七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理大全
大家都知道，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是對學(xué)生邏輯計(jì)算能力的培養(yǎng),想要學(xué)好初中數(shù)學(xué),就要多總結(jié)所學(xué)知識,多掌握解題思路,通過習(xí)題的練習(xí)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。最終實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)的融會貫通,學(xué)好這門課程。接下來是小編為大家整理的七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理大全，希望大家喜歡!
七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理大全一
第五章 相交線與平行線
1、兩條直線相交所成的四個角中，相鄰的兩個角叫做鄰補(bǔ)角，特點(diǎn)是兩個角共用一條邊，另一條邊互為反向延長線，性質(zhì)是鄰補(bǔ)角互補(bǔ);相對的兩個角叫做對頂角，特點(diǎn)是它們的兩條邊互為反向延長線。性質(zhì)是對頂角相等。
2、三線八角：對頂角(相等)，鄰補(bǔ)角(互補(bǔ))，同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角。
3、兩條直線被第三條直線所截：
同位角F(在兩條直線的同一旁，第三條直線的同一側(cè))
內(nèi)錯角Z(在兩條直線內(nèi)部，位于第三條直線兩側(cè))
同旁內(nèi)角U(在兩條直線內(nèi)部，位于第三條直線同側(cè))
4、兩條直線相交所成的四個角中，如果有一個角為90度，則稱這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另外一條直線的垂線，他們的交點(diǎn)稱為垂足。
5、垂直三要素：垂直關(guān)系，垂直記號，垂足
6、垂直公理：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。
7、垂線段最短。
8、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度。
9、平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。
推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c
10、平行線的判定：
?、偻唤窍嗟?，兩直線平行。②內(nèi)錯角相等，兩直線平行。 ③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。
11、推論：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。
12、平行線的性質(zhì)：
?、賰芍本€平行，同位角相等;②兩直線平行，內(nèi)錯角相等;③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
13、平面上不相重合的兩條直線之間的位置關(guān)系為_______或________
14、平移：①平移前后的兩個圖形形狀大小不變，位置改變。②對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。
平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移平移變換，簡稱平移。
對應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這樣的兩個點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)。
15、命題：判斷一件事情的語句叫命題。
命題分為題設(shè)和結(jié)論兩部分;題設(shè)是如果后面的，結(jié)論是那么后面的。
命題分為真命題和假命題兩種;定理是經(jīng)過推理證實(shí)的真命題。
用尺規(guī)作線段和角
1.關(guān)于尺規(guī)作圖：尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺來作圖。
2.關(guān)于尺規(guī)的功能
直尺的功能是：在兩點(diǎn)間連接一條線段;將線段向兩方向延長。
圓規(guī)的功能是：以任意一點(diǎn)為圓心，任意長度為半徑作一個圓;以任意一點(diǎn)為圓心，任意長度為半徑畫一段弧。
第六章 實(shí)數(shù)
一、實(shí)數(shù)的概念及分類
1、實(shí)數(shù)的分類 正有理數(shù) 有理數(shù)零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)
負(fù)有理數(shù)
正無理數(shù)
無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)
負(fù)無理數(shù)
整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。
正整數(shù)又叫自然數(shù)。
正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。
2、無理數(shù)
在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：
(1)開方開不盡的數(shù)，如7,2等;
π(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如+8等; 3
(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等;
二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值
1、相反數(shù)
實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零)，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、絕對值
一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|≥0。零的絕對值時它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0;若|a|=-a，則a≤0。正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于
零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。
3、倒數(shù)
如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。
4. 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：
每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)表示出來，
數(shù)軸上的點(diǎn)有些表示有理數(shù)，有些表示無理數(shù)，
實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就是一一對應(yīng)的，即每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示;反過來，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都是表示一個實(shí)數(shù)。
三、平方根、算數(shù)平方根和立方根
1、平方根
(1)平方根的定義：如果一個數(shù)x的平方等于a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根.即：如果
a，那么x叫做a的平方根.?x2
(2)開平方的定義：求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.開平方運(yùn)算的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)才有意義。
3?3的平方等于9，9的平方根是?(3)平方與開平方互為逆運(yùn)算：
(4)一個正數(shù)有兩個平方根，即正數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算有兩個結(jié)果;
一個負(fù)數(shù)沒有平方根，即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運(yùn)算
(5)符號：正數(shù)a的正的平方根可用表示，也是a的算術(shù)平方根;
正數(shù)a的負(fù)的平方根可用-表示.
a?2(6)x <—> ??x
a是x的平方 x的平方是a
x是a的平方根 a的平方根是x
2、算術(shù)平方根
a，那么這個正數(shù)?(1)算術(shù)平方根的定義： 一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2
x叫做a的算術(shù)平方根.a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù).
