八年級數(shù)學(xué)勾股定理經(jīng)典例題解析
數(shù)學(xué)勾股定理是我們學(xué)習(xí)三角形應(yīng)用的基礎(chǔ)解題知識點(diǎn)，下面是小編給大家?guī)淼陌四昙墧?shù)學(xué)勾股定理經(jīng)典例題解析，希望能夠幫助到大家!
八年級數(shù)學(xué)勾股定理經(jīng)典例題解析
經(jīng)典例題透析
類型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a.
思路點(diǎn)撥: 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
舉一反三
【變式】:如圖∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2-CD2
=132-122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2-BC2
=52-32
=16
∴AB= 4
∴AB的長是4.
類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用
2、如圖，已知：在 中， ， ， . 求：BC的長.
思路點(diǎn)撥：由條件 ，想到構(gòu)造含 角的直角三角形，為此作 于D，則有
， ，再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長，進(jìn)而求出BC的長.
解析：作 于D，則因 ，
∴ ( 的兩個(gè)銳角互余)
∴ (在 中，如果一個(gè)銳角等于 ，
那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).
根據(jù)勾股定理，在 中，
.
根據(jù)勾股定理，在 中，
.
∴ .
舉一反三【變式1】如圖，已知： ， ， 于P. 求證： .
解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在 中，
.
而在 中，則根據(jù)勾股定理有
.
∴
又∵ (已知)，
∴ .
在 中，根據(jù)勾股定理有
，
∴ .
【變式2】已知：如圖，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。
分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。
解析：延長AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。
∴S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB•BE- CD•DE=
類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用
(一)用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題
3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了 到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。
(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離。
(2)確定目的地C在營地A的什么方向。
解析：(1)過B點(diǎn)作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC為直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
(2)在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30°的方向
舉一反三
【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?
【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH.如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD⊥AB， 與地面交于H.
解：OC=1米 (大門寬度一半)，
OD=0.8米 (卡車寬度一半)
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD= = =0.6米，
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門.
(二)用勾股定理求最短問題
4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊A、B、C、D，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分.請你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.
思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路長，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論.
解析：設(shè)正方形的邊長為1，則圖(1)、圖(2)中的總線路長分別為
AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3
圖(3)中，在Rt△ABC中
同理
∴圖(3)中的路線長為
圖(4)中，延長EF交BC于H，則FH⊥BC，BH=CH
由∠FBH= 及勾股定理得：
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此圖中總線路的長為4EA+EF=
3>2.828>2.732
∴圖(4)的連接線路最短，即圖(4)的架設(shè)方案最省電線.
舉一反三
【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程.
解：
如圖，在Rt△ABC中，BC=底面周長的一半=10cm， 根據(jù)勾股定理得
(提問：勾股定理)
∴ AC= = = ≈10.77(cm)(勾股定理).
答：最短路程約為10.77cm.
類型四：利用勾股定理作長為 的線段
5、作長為 、 、 的線段。
思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于 ，直角邊為 和1的直角三角形斜邊長就是 ，類似地可作 。
作法：如圖所示
(1)作直角邊為1(單位長)的等腰直角△ACB，使AB為斜邊;
(2)以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角 。斜邊為 ;
(3)順次這樣做下去，最后做到直角三角形 ，這樣斜邊 、 、 、 的長度就是
、 、 、 。
舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示 的點(diǎn)。
解析：可以把 看作是直角三角形的斜邊， ，
為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，
而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。
作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，
以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為 。
類型五：逆命題與勾股定理逆定理
6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確
1.原命題：貓有四只腳.(正確)
2.原命題：對頂角相等(正確)
3.原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.(正確)
4.原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.(正確)
思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。
解析：1. 逆命題：有四只腳的是貓(不正確)
2. 逆命題：相等的角是對頂角(不正確)
3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.(正確)
4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.(正確)
總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。
7、如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。
思路點(diǎn)撥：要判斷ΔABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題。
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52,
∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。
舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。
【答案】：連結(jié)AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2-n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m>n),判斷△ABC是否為直角三角形.
分析:本題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明:a2+b2=c2即可
證明：
所以△ABC是直角三角形.
