常見的數(shù)學(xué)思想方法

　　在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，有哪些常見的思想方法呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編網(wǎng)絡(luò)整理的常見的數(shù)學(xué)思想方法以供大家學(xué)習(xí)。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：分類與整合

　　解題時，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一方法，統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了，因?yàn)檫@時被研究的問題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個子區(qū)域，然后分別在各個子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，當(dāng)分類解決完這個問題后，還必須把它們總合在一起，因?yàn)槲覀冄芯康漠吘故沁@個問題的全體，這就是分類與整合的思想。有分有合，先分后合，不僅是分類與整合的思想解決問題的主要過程，也是這種思想方法的本質(zhì)屬性。

　　高考將分類與整合的思想放在比較重要的位置，并以解答題為主進(jìn)行考查，考查時要求考生理解什么樣的問題需要分類研究，為什么要分類，如何分類以及分類后如何研究與最后如何整合。特別注意引起分類的原因，我們必須相當(dāng)熟悉，有些概念就是分類定義的，如絕對值的概念、整數(shù)分為奇數(shù)偶數(shù)等，有些運(yùn)算法則和公式是分類給出的，例如等比數(shù)列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就分為a>1，0

　　高考對分類與整合的思想的考查往往集中在含有參數(shù)的解析式，包括函數(shù)問題，數(shù)列問題和解析幾何問題等。此外，排列組合的問題，概率統(tǒng)計(jì)的問題也考查分類與整合的思想。隨著新課程高考在全國的實(shí)施，在新增內(nèi)容中考查分類與整合的思想，竊以為，是今后幾年高考命題的重點(diǎn)之一。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：函數(shù)與方程

　　著名數(shù)學(xué)家克萊因說“一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考”。一個學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數(shù)思想，才能主動地去思考一些問題。

　　函數(shù)是高中代數(shù)內(nèi)容的主干，函數(shù)思想貫穿于高中代數(shù)的全部內(nèi)容，函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數(shù)各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度來考慮問題，研究問題和解決問題。

　　所謂方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達(dá)到求值目的解題思路和策略，它是解決各類計(jì)算問題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)。

　　函數(shù)和方程、不等式是通過函數(shù)值等于零、大于零或小于零而相互關(guān)聯(lián)的，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。函數(shù)與方程的思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學(xué)思想。

　　高考把函數(shù)與方程的思想作為七種思想方法的重點(diǎn)來考查，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程的思想的基本運(yùn)用，而在解答題中，則從更深的層次，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力的關(guān)系角度進(jìn)行綜合考查。

　　在解題時，要學(xué)會思考這些問題：(1)是不是需要把字母看作變量?(2)是不是需要把代數(shù)式看作函數(shù)?如果是函數(shù)它具有哪些性質(zhì)?(3)是不是需要構(gòu)造一個函數(shù)把表面上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題?(4)能否把一個等式轉(zhuǎn)化為一個方程?對這個方程的根有什么要求?……

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：特殊與一般

　　由特殊到一般，由一般到特殊，是人們認(rèn)識世界的基本方法之一。數(shù)學(xué)研究也不例外，由特殊到一般，由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的基本認(rèn)識過程，就是數(shù)學(xué)研究中的特殊與一般的思想。

　　我們對公式、定理、法則的學(xué)習(xí)往往都是從特殊開始，通過總結(jié)歸納得出來的，證明后，又使用它們來解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的歸納法，演繹法就是特殊與一般的思想的集中體現(xiàn)。分析歷年的高考試題，考查特殊與一般的思想的題比比皆是，有的考查利用一般歸納法進(jìn)行猜想，有的通過構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)，確定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解決一般問題、抽象問題、運(yùn)動變化的問題等。隨著新教材的全面推廣，高考以新增內(nèi)容為素材，突出考查特殊與一般的思想必然成為今后命題改革的方向。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：有限與無限

　　有限與無限并不是一新東西，雖然我們開始學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)都是有限的教學(xué)，但其中也包含有無限的成分，只不過沒有進(jìn)行深入的研究。在學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)及其運(yùn)算的過程中，對自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)都是有限個數(shù)的運(yùn)算，但實(shí)際上各數(shù)集內(nèi)元素的個數(shù)都是無限的。在解析幾何中，還學(xué)習(xí)過拋物線的漸近線，已經(jīng)開始有極限的思想體現(xiàn)在其中。數(shù)列的極限和函數(shù)的極限集中體現(xiàn)了有限與無限的思想。使用極限的思想解決數(shù)學(xué)問題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，采用無限分割的方法來解決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割，然后再求和求極限，這是典型的有限與無限的思想的應(yīng)用。