規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.
。?a (x≥0)中，規(guī)定x?也就是，在等式x2
(2)的結(jié)果有兩種情況：當(dāng)a是完全平方數(shù)時，是一個有限數(shù);
當(dāng)a不是一個完全平方數(shù)時，是一個無限不循環(huán)小數(shù)。
(3)當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大時，它的算術(shù)平方根也擴(kuò)大;
當(dāng)被開方數(shù)縮小時與它的算術(shù)平方根也縮小。
(4)夾值法及估計(jì)一個(無理)數(shù)的大小
a (x≥0)?(5)x2 <—> ?x
a是x的平方 x的平方是a
x是a的算術(shù)平方根 a的算術(shù)平方根是x
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一:有理數(shù)
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概念、定義：
1、大于0的數(shù)叫做正數(shù)(positive number)。
2、在正數(shù)前面加上負(fù)號“-”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)(negative number)。
3、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)(rational number)。
4、人們通常用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸(number axis)。
5、在直線上任取一個點(diǎn)表示數(shù)0，這個點(diǎn)叫做原點(diǎn)(origin)。
6、一般的，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值(absolute value)。
7、由絕對值的定義可知：一個正數(shù)的絕對值是它本身;一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0。
8、正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。
9、兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。
10、有理數(shù)加法法則
(1)同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。
(2)絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的負(fù)號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。
(3)一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。
11、有理數(shù)的加法中，兩個數(shù)相加，交換交換加數(shù)的位置，和不變。
12、有理數(shù)的加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。
13、有理數(shù)減法法則
減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。
14、有理數(shù)乘法法則
兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值向乘。
任何數(shù)同0相乘，都得0。
15、有理數(shù)中仍然有：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。
16、一般的，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。
17、三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。
18、一般地，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。
19、有理數(shù)除法法則
除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。
20、兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。
21、求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪(power)。在an 中，a叫做底數(shù)(basenumber)，n叫做指數(shù)(exponeht)
22、根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可以得出
負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。
顯然，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何次冪都是0。
23、做有理數(shù)混合運(yùn)算時，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：
(1)先乘方，再乘除，最后加減;
(2)同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行;
(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行。
24、把一個大于10數(shù)表示成a×10n 的形式(其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù))，使用的是科學(xué)計(jì)數(shù)法。
25、接近實(shí)際數(shù)字，但是與實(shí)際數(shù)字還是有差別，這個數(shù)是一個近似數(shù)(approximate number)。
26、從一個數(shù)的左邊的第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字(significant digit)
注：黑體字為重要部分
二:整式的加減
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概念、定義：
1、都是數(shù)或字母的積的式子叫做單項(xiàng)式(monomial)，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是單項(xiàng)式。
2、單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項(xiàng)式的系數(shù)(coefficient)。
3、一個單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項(xiàng)式的次數(shù)(degree of a monomial)。
4、幾個單項(xiàng)的和叫做多項(xiàng)式(polynomial)，其中，每個單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)(term)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)(constantly
term)。
5、多項(xiàng)式里次數(shù)項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個多項(xiàng)式的次數(shù)(degree of a polynomial)。
