高二數(shù)學(xué)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)
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高二數(shù)學(xué)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)
1、圓的定義
平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的半徑。
2、圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心,半徑為r;
(2)一般方程
當(dāng)時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為,半徑為
當(dāng)時(shí),表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)時(shí),方程不表示任何圖形。
(3)求圓方程的方法:
一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線(xiàn)必經(jīng)過(guò)原點(diǎn),以此來(lái)確定圓心的位置。
3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況:
(1)設(shè)直線(xiàn),圓,圓心到l的距離為,則有
(2)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn):
①k不存在,驗(yàn)證是否成立
②k存在,設(shè)點(diǎn)斜式方程,用圓心到該直線(xiàn)距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】
(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程:圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
4、圓與圓的位置關(guān)系
通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。
設(shè)圓
兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。
當(dāng)時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線(xiàn)四條;
當(dāng)時(shí)兩圓外切,連心線(xiàn)過(guò)切點(diǎn),有外公切線(xiàn)兩條,內(nèi)公切線(xiàn)一條;
當(dāng)時(shí)兩圓相交,連心線(xiàn)垂直平分公共弦,有兩條外公切線(xiàn);
當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線(xiàn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn),只有一條公切線(xiàn);
當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)含;當(dāng)時(shí),為同心圓。
注意:已知圓上兩點(diǎn),圓心必在中垂線(xiàn)上;已知兩圓相切,兩圓心與切點(diǎn)共線(xiàn)
圓的輔助線(xiàn)一般為連圓心與切線(xiàn)或者連圓心與弦中點(diǎn)
高二數(shù)學(xué)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)歸納
1、向量的加法
向量的加法滿(mǎn)足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運(yùn)算律：
交換律：a+b=b+a;
結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0
AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被減”
a=(x,y)b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y').
4、數(shù)乘向量
實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向;
當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向;
當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。
當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。
注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線(xiàn)段伸長(zhǎng)或壓縮。
當(dāng)∣λ∣>1時(shí)，表示向量a的有向線(xiàn)段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)為原來(lái)的∣λ∣倍;
當(dāng)∣λ∣<1時(shí)，表示向量a的有向線(xiàn)段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來(lái)的∣λ∣倍。
數(shù)與向量的乘法滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律
結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
數(shù)乘向量的消去律：①如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的數(shù)量積
定義：兩個(gè)非零向量的夾角記為〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作a·b。若a、b不共線(xiàn)，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共線(xiàn)，則a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的數(shù)量積的運(yùn)算率
a·b=b·a(交換率);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
向量的數(shù)量積的性質(zhì)
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
高二數(shù)學(xué)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)匯總
異面直線(xiàn)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)
異面直線(xiàn)性質(zhì)：既不平行,又不相交.
異面直線(xiàn)判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)
異面直線(xiàn)所成角：作平行,令兩線(xiàn)相交,所得銳角或直角,即所成角.兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角,我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直.
求異面直線(xiàn)所成角步驟：
A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上.B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來(lái)求角
(7)等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補(bǔ).
(8)空間直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系
直線(xiàn)在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).
三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aαa∩α=Aaα
(9)平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒(méi)有公共點(diǎn);αβ
相交——有一條公共直線(xiàn).α∩β=b
2、空間中的平行問(wèn)題
(1)直線(xiàn)與平面平行的判定及其性質(zhì)
線(xiàn)面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行.
線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行
線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交,
那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行.線(xiàn)面平行線(xiàn)線(xiàn)平行
(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)
兩個(gè)平面平行的判定定理
(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行
(線(xiàn)面平行→面面平行),
(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線(xiàn)對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行.
(線(xiàn)線(xiàn)平行→面面平行),
(3)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行,
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
(1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行.(面面平行→線(xiàn)面平行)
(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線(xiàn)平行.(面面平行→線(xiàn)線(xiàn)平行)
3、空間中的垂直問(wèn)題
(1)線(xiàn)線(xiàn)、面面、線(xiàn)面垂直的定義
兩條異面直線(xiàn)的垂直：如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角,就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直.
線(xiàn)面垂直：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直,就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直.
平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直.
(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理
線(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)定理
判定定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,那么這條直線(xiàn)垂直這個(gè)平面.
性質(zhì)定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線(xiàn)平行.
面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn),那么這兩個(gè)平面互相垂直.
性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面.
4、空間角問(wèn)題
(1)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角
兩平行直線(xiàn)所成的角：規(guī)定為.
兩條相交直線(xiàn)所成的角：兩條直線(xiàn)相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線(xiàn)所成的角.
兩條異面直線(xiàn)所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線(xiàn)a,b平行的直線(xiàn),形成兩條相交直線(xiàn),這兩條相交直線(xiàn)所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線(xiàn)所成的角.
(2)直線(xiàn)和平面所成的角
平面的平行線(xiàn)與平面所成的角：規(guī)定為.平面的垂線(xiàn)與平面所成的角：規(guī)定為.
平面的斜線(xiàn)與平面所成的角：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角.
求斜線(xiàn)與平面所成角的思路類(lèi)似于求異面直線(xiàn)所成角：“一作,二證,三計(jì)算”.
在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn),
在解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中主要信息：
(1)斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn);
(2)過(guò)斜線(xiàn)上的一點(diǎn)或過(guò)斜線(xiàn)的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線(xiàn).
(3)二面角和二面角的平面角
二面角的定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線(xiàn)叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.
二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn),這兩條射線(xiàn)所成的角叫二面角的平面角.
直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直;反過(guò)來(lái),如果兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角
求二面角的方法
定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn),過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)得到平面角
垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí),過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角為二面角的平面角
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