遼寧省沈陽市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷(2)
遼寧省沈陽市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷
遼寧省沈陽市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷解答題
(滿分60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，解答過程書寫在答題紙的對應(yīng)位置.)
17.(12分)(沈陽一模)已知函數(shù)f(x)=2sinxsin(x+ ).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0， ]時，求f(x)的值域.
【考點】： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;三角函數(shù)的周期性及其求法.
【專題】： 計算題;三角函數(shù)的求值;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).
【分析】： (1)運用兩角和差公式和二倍角公式，化簡整理，再由周期公式和正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可得到;
(2)由x的范圍，可得2x﹣ 的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到值域.
【解析】： 解：(1)f(x)=2sinxsin(x+ )
=2sinx( sinx+ cosx)= sin2x+sinxcosx
= + sin2x= +sin(2x﹣ )
則函數(shù)f(x)的最小正周期T= =π，
由2k ≤2kπ+ ，k∈Z，
解得，kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z;
(2)當(dāng)x∈[0， ]時，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，
sin(2x﹣ )∈[﹣ ，1]，
則f(x)的值域為[0，1+ ].
【點評】： 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查二倍角公式和兩角和差的正弦公式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.
18.(12分)(沈陽一模)如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點E是SD上的點，且DE=λa(0<λ≤1).
(Ⅰ)求證：對任意的λ=(0，1]，都有AC⊥BE;
(Ⅱ)若二面角C﹣BE﹣A的大小為120°，求實數(shù)λ的值.
【考點】： 二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的性質(zhì);向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.
【專題】： 空間位置關(guān)系與距離;空間角.
【分析】： (I)以D為原點，DA，DC，DS為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能證明AC⊥BE恒成立.
(II)求出平面ABE的一個法向量和平面BCE的一個法向量，利用向量法能求出λ=1.
【解析】： (I)證明：以D為原點，DA，DC，DS為x，y，z軸，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，
則A(a，0，0)，B(a，a，0)，
C(0，a，0)，D(0，0，0)，E(0，0，λa)， ，…(3分)
∴ 對任意λ∈(0，1]都成立，
即AC⊥BE恒成立.…(5分)
(II)解：設(shè)平面ABE的一個法向量為 ，
∵ ，
∴ ，
取z1=1，則x1=λ， .…(7分)
設(shè)平面BCE的一個法向量為 ，
∵n=3n+1，∴ ，
取z2=1，則y2=λ， ，…(9分)
∵二面角C﹣AE﹣D的大小為120°，
∴ ，
∴λ=1為所求.…(12分)
【點評】： 本題考查異面直線垂直的證明，考查使得二面角為120°的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用.
19.(12分)(衡陽二模)某學(xué)校舉行聯(lián)歡會，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎，甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”“待定”“淘汰”三類票各一張，每個節(jié)目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為 ，且三人投票相互沒有影響，若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎;否則，該節(jié)目不能獲一等獎.
(1)求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎的概率;
(2)求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎”和“待定”票票數(shù)之和X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【考點】： 離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列.
【專題】： 概率與統(tǒng)計.
【分析】： (1)設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎”為事件A，則事件A包含該節(jié)目可以獲2張“獲獎票”或該節(jié)目可以獲3張“獲獎票”，由此能求出某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎的概率.
(2)所含“獲獎”和“待定”票數(shù)之和X的值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【解析】： 解：(1)設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎”為事件A，
則事件A包含該節(jié)目可以獲2張“獲獎票”或該節(jié)目可以獲3張“獲獎票”，
∵甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為 ，
且三人投票相互沒有影響，
∴某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎的概率：
P(A)= = .
(2)所含“獲獎”和“待定”票數(shù)之和X的值為0，1，2，3，
P(X=0)= = ，
P(X=1)= = ，
P(X=2)= = ，
P(X=3)= = ，
∴X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
E(X)= =2.
【點評】： 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題.
20.(12分)(沈陽一模)如圖所示，橢圓C： + =1(a>b>0)，其中e= ，焦距為2，過點M(4，0)的直線l與橢圓C交于點A、B，點B在AM之間.又點A，B的中點橫坐標(biāo)為 ，且 =λ .
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準方程;
(Ⅱ)求實數(shù)λ的值.
【考點】： 橢圓的簡單性質(zhì).
【專題】： 計算題;平面向量及應(yīng)用;直線與圓;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】： (I)運用離心率公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程;
(II)運用向量共線的知識，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運用判別式大于0，以及韋達定理和中點坐標(biāo)公式，計算得到A，B的橫坐標(biāo)，即可得到所求值.
【解析】： 解：(I)由條件可知，c=1，a=2，
故b2=a2﹣c2=3，
橢圓的標(biāo)準方程是 .
(II)由 ，可知A，B，M三點共線，
設(shè)點A(x1，y1)，點B(x2，y2).
若直線AB⊥x軸，則x1=x2=4，不合題意.
當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣4).
