勾股定理數(shù)學(xué)知識(shí)提綱
數(shù)學(xué)是中考重要科目，想要學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要找到學(xué)習(xí)的竅門，這樣可以讓我們事半功倍。下面小編給大家分享一些勾股定理數(shù)學(xué)知識(shí)提綱，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!
勾股定理數(shù)學(xué)知識(shí)提綱
勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即
a2+b2=c2.
勾股定理逆定理 如果三角形三邊長a，b，c有下面關(guān)系：
a2+b2=c2
那么這個(gè)三角形是直角三角形.
早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法.
關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的.下面的證法1是歐幾里得證法.
證法1 如圖2-16所示.在Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c2，a2，b2.下面證明，大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積之和.
過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE.因?yàn)?/p>
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
所以△ACE≌△AGB(SAS).而
所以 SAEML=b2. ①
同理可證 SBLMD=a2. ②
①+②得
SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，
即 c2=a2+b2.
證法2 如圖2-17所示.將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b.完成正方形CDEF(它的邊長為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB.由作圖易知
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
所以
AG=GH=HB=AB=c，
∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，
因此，AGHB為邊長是c的正方形.顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個(gè)全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即
化簡得 a2+b2=c2.
證法3 如圖2-18.在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長CB，自E作EG⊥CB延長線于G，自D作DK⊥CB延長線于K，又作AF， DH分別垂直EG于F，H.由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.
設(shè)五邊形ACKDE的面積為S，一方面
S=SABDE+2S△ABC， ①
另一方面
S=SACGF+SHGKD+2S△ABC. ②
由①，②
所以 c2=a2+b2.
關(guān)于勾股定理，在我國古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習(xí)題中展示其中一小部分，它們都以中國古代數(shù)學(xué)家的名字命名.
利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論.
定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對(duì)的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長線)上的射影的乘積的2倍.
證 (1)設(shè)角C為銳角，如圖2-19所示.作AD⊥BC于D， 則CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中，
AB2=AD2+BD2， ①
在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ②
又
BD2=(BC-CD)2， ③
②，③代入①得
AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD
=AC2+BC2-2BC?CD，
即
c2=a2+b2-2a?CD. ④
(2)設(shè)角C為鈍角，如圖2-20所示.過A作AD與BC延長線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長線)上的射影.在直角三角形ABD中，
AB2=AD2+BD2， ⑤
在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ⑥
又
BD2=(BC+CD)2， ⑦
將⑥，⑦代入⑤得
AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD
=AC2+BC2+2BC?CD，
即
c2=a2+b2+2a?cd. ⑧
綜合④，⑧就是我們所需要的結(jié)論
特別地，當(dāng)∠C=90°時(shí)，CD=0，上述結(jié)論正是勾股定理的表述：
c2=a2+b2.
因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣).
由廣勾股定理我們可以自然地推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系對(duì)于角的影響.在△ABC中，
(1)若c2=a2+b2，則∠C=90°;
(2)若c2
(3)若c2>a2+b2，則∠C>90°.
勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應(yīng)用.
例1 如圖2-21所示.已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G.求證：AB2=2FG2.
分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應(yīng)有AF=AB，這啟發(fā)我們?nèi)プC明△ABE≌△AFE.
證 因?yàn)锳E是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
所以 AF=AB. ①
在Rt△AGF中，因?yàn)椤螰AG=45°，所以
AG=FG，
AF2=AG2+FG2=2FG2. ②
由①，②得
AB2=2FG2.
說明 事實(shí)上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應(yīng)使我們意識(shí)到兩個(gè)直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個(gè)直角三角形中，可以利用勾股定理進(jìn)行證明了.
例2 如圖2-22所示.AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2).
證 過A引AD⊥BC于D(不妨設(shè)D落在邊BC內(nèi)).由廣勾股定理，在△ABM中，
AB2=AM2+BM2+2BM?MD. ①
在△ACM中，
AC2=AM2+MC2-2MC?MD. ②
①+②，并注意到MB=MC，所以
AB2+AC2=2(AM2+BM2). ③
如果設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，它們對(duì)應(yīng)邊上的中線長分別為ma，mb，mc，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長的公式.
推論 △ABC的中線長公式：
說明 三角形的中線將三角形分為兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是銳角三角形，另一個(gè)是鈍角三角形(除等腰三角形外).利用廣勾股定理恰好消去相反項(xiàng)，獲得中線公式.①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長.
例3 如圖2-23所示.求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和加對(duì)角線中點(diǎn)連線平方的4倍.
分析 如圖2-23所示.對(duì)角線中點(diǎn)連線PQ，可看作△BDQ的中線，利用例2的結(jié)論，不難證明本題.
證 設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD中點(diǎn)分別是Q，P.由例2，在△BDQ中，
即
2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2. ①
在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以
在△ACD中，QD是AC邊上的中線，所以
將②，③代入①得
=4PQ2+BD2，
即
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.
說明 本題是例2的應(yīng)用.善于將要解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，是人們解決問題的一種基本方法，即化未知為已知的方法.下面，我們?cè)倏磧蓚€(gè)例題，說明這種轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用.
例4 如圖2-24所示.已知△ABC中，∠C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點(diǎn).求證：AD2+BE2=AB2+DE2.
分析 求證中所述的4條線段分別是4個(gè)直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手.
證 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以
AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2
例5 求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍.
如圖2-25所示.設(shè)直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線.求證：
4(AM2+BN2)=5AB2.
分析 由于AM，BN，AB均可看作某個(gè)直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況――即M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，那么可直接利用例4的結(jié)論，使證明過程十分簡潔.
證 連接MN，利用例4的結(jié)論，我們有
AM2+BN2=AB2+MN2，
所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2. ①
由于M，N是BC，AC的中點(diǎn)，所以
所以 4MN2=AB2. ②
由①，②
4(AM2+BN2)=5AB2.
說明 在證明中，線段MN稱為△ABC的中位線，以后會(huì)知道中位線的基本性質(zhì)：“MN∥AB且MN=圖2-26所示.MN是△ABC的一條中位線，設(shè)△ABC的面積為S.由于M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，所以S△ACM=S△BCN，兩邊減去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行.又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN.
初中數(shù)學(xué)要怎么學(xué)
預(yù)習(xí)是學(xué)習(xí)的第一步，通過預(yù)習(xí)可以更好地聽老師講課，提高學(xué)習(xí)效率。學(xué)生在上課之前有過預(yù)習(xí)，可以對(duì)新知識(shí)有初步的了解，并且找到不明白的問題，從而在課堂上實(shí)現(xiàn)針對(duì)性地的聽講。
2、課后復(fù)習(xí)
復(fù)習(xí)是對(duì)已學(xué)知識(shí)的鞏固和強(qiáng)化，通過復(fù)習(xí)可以加深對(duì)知識(shí)的記憶，從而達(dá)到鞏固的效果。學(xué)生在課后要及時(shí)復(fù)習(xí)，減緩遺忘速度，形成對(duì)新知識(shí)的深刻印象。
數(shù)學(xué)答題技巧
1、配方法
所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。
3、換元法
換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。
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