初一數(shù)學(xué)必考的23個知識點，考試必掌握的重難點

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初一數(shù)學(xué)必考的23個知識點

　　1.數(shù)軸

　　(1)數(shù)軸的概念：

　　規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

　　數(shù)軸的三要素：

　　原點，單位長度，正方向。

　　(2)數(shù)軸上的點：

　　所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)。

　　(一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù)。)

　　(3)用數(shù)軸比較大?。?/p>

　　一般來說，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

　　2.相反數(shù)

　　(1)相反數(shù)的概念：

　　只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

　　(2)相反數(shù)的意義：

　　掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等。

　　(3)多重符號的化簡：

　　與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“﹣”號結(jié)果為負，有偶數(shù)個“﹣”號，結(jié)果為正。

　　(4)規(guī)律方法總結(jié)：

　　求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣(m+n)，這時m+n是一個整體，在整體前面添負號時，要用小括號。

　　3.絕對值

　　1.概念：

　　數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值。

　　①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等;

　?、诮^對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù).

　　③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù).

　　2.如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a 絕對值要由字母a本身的取值來確定：

　?、佼攁是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a;

　?、诋攁是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a;

　　③當a是零時，a的絕對值是零.

　　即|a|={a(a>0)0(a=0)﹣a(a<0)

　　4.有理數(shù)大小比較

　　1.有理數(shù)的大小比較：

　　比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從左到有的順序，即從大到小的順序(在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大);

　　也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及0的大小，利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小。

　　2.有理數(shù)大小比較的法則：

　?、僬龜?shù)都大于0;

　?、谪摂?shù)都小于0;

　?、壅龜?shù)大于一切負數(shù);

　?、軆蓚€負數(shù)，絕對值大的其值反而小。

　　規(guī)律方法·有理數(shù)大小比較的三種方法：

　　(1)法則比較：

　　正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù).兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.

　　(2)數(shù)軸比較：

　　在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù).

　　(3)作差比較：

　　若a﹣b>0，則a>b;

　　若a﹣b<0，則a

　　若a﹣b=0，則a=b.

　　5.有理數(shù)的減法

　　有理數(shù)減法法則：

　　減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。 即：a﹣b=a+(﹣b)

　　方法指引：

　?、僭谶M行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號;

　?、趯⒂欣頂?shù)轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號(減號變加號); 二是減數(shù)的性質(zhì)符號(減數(shù)變相反數(shù));

　　注意：

　　在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換;因為減法沒有交換律。

　　減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進行計算。

　　6.有理數(shù)的乘法

　　(1)有理數(shù)乘法法則：

　　兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

　　(2)任何數(shù)同零相乘，都得0。

　　(3)多個有理數(shù)相乘的法則：

　?、賻讉€不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負;當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.

　?、趲讉€數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0。

　　(4)方法指引

　?、龠\用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘.

　?、诙鄠€因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單.

　　7.有理數(shù)的混合運算

　　1.有理數(shù)混合運算順序：

　　先算乘方，再算乘除，最后算加減;同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算;如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算。

　　2.進行有理數(shù)的混合運算時：

　　注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化。

　　有理數(shù)混合運算的四種運算技巧：

　　(1)轉(zhuǎn)化法：

　　一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)進行約分計算.

　　(2)湊整法：

　　在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

　　(3)分拆法：

　　先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算.

　　(4)巧用運算律：

　　在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便.

　　8.科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)

　　1.科學(xué)記數(shù)法：

　　把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

　　(科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a<10，n為正整數(shù))

　　2.規(guī)律方法總結(jié)：

　?、倏茖W(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n。

　?、谟洈?shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號.

　　9.代數(shù)式求值

　　(1)代數(shù)式的值：

　　用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。

　　(2)代數(shù)式的求值：

　　求代數(shù)式的值可以直接代入、計算.如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值。

　　題型簡單總結(jié)以下三種：

　?、僖阎獥l件不化簡，所給代數(shù)式化簡;

　?、谝阎獥l件化簡，所給代數(shù)式不化簡;

　?、垡阎獥l件和所給代數(shù)式都要化簡.

　　10.規(guī)律型：圖形的變化類

　　首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。

　　探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題。

　　11.等式的性質(zhì)

　　1.等式的性質(zhì)

　　性質(zhì)1： 等式兩邊加同一個數(shù)(或式子)結(jié)果仍得等式;

　　性質(zhì)2 ： 等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式。

　　2.利用等式的性質(zhì)解方程

　　利用等式的性質(zhì)對方程進行變形，使方程的形式向x=a的形式轉(zhuǎn)化.

　　應(yīng)用時要注意把握兩關(guān)：

　?、僭鯓幼冃?

　?、谝罁?jù)哪一條，變形時只有做到步步有據(jù)，才能保證是正確的.