6、把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。
合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母部分不變。
7、如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相同;
8、如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相反。
9、一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項(xiàng)。
三:一元一次方程
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概念、定義：
1、列方程時，要先設(shè)字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問題中的相等關(guān)系，寫出還有未知數(shù)的等式——方程(equation)。
2、含有一個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程(linear equation withone unknown)。
3、分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的等量關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的一種方法。
4、等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等。
5、等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。
6、把等式一邊的某項(xiàng)變號后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。
7、應(yīng)用：行程問題：s=v×t 工程問題：工作總量=工作效率×?xí)r間
盈虧問題：利潤=售價-成本 利率=利潤÷成本×100%
售價=標(biāo)價×折扣數(shù)×10% 儲蓄利潤問題：利息=本金×利率×?xí)r間
本息和=本金+利息
四.圖形初步認(rèn)識
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概念、定義：
1、我們把實(shí)物中抽象的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形(geometric figure)。
2、有些幾何圖形(如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等)的各部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形(solidfigure)。
3、有些幾何圖形(如線段、角、三角形、長方形、圓等)的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形(planefigure)。
4、將由平面圖形圍成的立體圖形表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖(net)。
5、幾何體簡稱為體(solid)。
6、包圍著體的是面(surface)，面有平的面和曲的面兩種。
7、面與面相交的地方形成線(line)，線和線相交的地方是點(diǎn)(point)。
8、點(diǎn)動成面，面動成線，線動成體。
9、經(jīng)過探究可以得到一個基本事實(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。
簡述為：兩點(diǎn)確定一條直線(公理)。
10、當(dāng)兩條不同的直線有一個公共點(diǎn)時，我們就稱這兩條直線相交(intersection)，這個公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)(pointof intersection)。
11、點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM和MB，點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn)(center)。
12、經(jīng)過比較，我們可以得到一個關(guān)于線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短。(公理)
13、連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離(distance)。
14、角∠(angle)也是一種基本的幾何圖形。
15、把一個周角360等分，每一份就是1度(degree)的角，記作1°;把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1′;把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″。
16、從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線(angular bisector)。
17、如果兩個角的和等于90°(直角)，就是說這兩個叫互為余角(complementary
angle)，即其中的每一個角是另一個角的余角。
18、如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補(bǔ)角(supplementary
angle)，即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角
19、等角的補(bǔ)角相等，等角的余角相等。
七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理大全三
代數(shù)部分：有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)整式、分式、二次根式一元一次方程、一元二次方程、二(三)元一次方程組、二元二次方程組、分式方程、一元一次不等式函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù))
幾何部分：線段、角相交線、平行線三角形、四邊形、相似形、圓。
1、實(shí)數(shù)的分類
有理數(shù)：整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù)。如：-3，，0.231，0.737373...
無理數(shù)：無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù)如：π，-，0.1010010001...(兩個1之間依次多1個0)。
實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。
2、無理數(shù)
在理解無理數(shù)時，要抓住"無限不循環(huán)"這一時之，它包含兩層意思：一是無限小數(shù);二是不循環(huán).二者缺一不可.歸納起來有四類：
(1)開方開不盡的數(shù)，如等;
(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如+8等;
(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001...等;
(4)某些三角函數(shù)，如sin60o等。
注意：判斷一個實(shí)數(shù)的屬性(如有理數(shù)、無理數(shù))，應(yīng)遵循：一化簡，二辨析，三判斷.要注意："神似"或"形似"都不能作為判斷的標(biāo)準(zhǔn).