由 消去y得，(3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0.①
由①的判別式△=322k4﹣4(4k2+3)(64k2﹣12)=144(1﹣4k2)>0，
解得 ，. ，
由 = = ，可得 ，即有 .
將 代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，
則x1= ，x2= .
又因為 ， ， ，
所以 .
【點評】： 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，考查運算能力，屬于中檔題.
21.(12分)(沈陽一模)已知函數(shù)f(x)=alnx(a>0)，e為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)過點A(2，f(2))的切線斜率為2，求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)當(dāng)x>0.時，求證：f(x)≥a(1﹣ );
(Ⅲ)在區(qū)間(1，e)上e ﹣e <0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【考點】： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.
【專題】： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.
【分析】： (Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法即可證明表達式;
(Ⅲ)利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值之間的關(guān)系即可求解.
【解析】： 解：(I) ， ，a=4.…(2分)
(Ⅱ)令 .…(4分)
令g'(x)>0，即 ，解得x>1，
所以g(x)在(0，1)上遞減，在(1，+∞)上遞增.
所以g(x)最小值為g(1)=0，所以 .…(6分)
(Ⅲ) 由題意可知 ，化簡得 ，a> .…(8分)
令h(x)= ，則h′(x)= ，
∴ .…(9分)
由(Ⅱ)知，在x∈(1，e)上，lnx﹣1+ >0，
∴h′(x)>0，即函數(shù)h(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，
∴h(x)
∴a≥e﹣1.…(12分)
【點評】： 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)和不等式之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運算和推理能力.
請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.在答題卡選答區(qū)域指定位置答題，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.注意所做題目的題號必須與所涂題目的題號一致.【選修4-1：幾何證明選講】
22.(10分)(沈陽一模)如圖，已知AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的兩個點，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG.
(Ⅰ)求證：C是劣弧BD的中點;
(Ⅱ)求證：BF=FG.
【考點】： 與圓有關(guān)的比例線段.
【專題】： 計算題.
【分析】： (I)要證明C是劣弧BD的中點，即證明弧BC與弧CD相等，即證明∠CAB=∠DAC，根據(jù)已知中CF=FG，AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，我們易根據(jù)同角的余角相等，得到結(jié)論.
(II)由已知及(I)的結(jié)論，我們易證明△BFC及△GFC均為等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，進而得到結(jié)論.
【解析】： 解：(I)∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圓O的直徑
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C為劣弧BD的中點(5分)
(II)∵
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可證：CF=GF
∴BF=FG(10分)
【點評】： 本題考查的知識點圓周角定理及其推理，同(等)角的余角相等，其中根據(jù)AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，找出要證明相等的角所在的直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵.
【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
23.(沈陽一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過點P(1，2)，傾斜角α= .
(Ⅰ)寫出圓C的標(biāo)準方程和直線l的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與圓C相交于A、B兩點，求|PA|•|PB|的值.
【考點】： 參數(shù)方程化成普通方程.
【專題】： 坐標(biāo)系和參數(shù)方程.
【分析】： (Ⅰ)利用同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系消去θ，得到圓的普通方程，再由直線過定點和傾斜角確定直線的參數(shù)方程;
(Ⅱ)把直線方程代入圓的方程，得到關(guān)于t的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到所求.
【解析】： 解：(I)消去θ，得圓的標(biāo)準方程為2+y2=16.…(2分)
直線l的參數(shù)方程為 ，即 (t為參數(shù)) …(5分)
(Ⅱ)把直線的方程 代入x2+y2=16，
得(1+ t)2+(2+ t)2=16，即t2+(2+ )t﹣11=0，…(8分)
所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11. …(10分)
【點評】： 本題考查了圓的參數(shù)方程化為普通方程、直線的參數(shù)方程以及直線與圓的位置關(guān)系問題，屬于基礎(chǔ)題.
【選修4-5：不等式選講】
24.(沈陽一模)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x﹣4|>m對一切實數(shù)x均成立，求m的取值范圍.
【考點】： 絕對值不等式的解法;函數(shù)最值的應(yīng)用.
【專題】： 計算題;壓軸題;分類討論.
【分析】： (1)分類討論，當(dāng)x≥4時，當(dāng) 時，當(dāng) 時，分別求出不等式的解集，再把解集取交集.
(2)利用絕對值的性質(zhì)，求出f(x)+3|x﹣4|的最小值為9，故m<9.
【解析】： 解：(1)當(dāng)x≥4時f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0得 x>﹣5，所以，x≥4時，不等式成立.
當(dāng) 時，f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0，得x>1，所以，1
當(dāng) 時，f(x)=﹣x﹣5>0，得x<﹣5，所以，x<﹣5成立
綜上，原不等式的解集為：{x|x>1或x<﹣5}.
(2)f(x)+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣(2x﹣8)|=9，當(dāng) ，
所以，f(x)+3|x﹣4|的最小值為9，故 m<9.
【點評】： 本題考查絕對值不等式的解法，求函數(shù)的最小值的方法，絕對值不等式的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.
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