　　12.一元一次方程的解

　　定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解。

　　把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等。

　　13.解一元一次方程

　　1.解一元一次方程的一般步驟：

　　去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化。

　　2.解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點：

　　若有分母一般先去分母;若既有分母又有括號，且括號外的項在乘括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號。

　　3.在解類似于“ax+bx=c”的方程時：

　　將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即(a+b)x=c。

　　使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax=b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想。

　　將ax=b系數(shù)化為1時，要準確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分數(shù)時;二要準確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負。

　　14.一元一次方程的應(yīng)用

　　1.一元一次方程解應(yīng)用題的類型

　　(1)探索規(guī)律型問題;

　　(2)數(shù)字問題;

　　(3)銷售問題(利潤=售價﹣進價，利潤率=利潤進價×100%);

　　(4)工程問題(①工作量=人均效率×人數(shù)×時間;②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量);

　　(5)行程問題(路程=速度×時間);

　　(6)等值變換問題;

　　(7)和，差，倍，分問題;

　　(8)分配問題;

　　(9)比賽積分問題;

　　(10)水流航行問題(順水速度=靜水速度+水流速度;逆水速度=靜水速度﹣水流速度).

　　2.利用方程解決實際問題的基本思路

　　首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答。

　　列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟

　　(1)審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系.

　　(2)設(shè)：設(shè)未知數(shù)(x)，根據(jù)實際情況，可設(shè)直接未知數(shù)(問什么設(shè)什么)，也可設(shè)間接未知數(shù).

　　(3)列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

　　(4)解：解方程，求得未知數(shù)的值.

　　(5)答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

　　15.正方體相對兩個面上的文字

　　(1)對于此類問題一般方法是用紙按圖的樣子折疊后可以解決，或是在對展開圖理解的基礎(chǔ)上直接想象.

　　(2)從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵.

　　(3)正方體的展開圖有11種情況，分析平面展開圖的各種情況后再認真確定哪兩個面的對面.

　　16.直線、射線、線段

　　(1)直線、射線、線段的表示方法

　　①直線：用一個小寫字母表示，如：直線l，或用兩個大寫字母(直線上的)表示，如直線AB.

　　②射線：是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如：射線l;用兩個大寫字母表示，端點在前，如：射線OA.注意：用兩個字母表示時，端點的字母放在前邊.

　?、劬€段：線段是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如線段a;用兩個表示端點的字母表示，如：線段AB(或線段BA)。

　　(2)點與直線的位置關(guān)系：

　　①點經(jīng)過直線，說明點在直線上;

　?、邳c不經(jīng)過直線，說明點在直線外。

　　17.兩點間的距離

　　(1)兩點間的距離：

　　連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離。

　　(2)平面上任意兩點間都有一定距離：

　　它指的是連接這兩點的線段的長度，學(xué)習(xí)此概念時，注意強調(diào)最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形.線段的長度才是兩點的距離.可以說畫線段，但不能說畫距離。

　　18.角的概念

　　(1)角的定義：

　　有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊。

　　(2)角的表示方法：

　　角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角.

　　角還可以用一個希臘字母(如∠α，∠β，∠γ、…)表示，或用阿拉伯數(shù)字(∠1，∠2…)表示。

　　(3)平角、周角：

　　角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當始邊與終邊成一條直線時形成平角，當始 邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時，形成周角。

　　(4)角的度量：

　　度、分、秒是常用的角的度量單位.1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″。

　　19.角平分線的定義

　　從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線。

　?、?ang;AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB=∠AOC+∠BOC.∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC=∠AOB﹣∠BOC。

　?、谌羯渚€OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB。

　　20.度分秒的運算

　　(1)度、分、秒的加減運算

　　在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60。

　　(2)度、分、秒的乘除運算

　?、俪朔ǎ憾取⒎?、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進位。

　?、诔ǎ憾?、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級單位進一步去除。

　　21.由三視圖判斷幾何體

　　(1)由三視圖想象幾何體的形狀：

　　首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀。

　　(2)由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進行分析：

　　①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長、寬、高;

　　②從實線和虛線想象幾何體看得見部分和看不見部分的輪廓線;

　?、凼煊浺恍┖唵蔚膸缀误w的三視圖對復(fù)雜幾何體的想象會有幫助;

　?、芾糜扇晥D畫幾何體與有幾何體畫三視圖的互逆過程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法。

　　22.正數(shù)和負數(shù)

　　知識點1 正數(shù)和負數(shù)的概念

　　(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)，在小學(xué)學(xué)過的數(shù)，除0以外都是正數(shù)，正數(shù)比0大。