3、非負(fù)數(shù)：正實(shí)數(shù)與零的統(tǒng)稱。(表為：x≥0)
常見的非負(fù)數(shù)有：
性質(zhì)：若干個非負(fù)數(shù)的和為0，則每個非負(fù)擔(dān)數(shù)均為0。
4、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸(畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可)。
解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。
?、佼嬕粭l水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0(原點(diǎn))，選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较?，就得到?shù)軸("三要素")。
②任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示。
?、廴绻麅蓚€數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。
作用：A.直觀地比較實(shí)數(shù)的大小;B.明確體現(xiàn)絕對值意義;C.建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系。
5、相反數(shù)
實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零)，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
即：(1)實(shí)數(shù)的相反數(shù)是。
七年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理大全四
正數(shù)和負(fù)數(shù)
?、闭龜?shù)和負(fù)數(shù)的概念
負(fù)數(shù)：比0小的數(shù)正數(shù)：比0大的數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)
注意：①字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時，-a是負(fù)數(shù);當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時，-a是正數(shù);當(dāng)a表示0時，-a仍是0。(如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷)
?、谡龜?shù)有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號是正號。
2.具有相反意義的量
若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：
零上8℃表示為：+8℃;零下8℃表示為：-8℃
3.0表示的意義
?、?表示“沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒有人;
?、?是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：
(3)0表示一個確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準(zhǔn)，比如以海平面為基準(zhǔn)，則0米就表示海平面。
有理數(shù)
1.有理數(shù)的概念
?、耪麛?shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)(0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù))
?、普?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)
?、钦麛?shù)，0，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。
理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。①π是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。3，整數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)
注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8?也是偶數(shù)，-1,-3,-5?也是奇數(shù)。
2.有理數(shù)的分類
?、虐从欣頂?shù)的意義分類⑵按正、負(fù)來分正整數(shù)
整數(shù)0正有理數(shù)正分?jǐn)?shù)
有理數(shù)有理數(shù)0(0不能忽視)
負(fù)整數(shù)
分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)
總結(jié)：①正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)(也叫自然數(shù))
?、谪?fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù)
?、壅欣頂?shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù)
?、茇?fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)
數(shù)軸
?、睌?shù)軸的概念
規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。
注意：⑴數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線;⑵原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不
可;⑶同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一;⑷數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。
2.數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系
?、潘械挠欣頂?shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。
?、扑械挠欣頂?shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是一一對應(yīng)關(guān)系。(如，數(shù)軸上的點(diǎn)π不是有理數(shù))
3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小
⑴在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;
?、普龜?shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù);
?、莾蓚€負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。
4.數(shù)軸上特殊的(小)數(shù)
⑴最小的自然數(shù)是0，無的自然數(shù);
?、谱钚〉恼麛?shù)是1，無的正整數(shù);
⑶的負(fù)整數(shù)是-1，無最小的負(fù)整數(shù)
5.a可以表示什么數(shù)
?、臿>0表示a是正數(shù);反之，a是正數(shù)，則a>0;
⑵a<0表示a是負(fù)數(shù);反之，a是負(fù)數(shù)，則a<0
?、莂=0表示a是0;反之，a是0,，則a=0
相反數(shù)
⒈相反數(shù)
只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個是另一個的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。
注意：⑴相反數(shù)是成對出現(xiàn)的;⑵相反數(shù)只有符號不同，若一個為正，則另一個為負(fù);
?、?的相反數(shù)是它本身;相反數(shù)為本身的數(shù)是0。
2.相反數(shù)的性質(zhì)與判定
?、湃魏螖?shù)都有相反數(shù)，且只有一個;
?、?的相反數(shù)是0;
?、腔橄喾磾?shù)的兩數(shù)和為0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a，b互為相反數(shù)，則a+b=0
3.相反數(shù)的幾何意義
在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個數(shù)，是互為相反數(shù);互為相反數(shù)的兩個數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)(0除外)在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對應(yīng)原點(diǎn);原點(diǎn)表示0的相反數(shù)。說明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。
4.相反數(shù)的求法
?、徘笠粋€數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號“-”即可求得(如：5的相反數(shù)是-5);
?、魄蠖鄠€數(shù)的和或差的相反數(shù)時，要用括號括起來再添“-”，然后化簡(如;5a+b的相反數(shù)是-(5a+b)。化簡得-5a-b);
?、乔笄懊鎺А?”的單個數(shù)，也應(yīng)先用括號括起來再添“-”，然后化簡(如：-5的相反數(shù)是-(-5)，化
簡得5)
5.相反數(shù)的表示方法
⑴一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a，其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。
當(dāng)a>0時，-a<0(正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù))
當(dāng)a<0時，-a>0(負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù))
當(dāng)a=0時，-a=0，(0的相反數(shù)是0)
絕對值
?、苯^對值的幾何定義
一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對值，記作|a|。
2.絕對值的代數(shù)定義
?、乓粋€正數(shù)的絕對值是它本身;⑵一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);⑶0的絕對值是0.
