遼寧省高三數(shù)學(xué)一模試卷答案解析(2)
遼寧省高三數(shù)學(xué)一模試卷答案解析解答題
(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，解答過程書寫在答題紙的對應(yīng)位置.)
17.(12分)(2015•沈陽一模)已知函數(shù)f(x)= sin2x+sinxcosx.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0， ]時，求函數(shù)f(x)的值域.
【考點(diǎn)】： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象.
【專題】： 三角函數(shù)的求值;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).
【分析】： (I)先化簡求得解析式f(x)=sin(2x﹣ )+ ，從而可求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)先求2x﹣ 的范圍，可得sin(2x﹣ )的范圍，從而可求函數(shù)f(x)的值域.
【解析】： 解：(I)f(x)= sin2x+sinxcosx= + sin2x …(2分)
=sin(2x﹣ )+ .…(4分)
函數(shù)f(x)的最小正周期為T=π.…(6分)
因?yàn)椹?+2kπ≤2x﹣ ≤ +2kπ，解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z，.…(8分)
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0， ]時，2x﹣ ∈[﹣ ， ]
sin(2x﹣ )∈[﹣ ，1]，…(10分)
所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閒(x)∈[0，1+ ].…(12分)
【點(diǎn)評】： 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查.
18.(12分)(2015•沈陽一模)某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和參加社團(tuán)活動情況進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示
參加社團(tuán)活動 不參加社團(tuán)活動 合計(jì)
學(xué)習(xí)積極性高 17 8 25
學(xué)習(xí)積極性一般 5 20 25
合計(jì) 22 28 50
(Ⅰ)如果隨機(jī)從該班抽查一名學(xué)生，抽到參加社團(tuán)活動的學(xué)生的概率是多少?抽到不參加社團(tuán)活動且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(Ⅱ)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法【分析】：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參加社團(tuán)活動情況是否有關(guān)系?并說明理由.
x2= .
P(x2≥k) 0.05 0.01 0.001
K 3.841 6.635 10.828
【考點(diǎn)】： 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用.
【專題】： 計(jì)算題;概率與統(tǒng)計(jì).
【分析】： (Ⅰ)求出積極參加社團(tuán)活動的學(xué)生有22人，總?cè)藬?shù)為50人，得到概率，不參加社團(tuán)活動且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生為20人，得到概率.
(Ⅱ)根據(jù)條件中所給的數(shù)據(jù)，代入求這組數(shù)據(jù)的觀測值的公式，求出觀測值，把觀測值同臨界值進(jìn)行比較，得到有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參加社團(tuán)活動情況有關(guān)系.
【解析】： 解：(Ⅰ)積極參加社團(tuán)活動的學(xué)生有22人，總?cè)藬?shù)為50人，
所以隨機(jī)從該班抽查一名學(xué)生，抽到參加社團(tuán)活動的學(xué)生的概率是 = ;
抽到不參加社團(tuán)活動且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生為20人，
所以其概率為 = ;
(Ⅱ)x2= ≈11.7
∵x2>10.828，
∴有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參加社團(tuán)活動情況有關(guān)系.
【點(diǎn)評】： 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義，是一個基礎(chǔ)題，題目一般給出公式，只要我們代入數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算就可以，注意數(shù)字的運(yùn)算不要出錯.
19.(12分)(2015•沈陽一模)如圖，設(shè)四棱錐E﹣ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE= .
(Ⅰ)證明：平面EAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求四棱錐E﹣ABCD的體積.
【考點(diǎn)】： 棱柱、棱錐、棱臺的體積;平面與平面垂直的判定.
【專題】： 空間位置關(guān)系與距離.
【分析】： (I)取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)EO、CO，由已知得△ABC是等邊三角形，由此能證明平面EAB⊥平面ABCD.
(II)VE﹣ABCD= ，由此能求出四棱錐E﹣ABCD的體積.
【解析】： (I)證明：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)EO、CO.
由AE=BE= ，知△AEB為等腰直角三角形.
故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，
則△ABC是等邊三角形，從而CO= .
又因?yàn)镋C=2，所以EC2=EO2+CO2，
所以EO⊥CO.
又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD.
又EO⊂平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD.…(8分)
(II)解：VE﹣ABCD=
=
= .…(12分)
【點(diǎn)評】： 本題考查平面與平面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).
20.(12分)(2015•沈陽一模)已知橢圓C： + =1(a>b>0)，e= ，其中F是橢圓的右焦點(diǎn)，焦距為2，直線l與橢圓C交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ，且 =λ (其中λ>1).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)λ的值.
【考點(diǎn)】： 直線與圓錐曲線的綜合問題.
【專題】： 圓錐曲線中的最值與范圍問題.
【分析】： (I)由條件可知c=1，a=2，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)由 ，可知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB⊥x軸，則x1=x2=1，不合意題意.當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時，設(shè)方程為y=k(x﹣1).由 ，得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)λ的值.
【解析】： 解：(I)由條件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .…(4分)
(Ⅱ)由 ，可知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若直線AB⊥x軸，則x1=x2=1，不合題意.
當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時，設(shè)方程為y=k(x﹣1).
由 ，消去y得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0.①
由①的判別式△=64k4﹣4(4k2+3)(4k2﹣12)=144(k2+1)>0.