　　(2) 像-3、-1.5、-1/2、-584等在正數(shù)前面加“-”(讀作負)號的數(shù)，叫做負數(shù)。負數(shù)比0小。

　　(3) 零即不是正數(shù)也不是負數(shù)，零是正數(shù)和負數(shù)的分界。

　　注意：

　　(1) 為了強調(diào)，正數(shù)前面有時也可以加上“+”(讀作正)號，例如：3、1.5也可以寫作+3、+1.5。

　　(2) 對于正數(shù)和負數(shù)的概念，不能簡單理解為：帶“+”號的數(shù)是正數(shù)，帶“-”號的數(shù)是負數(shù)。

　　例如：-a一定是負數(shù)嗎?答案是不一定。因為字母a可以表示任意的數(shù)，若a表示的是正數(shù)，則-a是負數(shù);若a表示的是0，則-a仍是0;當a表示負數(shù)時，-a就不是負數(shù)了(此時-a是正數(shù))。

　　正數(shù)、負數(shù)表示

　　正數(shù)和負數(shù)是根據(jù)實際需要而產(chǎn)生的，隨著社會的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分數(shù)和小數(shù)已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量，怎樣表示它們呢?

　　我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的的量規(guī)定為負的，這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負數(shù)。

　　用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習(xí)慣把“前進、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負。

　　23.有理數(shù)

　　知識點1 有理數(shù)的有關(guān)概念

　　有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

　　注：(1)有時為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù)，這時的分數(shù)包括整數(shù)。但是本講中的分數(shù)不包括分母是1的分數(shù)。

　　(2)因為分數(shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分數(shù)來表示，所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分數(shù)。

　　(3)“0”即不是正數(shù)，也不是負數(shù)，但“0”是整數(shù)。

　　整數(shù)包括正整數(shù)、零、負整數(shù)。例如：1、2、3、0、-1、-2、-3等等。

　　分數(shù)包括正分數(shù)和負分數(shù)，例如：1/2、0.6、-1/2、-0.6等等。

　　知識點2 有理數(shù)的分類

　　(1) 按整數(shù)、分數(shù)的關(guān)系分類

　　(2) 按正數(shù)、負數(shù)與0的關(guān)系分類

　　注：通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負整數(shù)(也叫做自然數(shù))，負整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。

　　如果用字母表示數(shù)，則a>0表明a是正數(shù);a<0表明a是負數(shù);a≥0表明a是非負數(shù);a≤0表明a是非正數(shù)。

　　知識點3 數(shù)軸

　　數(shù)軸是理解有理數(shù)概念與運算的重要工具，數(shù)與表示數(shù)的圖形(如數(shù)軸)相結(jié)合的思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想。正如華羅庚教授詩云：

　　數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。

　　數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)是難入微。

　　數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。

　　切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離!

　　數(shù)與形的第一次聯(lián)姻——數(shù)軸，使數(shù)與直線上的點之間建立了對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，并由此成為數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。

　　1.數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。

　　數(shù)軸的定義包含三層含義：

　　(1) 數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸;

　　(2) 數(shù)軸有三要素——原點、正方向、單位長度，三者缺一不可;

　　(3) 原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實際需要“規(guī)定”的(通常取向右為正方向)。

　　2.數(shù)軸的畫法：

　　(1) 畫一條直線(一般畫成水平的直線)。

　　(2) 在直線上選取一點為原點，并用這點表示零(在原點下面標上“0”)。

　　(3) 確定正方向(一般規(guī)定向右為正)，用箭頭表示出來。

　　(4) 選取適當?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1，2，3……;從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為-1，-2，-3……

　　注：

　　(1) 原點的位置、單位長度的大小可根據(jù)實際情況適當選取;

　　(2) 確定單位長度時，根據(jù)實際情況，有時也可以每隔兩個(或更多的)單位長度取一點，從原點向右，依次表示為2，4，6，……;從原點向左，依次表示為-2，-4，-6，……;

　　3.數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系：

　　所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示。正有理數(shù)可以用原點右邊的點表示，負有理數(shù)可以用原點左邊的點表示，零用原點表示。

　　4.利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。?/p>

　　在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0;負數(shù)都小于0;正數(shù)大于一切負數(shù)。

　　知識點4 相反數(shù)

　　1.相反數(shù)的定義

　　(1) 相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。如，4與-4互為相反數(shù)。

　　(2) 相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)(除了符號不同以外完全相同)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)。

　　2.相反數(shù)的性質(zhì)：

　　任何一個數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個。正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0。

　　0是唯一一個相反數(shù)等于本身的數(shù)。反之，如果a=-a，那么a一定是0.

　　3.相反數(shù)的特征：

　　若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0(或a=-b)

　　若a+b=0(或a=-b)，則a與b互為相反數(shù)。

　　4.求一個數(shù)的相反數(shù)的方法：(見書)

　　5.多重符號的化簡

　　(1) 在一個數(shù)的前面添上一個“+”號，仍然與原數(shù)相同，如+5=5，+(-5)=-5。

　　(2) 在一個數(shù)的前面添上一個“-”號，就成為原數(shù)的相反數(shù)。如-(-3)就是-3的相反數(shù)，因此，-(-3)=3。