要掌握，其解題奧秘，就在原文中。
通過分析我們不難看出，全部的分配情況為A(5，5)=120，而ABCDE公司的ABCDE員工沒有特殊要求，因此：
120=5×「員工A返回A公司，其他4名員工沒有回到自己的公司」的分配情況(即員工A返回A公司這一情況沒有特殊性，BCDE公司和員工也符合)
可知「員工A返回A公司，其他4名員工沒有回到自己的公司」的分配情況=24
觀察選項(xiàng)可知，本題數(shù)值最大選項(xiàng)D也只有35%，而24的35%約比8大一點(diǎn)(35%比33.33%大一點(diǎn)，24×33.33%=8)，即：
「最多只需要數(shù)出9種情況就能得到正確答案」
也就是說，本題可以暴力，一個個數(shù)所有的分配可能即可，不會浪費(fèi)太多時間。
那么，以上文說的那個情況為例：A員工返回了A公司，其他4名員工沒有回到自己的公司，即B可以去CDE不能去B,C可以去BDE不能去C……
在這種情況下，以員工B去C公司為例，C只能去BDE。如果C去B，那么D只能去E，E只能去D;如果C去D，那么D只能去E，E只能去B;如果C去E，那么D只能去B，E只能去D。也就是說，B去C的前提下，只有3種情形。同樣，B去D、E也是各有3種情形，也就是共有9種。
之所以把這個「不知道、不會用錯位排列」的解題方法寫了這么多，是因?yàn)橐o各位小伙伴提供另一種一個思考角度，通過選項(xiàng)思考暴力的可能性。本題正確率只有15%，如果做對就戰(zhàn)勝了絕大多數(shù)考生，因此千萬不要輕言放棄。
五、例題3：極為簡單，一半做錯的題
【2015國考地市級卷67題/省級卷66題】把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側(cè)，每側(cè)種植9棵，要求每側(cè)的柏樹數(shù)量相等且不相鄰，且道路起點(diǎn)和終點(diǎn)處兩側(cè)種植的都必須是松樹。
共有多少種不同的種植方法?
(A)36
(B)50
(C)100
(D)400
正確答案C，正確率51%，易錯項(xiàng)B
列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
?、?2松6柏種兩側(cè)，每側(cè)9棵
?、诎孛總?cè)相等(各3棵)，不相鄰
?、燮瘘c(diǎn)終點(diǎn)都是松
根據(jù)①②可知每側(cè)固定6松3柏
根據(jù)③可知每側(cè)兩端的樹固定為松
兩端加粗的「松」有固定要求，6松內(nèi)部共有5個可以插入的空(即滿足「柏不相鄰」的要求)。
也就是說，本題可以理解為「從5個可以插入的空中，選出3個空種植柏」。由于本題的柏沒有特征，符合組合公式，因此每側(cè)種植方法為：C(5，3)=10
兩側(cè)總共種植方法為10²=100，C選項(xiàng)正確。
在本題中，「兩側(cè)種植情況相同」這個情況能幫助考生秒排除B，如果答案中有更多的非平方數(shù)，例如30、50、100、120，那么可以立即選出100。
「不相鄰」是排列組合題中非常流行的考法，一定要引起注意。
六、例題4：看似簡單敘述中的隱藏陷阱
【2015國考地市級卷68題/省級卷67題】某單位有3項(xiàng)業(yè)務(wù)要招標(biāo)，共有5家公司前來投標(biāo)，且每家公司都對3項(xiàng)業(yè)務(wù)發(fā)出了投標(biāo)申請，最終發(fā)現(xiàn)每項(xiàng)業(yè)務(wù)都有且只有1家公司中標(biāo)。
如5家公司在各項(xiàng)業(yè)務(wù)中中標(biāo)的概率均相等，這3項(xiàng)業(yè)務(wù)由同一家公司中標(biāo)的概率為多少?
