數(shù)學(xué)三大危機(jī)簡介
數(shù)學(xué)三大危機(jī),涉及無理數(shù)、微積分和集合等數(shù)學(xué)概念?!〗裉煨【幵谶@給大家整理了數(shù)學(xué)三大危機(jī)資料,接下來隨著小編一起來看看吧!
數(shù)學(xué)三大危機(jī)
第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué)
術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別:畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說的數(shù)僅指整數(shù)。而“一切數(shù)均可表示成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而,具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。
畢達(dá)哥拉斯定理提出后,其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問題:邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢?他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù),也不能用分?jǐn)?shù)表示,而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)根號2的誕生。小小根號2的出現(xiàn),卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰,使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上,這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊,對于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上:任何量,在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰,就是在今天,測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí),這個(gè)斷言也毫無例外是正確的!可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的,完全符合常識的論斷居然被小小的根號2的存在而推翻了!這應(yīng)該是多么違反常識,多么荒謬的事!它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是,面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識上的危機(jī),從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波,史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
出現(xiàn)
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識的提高,十七世紀(jì)幾乎在同一時(shí)期,微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲共同發(fā)現(xiàn)。這一工具一問世,就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運(yùn)用這一工具后變得易如反掌。但是不管是牛頓,還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上,但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。因而,從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。
解決
經(jīng)過柯西(微積分收官人)用極限的方法定義了無窮小量,微積分理論得以發(fā)展和完善,從而使數(shù)學(xué)大廈變得更加輝煌美麗!
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
出現(xiàn)
十九世紀(jì)下半葉,康托爾創(chuàng)立了著名的集合論,在集合論剛產(chǎn)生時(shí),曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了,并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn),從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石?!耙磺袛?shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?900年,國際數(shù)學(xué)家大會上,法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱:“……借助集合論概念,我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈……今天,我們可以說絕對的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了……”
可是,好景不長。1903年,一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出:集合論是有漏洞的!這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S:S由一切不是自身元素的元素所組成。然后羅素問:S是否屬于S呢?根據(jù)排中律,一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合,或者不屬于某個(gè)集合。因此,對于一個(gè)給定的集合,問是否屬于它自己是有意義的。但對這個(gè)看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S,根據(jù)S的定義,S就不屬于S;反之,如果S不屬于S,同樣根據(jù)定義,S就屬于S。無論如何都是矛盾的。
其實(shí),在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。如1897年,布拉利和福爾蒂提出了最大序數(shù)悖論。1899年,康托爾自己發(fā)現(xiàn)了最大基數(shù)悖論。但是,由于這兩個(gè)悖論都涉及集合中的許多復(fù)雜理論,所以只是在數(shù)學(xué)界揭起了一點(diǎn)小漣漪,未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂,而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以,羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動(dòng)。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說:“一個(gè)科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過于是在他的工作即將結(jié)束時(shí),其基礎(chǔ)崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置于這個(gè)境地?!贝鞯陆鹨惨虼送七t了他的《什么是數(shù)的本質(zhì)和作用》一文的再版??梢哉f,這一悖論就像在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石,而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。
解決
排除悖論
危機(jī)產(chǎn)生后,數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進(jìn)行改造,通過對集合定義加以限制來排除悖論,這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄,以保證排除一切矛盾;另一方面又必須充分廣闊,使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來?!?908年,策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系,后來經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn),稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外,集合論的公理系統(tǒng)還有多種,如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。
公理化集合系統(tǒng)
成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論,從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但在另一方面,羅素悖論對數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前,導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭,形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派,而各派的工作又都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。
學(xué)好數(shù)學(xué)的十個(gè)方法
學(xué)好數(shù)學(xué)第一要養(yǎng)成預(yù)習(xí)的習(xí)慣。這是我多年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)好方法,因?yàn)樘崆鞍牙蠋熞v的知識先學(xué)一遍,就知道自己哪里不會,學(xué)的時(shí)候就有重點(diǎn)。當(dāng)然,如果完全自學(xué)就懂更好了。
第二是書后做練習(xí)題。預(yù)習(xí)完不是目的,有時(shí)間可以把例題和課后練習(xí)題做了,檢查預(yù)習(xí)情況,如果都會做說明學(xué)會了,即使不會還能再聽老師講一遍。
第三個(gè)步驟是做老師布置的作業(yè),認(rèn)真做。做的時(shí)候可以把解題過程直接寫在題目旁邊,比如選擇題和填空題,因?yàn)榻獯痤}有很多空白處可寫。這樣做的好處就是,老師講題時(shí)能跟上思路,不容易走神。
第四個(gè)學(xué)好數(shù)學(xué)的方法是整理錯(cuò)題。每次考試結(jié)束后,總會有很多錯(cuò)題,對于這些題目,我們不要以為上課聽懂了就會做了,看花容易繡花難,親手做過了才知道會不會。而且要把錯(cuò)的題目對照書本去看,重新學(xué)習(xí)知識。
第五個(gè)提高數(shù)學(xué)成績的方法是查缺補(bǔ)漏。在做了大量習(xí)題以后,數(shù)學(xué)成績有所提高,但還是存在一些不會做的題目,我們要善于發(fā)現(xiàn)哪些類型的題目還存在盲區(qū),然后逐一擊破。
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下一個(gè)方法是提高數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)段??赡軘?shù)學(xué)學(xué)了一段時(shí)間,成績老是上不去,這是要總結(jié)差在哪里?基礎(chǔ)題還是拔高題,然后對自己提出高要求,基礎(chǔ)題目爭取不丟分,然后做一些有難度的題目。
第七個(gè)數(shù)學(xué)提分方法是掌握一些數(shù)學(xué)解題思路。數(shù)學(xué)很多題目都是有固定的或者是多種解題思想的,大家要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié),比如歸納法、分類討論法等等。
第八個(gè)學(xué)好數(shù)學(xué)的方法是“鉆”。當(dāng)遇到難題百思不得其解時(shí),學(xué)霸們的做法通常是思考一兩天,而學(xué)酥的做法則是一掃而過,其中的差別已經(jīng)很明顯了,這也是成績差異的原因所在。
要想提高數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù),最明智的做法是,考試遇到不會的題目先放過去,做完其他題目再回過頭來重新做難題。但不能連著放過去好幾道題目,那就有問題了。
最后一個(gè)提分方法就是合理安排答題時(shí)間,規(guī)定做選擇題和大題各多長時(shí)間,然后按照既定時(shí)間去做,這樣才能最有效的提高數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)。
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