　　函數(shù)是對運(yùn)動變化的動態(tài)事物的描述，體現(xiàn)了變量數(shù)學(xué)在研究客觀事物中的重要作用。導(dǎo)數(shù)是對事物變化快慢的一種描述，并由此可進(jìn)一步處理和解決函數(shù)的增減、極大、極小、最大、最小等實(shí)際問題，是研究客觀事物變化率和最優(yōu)化問題的有力工具。

　　高考中對有限與無限的思想的考查才剛剛起步并且往往是在考查其他數(shù)學(xué)思想和方法的過程中同時考查有限與無限思想。例如，在使用由特殊到一般的歸納思維時，含有有限與無限的思想;在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時，解決的是無限的問題，體現(xiàn)的是有限與無限的思想，等等。隨著對新增內(nèi)容的考查的逐步深入，必將加強(qiáng)對有限與無限的思想的考查，設(shè)計(jì)出突出體現(xiàn)出有限與無限的思想的新穎試題。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：或然與必然

　　隨機(jī)現(xiàn)象有兩個最基本的特征，一是結(jié)果的隨機(jī)性，即重復(fù)同樣的試驗(yàn)，所得到的結(jié)果并不相同，以至于在試驗(yàn)之前不能預(yù)料試驗(yàn)的結(jié)果;二是頻率的穩(wěn)定性，即在大量重復(fù)試驗(yàn)中，每個試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的頻率“穩(wěn)定”在一個常數(shù)附近。了解一個隨機(jī)現(xiàn)象就要知道這個隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，知道每個結(jié)果出現(xiàn)的概率，知道這兩點(diǎn)就說對這個隨機(jī)現(xiàn)象研究清楚了。概率研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想就是或然與必然的思想。

　　隨著新教材的推廣，高考中對概率內(nèi)容的考查已放在了重要的位置。通過對等可能性事件的概率，互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰相好有k次發(fā)生的概率、隨機(jī)事件的分布列與數(shù)學(xué)期望等重點(diǎn)內(nèi)容的考查，考查基本概念和基本方法，考查在解決實(shí)際應(yīng)用問題中或然與必然的辯證關(guān)系。

　　概率問題，無論屬于哪一種類型，所研究的都是隨機(jī)事件中“或然”與“必然”的辯證關(guān)系，在“或然”中尋找“必然”的規(guī)律。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：化歸與轉(zhuǎn)化

　　將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，化歸為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉(zhuǎn)化的思想?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。

　　除極簡單的數(shù)學(xué)問題外，每個數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實(shí)現(xiàn)的。從這個意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程。化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)達(dá)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。(轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法。數(shù)學(xué)中的一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化;函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化;分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化,以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)。各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段。所以說,轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂。)

　　轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價性;在不得已的情況下，進(jìn)行不等價轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。

　　熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法是騍轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ);豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁;培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識需要對定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。有人認(rèn)為“抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙，說的也不無道理。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合

　　數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個方面。“數(shù)”與“形”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系。數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，反之，圖形性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決數(shù)學(xué)問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，即是數(shù)形結(jié)合的思想。

　　數(shù)形結(jié)合的思想，在數(shù)學(xué)的幾乎全部的知識中，處處以數(shù)學(xué)對象的直觀表象及深刻精確的數(shù)量表達(dá)這兩方面給人以啟迪，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。它的運(yùn)用，往往展現(xiàn)出“柳暗花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結(jié)合的境地。華羅庚先生曾作過精辟的論述：“數(shù)與開形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫離。”

　　數(shù)形結(jié)合既是一個重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常用的解題策略。一方面，許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式，若賦予幾何意義，往往變得非常直觀形象;另一方面，一些圖形的屬性又可通過數(shù)量關(guān)系的研究，使得圖形的性質(zhì)更豐富、更精準(zhǔn)、更深刻。這種“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可大大開拓我們的解題思路?？梢赃@樣說，數(shù)形結(jié)合不僅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思維的有力“杠桿”。

　　由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識。因此，數(shù)形結(jié)合的思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化。

　　在高考中，選擇題和填空題這兩種題型的特點(diǎn)(只需寫出結(jié)果而無需寫出過程)，為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便，能突出考查考生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識。而在解答題中，考慮到推理論證的嚴(yán)謹(jǐn)性，對數(shù)量關(guān)系問題的研究仍突出代數(shù)的方法而不是提倡使用幾何的方法，解答題中對數(shù)形結(jié)合的思想的考查以由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化為主。