可用字母表示為：
?、偃绻鸻>0，那么|a|=a;②如果a<0，那么|a|=-a;③如果a=0，那么|a|=0。
可歸納為①：a≥0，<═>|a|=a(非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身;絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。)②a≤0，<═>|a|=-a(非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù);絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。)經(jīng)典考題
如數(shù)軸所示，化簡下列各數(shù)
|a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,|b+c|
解：由題知道，因?yàn)閍>0，b<0，c<0,a-b>0,a-c>0,b+c<0，
所以|a|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b|=a-b,|a-c|=a-c,|b+c|=-(b+c)=-b-c
3.絕對值的性質(zhì)
任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，也就是說絕對值具有非負(fù)性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a|≥0。即⑴0的絕對值是0;絕對值是0的數(shù)是0.即：a=0<═>|a|=0;
?、埔粋€數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，絕對值最小的數(shù)是0.即：|a|≥0;
?、侨魏螖?shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即：|a|≥a;
?、冉^對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a(a>0)，則x=±a;
?、苫橄喾磾?shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|;
⑹絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b;
⑺若幾個數(shù)的絕對值的和等于0，則這幾個數(shù)就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。
(非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則有且只有這幾個非負(fù)數(shù)同時為0)
經(jīng)典考題
已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值
解：因?yàn)閨a+3|≥0，|2b-2|≥0，|c-1|≥0，且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0
所以|a+3|=0，|2b-2|=0，|c-1|=0
即a=-3,b=1,c=1
所以a+b+c=-3+1+1=-1
4.有理數(shù)大小的比較
?、爬脭?shù)軸比較兩個數(shù)的大小：數(shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的總比右邊的小;
?、评媒^對值比較兩個負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小;異號兩數(shù)比較大小，正數(shù)
大于負(fù)數(shù)。
5.絕對值的化簡
?、佼?dāng)a≥0時，|a|=a;②當(dāng)a≤0時，|a|=-a
6.已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)
一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地，絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，絕對值為0的數(shù)是0，沒有絕對值為負(fù)數(shù)的數(shù)。如：|a|=5，則a=土5
有理數(shù)的加減法
1.有理數(shù)的加法法則
⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加;
?、平^對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值;⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零;
?、纫粋€數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。
2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律
?、偶臃ń粨Q律：a+b=b+a
⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在運(yùn)用運(yùn)算律時，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡的目的，通常有下列規(guī)律：
?、倩橄喾磾?shù)的兩個數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”;
?、诜栂嗤膬蓚€數(shù)先相加——“同號結(jié)合法”;
?、鄯帜赶嗤臄?shù)先相加——“同分母結(jié)合法”;
④幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加——“湊整法”;
⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加——“同形結(jié)合法”。
3.加法性質(zhì)
一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大;加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)小;加0后的和等于原數(shù)。即：
?、女?dāng)b>0時，a+b>a⑵當(dāng)b<0時，a+b<a⑶當(dāng)b=0時，a+b=a< p="">
4.有理數(shù)減法法則
減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。
5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義
在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。
在和式里，通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的讀法：①按這個式子表示的意義讀作“負(fù)8、負(fù)7、負(fù)6、正5的和”
②按運(yùn)算意義讀作“負(fù)8減7減6加5”
6.有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時的一些技巧：
?、?把符號相同的加數(shù)相結(jié)合(同號結(jié)合法)
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(將減法轉(zhuǎn)換成加法)
=-33+18-15-1+23(省略加號和括號)
=(-33-15-1)+(18+23)(把符號相同的加數(shù)相結(jié)合)
=-49+41(運(yùn)用加法法則一進(jìn)行運(yùn)算)
=-8(運(yùn)用加法法則二進(jìn)行運(yùn)算)
Ⅱ.把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合(湊整法)
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)(將減法轉(zhuǎn)換成加法)
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8(省略加號和括號)
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8(把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合)
=4-10+3.8(運(yùn)用加法法則進(jìn)行運(yùn)算)
=7.8-10(把符號相同的加數(shù)相結(jié)合，并進(jìn)行運(yùn)算)=-2.2(得出結(jié)論)
?、?把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合(同分母結(jié)合法)313217-+-+-524528
321137原式=(--)+(-+)+(+-)552248
1=-1+0-8
1=-18-
?、?既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合(先統(tǒng)一后結(jié)合)312)+(-3)-(-10)-(+1.25)483
13121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)84834
13121=+3-3+10-184834
31112=(3-1)+(-3)+1044883
12=2-3+1023
1=-3+136
1=106(+0.125)-(-3
?、?把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合(先拆分后結(jié)合)-31617+10-12+45112215
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