陜西省高考數(shù)學(xué)一?？荚嚲碚骖}(2)
陜西省高考數(shù)學(xué)一模考試卷真題
陜西省高考數(shù)學(xué)一?？荚嚲泶鸢?/h2>
一、選擇題(本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.
【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù) ，求出復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求.
【解答】解： = ，
則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：( ， )，位于第一象限.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.
2.集合P={x|x2﹣9<0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，則P∩Q=( )
A.{x|﹣3
【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.
【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集確定出集合P，取集合Q中解集的整數(shù)解確定出集合Q，然后找出既屬于P又屬于Q的元素即可確定出兩集合的交集.
【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9<0，解得：﹣3
∴集合P={x|﹣3
由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整數(shù)為﹣1，0，1，2，3，
∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，
則P∩Q={﹣1，0，1，2}.
故選D
【點(diǎn)評(píng)】此題屬于以不等式解集為平臺(tái)，考查了交集的元素，是一道基礎(chǔ)題，也是高考中常考的題型.
3.已知cosα=﹣ ，且α∈( ，π)，則tan(α+ )等于( )
A.﹣ B.﹣7 C. D.7
【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù);弦切互化.
【分析】先根據(jù)cosα的值求出tanα的值，再由兩角和與差的正切公式確定答案.
【解答】解析：由cosα=﹣ 且α∈( )得tanα=﹣ ，
∴tan(α+ )= = ，
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和與差的正切公式.屬基礎(chǔ)題.
4.若命題p：對(duì)任意的x∈R，都有x3﹣x2+1<0，則￢p為( )
A.不存在x∈R，使得x3﹣x2+1<0
B.存在x∈R，使得x3﹣x2+1<0
C.對(duì)任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0
D.存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0
【考點(diǎn)】命題的否定.
【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，去判斷.
【解答】解：因?yàn)槊}是全稱命題，根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，
所以命題的否定￢p為：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0
故選：D
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全稱命題的否定，要求掌握全稱命題的否定是特稱命題.
5.在等比數(shù)列{an} 中，a1=4，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{Sn+2}也是等比數(shù)列，則q等于( )
A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3
【考點(diǎn)】等比關(guān)系的確定.
【分析】由數(shù)列{Sn+2}也是等比數(shù)列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比數(shù)列，即(s2+2)2=(S1+2)(S3+2)
代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式整理可得(6+4q)2=24(1+q+q2)+12解方程即可求解
【解答】解：由題意可得q≠1
由數(shù)列{Sn+2}也是等比數(shù)列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比數(shù)列
則(s2+2)2=(S1+2)(S3+2)
代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式整理可得
(6+4q)2=24(1+q+q2)+12
解可得 q=3
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】等比數(shù)列得前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用需要注意公式的選擇，解題時(shí)要注意對(duì)公比q=1，q≠1的分類討論，體現(xiàn)了公式應(yīng)用的全面性.
6.已知向量 =(1，1)，2 + =(4，2)，則向量 ， 的夾角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出 ;利用向量的數(shù)量積公式求出兩個(gè)向量的數(shù)量積;利用向量模的坐標(biāo)公式求出兩個(gè)向量的模;利用向量的數(shù)量積公式求出兩個(gè)向量的夾角余弦.
【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴兩個(gè)向量的夾角余弦為
故選C
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積公式，利用向量的數(shù)量積公式求向量的夾角余弦、考查向量模的坐標(biāo)公式.
7.函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是( )
A.φ=2kπ﹣ ，k∈Z B.φ=kπ﹣ ，k∈Z C.φ=2kπ﹣ ，k∈Z D.φ=kπ﹣ ，k∈Z
【考點(diǎn)】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.
【分析】先利用輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得，f(x)=sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+ )，由函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，f(0)=0代入可得sin( φ)=0，從而可求答案.
【解答】解：∵f(x)=sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+ )的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，f(0)=0
∴sin( φ)=0
∴ φ=kπ
∴φ=
故選：D
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用輔助角公式把不同名的三角函數(shù)化為y=Asin(x+)的形式，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì);還考查了奇函數(shù)的性質(zhì)(若奇函數(shù)的定義域內(nèi)有0，則f(0)=0)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，減少運(yùn)算量.
8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖(算法流程圖)，輸出的結(jié)果是( )
A.9 B.121 C.130 D.17021
【考點(diǎn)】程序框圖.
【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的a，b，c的值，當(dāng)c=16900時(shí)，不滿足條件c<2016，退出循環(huán)，輸出a的值為121.
【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得
a=1，b=2，c=3
滿足條件c<2016，a=2，b=9，c=11
滿足條件c<2016，a=9，b=121，c=130
滿足條件c<2016，a=121，b=16900，c=17021
不滿足條件c<2016，退出循環(huán)，輸出a的值為121.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察了程序框圖和算法，正確理解循環(huán)結(jié)構(gòu)的功能是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查.