因?yàn)?，…(6分)
所以 = ，所以 .…(8分)
將 代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，
解得x= .…(10分)
又因?yàn)?=(1﹣x1，﹣y1)， =(x2﹣1，y2)， ，
，解得 .…(12分)
【點(diǎn)評】： 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.
21.(12分)(2015•沈陽一模)已知函數(shù)f(x)=alnx(a>0)，e為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若過點(diǎn)A(2，f(2))的切線斜率為2，求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)當(dāng)x>0時，求證：f(x)≥a(1﹣ );
(Ⅲ)在區(qū)間(1，e)上 >1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.
【專題】： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.
【分析】： (Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可;
(Ⅲ)利用參數(shù)分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可得到結(jié)論.
【解析】： 【解析】：(I)函數(shù)的f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)= ，
∵過點(diǎn)A(2，f(2))的切線斜率為2，
∴f′(2)= =2，解得a=4.…(2分)
(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣a(1﹣ )=a(lnx﹣1+ );
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=a( ).…(4分)
令g′(x)>0，即a( )>0，解得x>1，
∴g(x)在(0，1)上遞減，在(1，+∞)上遞增.
∴g(x)最小值為g(1)=0，
故f(x)≥a(1﹣ )成立.…(6分)
(Ⅲ)令h(x)=alnx+1﹣x，則h′(x)= ﹣1，
令h′(x)>0，解得x
當(dāng)a>e時，h(x)在(1，e)是增函數(shù)，所以h(x)>h(1)=0.…(9分)
當(dāng)1
∴只需h(x)≥0，即a≥e﹣1.…(10分)
當(dāng)a≤1時，h(x)在(1，e)上遞減，則需h(e)≥0，
∵h(yuǎn)(e)=a+1﹣e<0不合題意.…(11分)
綜上，a≥e﹣1…(12分)
【點(diǎn)評】： 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.
選修4-1：幾何證明選講
22.(10分)(2015•沈陽一模)如圖，已知AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的兩個點(diǎn)，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG.
(Ⅰ)求證：C是劣弧BD的中點(diǎn);
(Ⅱ)求證：BF=FG.
【考點(diǎn)】： 與圓有關(guān)的比例線段.
【專題】： 計(jì)算題.
【分析】： (I)要證明C是劣弧BD的中點(diǎn)，即證明弧BC與弧CD相等，即證明∠CAB=∠DAC，根據(jù)已知中CF=FG，AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，我們易根據(jù)同角的余角相等，得到結(jié)論.
(II)由已知及(I)的結(jié)論，我們易證明△BFC及△GFC均為等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，進(jìn)而得到結(jié)論.
【解析】： 解：(I)∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圓O的直徑
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C為劣弧BD的中點(diǎn)(5分)
(II)∵
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可證：CF=GF
∴BF=FG(10分)
【點(diǎn)評】： 本題考查的知識點(diǎn)圓周角定理及其推理，同(等)角的余角相等，其中根據(jù)AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，找出要證明相等的角所在的直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵.
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
23.(2015•沈陽一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，傾斜角α= .
(Ⅰ)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值.
【考點(diǎn)】： 參數(shù)方程化成普通方程.
【專題】： 坐標(biāo)系和參數(shù)方程.
【分析】： (Ⅰ)利用同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系消去θ，得到圓的普通方程，再由直線過定點(diǎn)和傾斜角確定直線的參數(shù)方程;
(Ⅱ)把直線方程代入圓的方程，得到關(guān)于t的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到所求.
【解析】： 解：(I)消去θ，得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+y2=16.…(2分)
直線l的參數(shù)方程為 ，即 (t為參數(shù)) …(5分)
(Ⅱ)把直線的方程 代入x2+y2=16，
得(1+ t)2+(2+ t)2=16，即t2+(2+ )t﹣11=0，…(8分)
所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11. …(10分)
【點(diǎn)評】： 本題考查了圓的參數(shù)方程化為普通方程、直線的參數(shù)方程以及直線與圓的位置關(guān)系問題，屬于基礎(chǔ)題.
選修4-5：不等式選講
24.(2015•沈陽一模)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x﹣4|>m對一切實(shí)數(shù)x均成立，求m的取值范圍.
【考點(diǎn)】： 絕對值不等式的解法;函數(shù)最值的應(yīng)用.
【專題】： 計(jì)算題;壓軸題;分類討論.
【分析】： (1)分類討論，當(dāng)x≥4時，當(dāng) 時，當(dāng) 時，分別求出不等式的解集，再把解集取交集.
(2)利用絕對值的性質(zhì)，求出f(x)+3|x﹣4|的最小值為9，故m<9.
【解析】： 解：(1)當(dāng)x≥4時f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0得 x>﹣5，所以，x≥4時，不等式成立.
當(dāng) 時，f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0，得x>1，所以，1
當(dāng) 時，f(x)=﹣x﹣5>0，得x<﹣5，所以，x<﹣5成立
綜上，原不等式的解集為：{x|x>1或x<﹣5}.
(2)f(x)+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣(2x﹣8)|=9，當(dāng) ，
所以，f(x)+3|x﹣4|的最小值為9，故 m<9.
【點(diǎn)評】： 本題考查絕對值不等式的解法，求函數(shù)的最小值的方法，絕對值不等式的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.
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