(A)1/25
(B)1/81
(C)1/125
(D)1/243
正確答案A，正確率21%，易錯項(xiàng)C
列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
?、?項(xiàng)業(yè)務(wù)，5家公司投標(biāo)
?、诿宽?xiàng)業(yè)務(wù)1家公司中標(biāo)
③求同一家公司中標(biāo)的概率
根據(jù)①②可知，某家公司某項(xiàng)業(yè)務(wù)中標(biāo)幾率為：
1÷5=1/5
共有3項(xiàng)業(yè)務(wù)，則某家公司3項(xiàng)業(yè)務(wù)全部中標(biāo)幾率為：
(1/5)³=1/125
題干說的是「同一家公司」，并沒有說是「(固定的)某家公司」，因此「同一家公司3項(xiàng)業(yè)務(wù)全部中標(biāo)幾率」為：
1/125×5=1/25，A選項(xiàng)正確。
本題基本沒有難度，但錯誤率極高。很多考生不是不會做，而是沒有認(rèn)真審題，沒有理解「同一家公司」的含義。這道題乍一眼看上去很像送分題，概率的計(jì)算公式非常簡單，數(shù)值也很小，看似平平淡淡，但考場上并不會標(biāo)注本題的正確率。如果事先把正確率告訴考生，很多考生就能意識到敘述中暗含的陷阱了。
從這道題可以看出，「審題」非常重要，看上去很簡單的敘述也可能有陷阱。
七、例題5：分不同情況考慮安排方案
【2014國考71題】一次會議某單位邀請了10名專家。該單位預(yù)定了10個房間，其中一層5間。二層5間。已知邀請專家中4人要求住二層、3人要求住一層。其余3人住任一層均可。那么要滿足他們的住宿要求且每人1間。
有多少種不同的安排方案?
(A)75
(B)450
(C)7200
(D)43200
正確答案D，正確率46%，易錯項(xiàng)C
列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①10人住10房間，每人一間
②一層5間二層5間
?、?人二層，3人一層，3人任意層
④求安排方案的數(shù)量
根據(jù)③的限定可逐層考慮安排情況，并將不同的情況相乘即可。
二層4人住5間，符合排列公式，即：
A(5，4)=5×4×3×2=120
二層3人住5間，符合排列公式，即：
A(5，3)=5×4×3=60
還有3人住余下3間，符合排列公式，即：
A(3，3)=3×2=6
因此總安排情況=三種情況相乘
=120×60×6
=7200×6
=43200種，D選項(xiàng)正確。
本題一定要注意「3人任意層」的含義是「安排好一層、二層人員之后，還余下3間房，3人在3間房中任意挑選」，而不是「3人住3間只有一種情況」。如果沒有理解這一點(diǎn)，就很容易誤選C。
一定要準(zhǔn)確理解題干描述，不要在簡單題目上丟分。
八、例題6：理解排列組合題的關(guān)鍵
【2012國考70題】有5對夫妻參加一場婚禮，他們被安排在一張10個座位的圓桌就餐，但是操辦者不知道他們之間的關(guān)系，隨機(jī)安排座位。
5對夫妻恰好相鄰而坐的概率是多少?
(A)≤1‰
(B)1‰~5‰
(C)5‰~1%
(D)>1%
正確答案A，正確率31%，易錯項(xiàng)B
列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①5對夫妻，一個圓桌
?、?0個座位，隨機(jī)安排
③恰好相鄰，求其概率
?、鬯蟮母怕蕿椋?/p>
5隊(duì)夫妻恰好相鄰的安排數(shù)量/總安排數(shù)量
需要注意本題是「一個圓桌」，即夫妻ABCDE和BCDEA、CDEAB、DEABC、EABCD的排列情況是相同的，也就是說，根據(jù)①將5隊(duì)夫妻視為整體，則整體安排數(shù)量為：
A(5，5)÷5=2×3×4
夫妻內(nèi)部有夫左妻右、夫右妻左兩種情況，因此5隊(duì)夫妻內(nèi)部的排列情況為2的5次方，即5隊(duì)夫妻恰好相鄰的安排數(shù)量為：
2×3×4×2的5次方
10人同樣位于「一個圓桌」，同理其總安排數(shù)量為：
A(10，10)÷10=2×3×……×9
即：
5隊(duì)夫妻恰好相鄰的安排數(shù)量/總安排數(shù)量
=2×3×4×2的5次方/(2×3×……×9)
=2的5次方/5×6×7×8×9
=2/5×3×7×9=2/945，A選項(xiàng)正確。
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