【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF= AB。
請問FE與DE是否垂直?請說明。
【答案】答：DE⊥EF。
證明：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,
∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
連接DF(如圖)
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴ DF2=EF2+DE2,
∴ FE⊥DE。
經(jīng)典例題精析
類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。
思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。
解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得：
(3x)2+(4x)2=202
化簡得x2=16;
∴直角三角形的面積= ×3x×4x=6x2=96
總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程(組)求解。
舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。
【答案】如圖，等邊△ABC，作AD⊥BC于D
則：BD= BC(等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合)
∵AB=AC=BC=2(等邊三角形各邊都相等)
∴BD=1
在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3
∴AD=
S△ABC= BC•AD=
注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為 a。
【變式2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。
【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x，y，根據(jù)題意得：
由(1)得：x+y=7，
(x+y)2=49，x2+2xy+y2=49 (3)
(3)-(2)，得：xy=12
∴直角三角形的面積是 xy= ×12=6(cm2)
【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。
思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊(最長的邊)長n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得：
(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2
化簡得：n2=4
∴n=±2，但當(dāng)n=-2時(shí)，n+1=-1<0，∴n=2
總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。
【變式4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是( )
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，
對數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+b2的變形：b2=c2-a2=(c-a)(c+a)來判斷。
例如：對于選擇D，
∵82≠(40+39)×(40-39)，
∴以8，39，40為邊長不能組成直角三角形。
同理可以判斷其它選項(xiàng)。 【答案】：A
【變式5】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。
解：連結(jié)AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD=36
類型二：勾股定理的應(yīng)用
2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會受到噪聲影響?請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒?
思路點(diǎn)撥：(1)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其長度。(2)要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。
解析：作AB⊥MN，垂足為B。
在 RtΔABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°， AP=160，
∴ AB= AP=80。 (在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半)
∵點(diǎn) A到直線MN的距離小于100m,
∴這所中學(xué)會受到噪聲的影響。
如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么AC=100(m)，
由勾股定理得： BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。
同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD=100(m)，BD=60(m),
∴CD=120(m)。
拖拉機(jī)行駛的速度為 : 18km/h=5m/s
t=120m÷5m/s=24s。
答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒。
總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。
舉一反三 【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路(假設(shè)2步為1m)，卻踩傷了花草。
解析：他們原來走的路為3+4=7(m)
設(shè)走“捷徑”的路長為xm，則
故少走的路長為7-5=2(m)
又因?yàn)?步為1m，所以他們僅僅少走了4步路?！敬鸢浮?
【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。
(1)直接寫出單位正三角形的高與面積。
(2)圖中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形?平行四邊形ABCD的面積是多少?
(3)求出圖中線段AC的長(可作輔助線)。
【答案】(1)單位正三角形的高為 ，面積是 。
(2)如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個(gè)單位正三角形，因此其面積 。
(3)過A作AK⊥BC于點(diǎn)K(如圖所示)，則在Rt△ACK中， ，
，故
類型三：數(shù)學(xué)思想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法
我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決.
3、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求線段EF的長。
思路點(diǎn)撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD.
解：連接AD.
因?yàn)?ang;BAC=90°，AB=AC. 又因?yàn)锳D為△ABC的中線，
所以AD=DC=DB.AD⊥BC.
且∠BAD=∠C=45°.
因?yàn)?ang;EDA+∠ADF=90°. 又因?yàn)?ang;CDF+∠ADF=90°.
所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).
所以AE=FC=5.
同理：AF=BE=12.
在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得：
，所以EF=13。
總結(jié)升華：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解。
(二)方程的思想方法
4、如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， ，求 、 、 的值。
思路點(diǎn)撥：由 ，再找出 、 的關(guān)系即可求出 和 的值。
解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
則 ，由勾股定理，得 。
因?yàn)?，所以 ，
， ， 。
總結(jié)升華：在直角三角形中，30°的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。
舉一反三：【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的長。
解：因?yàn)椤鰽DE與△AFE關(guān)于AE對稱，所以AD=AF，DE=EF。
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以 。 所以 。
設(shè) ，則 。
在Rt△ECF中， ，即 ，解得 。
即EF的長為5cm。