9.雙曲線 的離心率為2，則 的最小值為( )
A. B. C.2 D.1
【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì);基本不等式.
【分析】根據(jù)基本不等式 ，只要根據(jù)雙曲線的離心率是2，求出 的值即可.
【解答】解：由于已知雙曲線的離心率是2，故 ，
解得 ，所以 的最小值是 .
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其方程.雙曲線 的離心率e和漸近線的斜率 之間有關(guān)系 ，從這個(gè)關(guān)系可以得出雙曲線的離心率越大，雙曲線的開(kāi)口越大.
10.(x2+3x﹣y)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為( )
A.﹣90 B.﹣30 C.30 D.90
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).
【分析】(x2+3x﹣y)5的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式：Tr+1= (﹣y)5﹣r(x2+3x)r，令5﹣r=2，解得r=3.展開(kāi)(x2+3x)3，進(jìn)而得出.
【解答】解：(x2+3x﹣y)5的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式：Tr+1= (﹣y)5﹣r(x2+3x)r，
令5﹣r=2，解得r=3.
∴(x2+3x)3=x6+3(x2)2•3x+3(x2)×(3x)2+(3x)3，
∴x5y2的系數(shù)= ×9=90.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
11.已知不等式組 表示平面區(qū)域D，現(xiàn)在往拋物線y=﹣x2+x+2與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地拋擲一小顆粒，則該顆粒落到區(qū)域D中的概率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】幾何概型.
【分析】根據(jù)積分的知識(shí)可得先求y=﹣x2+x+2與x軸圍成的封閉區(qū)域?yàn)榍鍹EN，的面積，然后根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)作出平面區(qū)域D，并求面積，最后代入幾何概率的計(jì)算公式可求.
【解答】解：根據(jù)積分的知識(shí)可得，y=﹣x2+x+2與x軸圍成的封閉區(qū)域?yàn)榍鍹EN，面積
=
等式組 表示平面區(qū)域D即為△AOB，其面積為
根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得P=
故選：C
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用積分求解曲面的面積，還考查了幾何概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.
12.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足(x﹣1)f′(x)≤0，且y=f(x+1)為偶函數(shù)，當(dāng)|x1﹣1|<|x2﹣1|時(shí)，有( )
A.f(2﹣x1)≥f(2﹣x2) B.f(2﹣x1)=f(2﹣x2) C.f(2﹣x1)
【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.
【分析】①若函數(shù)f(x)為常數(shù)，可得當(dāng)|x1﹣1|<|x2﹣1|時(shí)，恒有f(2﹣x1)=f(2﹣x2).②若f(x)不是常數(shù)，可得y=f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱.當(dāng)x1≥1，x2≥1，則由|x1﹣1|<|x2﹣1|
可得f(x1)>f(x2).當(dāng)x1<1，x2<1時(shí)，同理可得f(x1)>f(x2).綜合①②得出結(jié)論.
【解答】解：①若f(x)=c，則f'(x)=0，此時(shí)(x﹣1)f'(x)≤0和y=f(x+1)為偶函數(shù)都成立，
此時(shí)當(dāng)|x1﹣1|<|x2﹣1|時(shí)，恒有f(2﹣x1)=f(2﹣x2).
?、谌鬴(x)不是常數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+1)為偶函數(shù)，所以y=f(x+1)=f(﹣x+1)，
即函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱，所以f(2﹣x1)=f(x1)，f(2﹣x2)=f(x2).
當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)≤0，此時(shí)函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x<1時(shí)，f'(x)≥0，此時(shí)函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.
若x1≥1，x2≥1，則由|x1﹣1|<|x2﹣1|，得x1﹣1
同理若x1<1，x2<1，由|x1﹣1|<|x2﹣1|，得﹣(x1﹣1)<﹣(x2﹣1)，即x2
若x1，x2中一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，不妨設(shè)x1<1，x2≥1，則﹣(x1﹣1)
可得1<2﹣x1
綜上有f(x1)>f(x2)，即f(2﹣x1)>f(2﹣x2)，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2=3，a6=11，則S7= 49 .
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;等差數(shù)列的性質(zhì).
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求得a1+a7，再用前n項(xiàng)和公式求得.
【解答】解：∵a2+a6=a1+a7
∴
故答案是49
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.
14.直線y=x與函數(shù) 的圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ﹣1≤m<2 .
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.
【分析】根據(jù)題意，求出直線y=x與射線y=2(x>m)、拋物線y=x2+4x+2在(﹣∞，m]上的部分的三個(gè)交點(diǎn)A、B、C，且三個(gè)交點(diǎn)必須都在y=f(x)圖象上，由此不難得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解答】解：根據(jù)題意，直線y=x與射線y=2(x>m)有一個(gè)交點(diǎn)A(2，2)，
并且與拋物線y=x2+4x+2在(﹣∞，m]上的部分有兩個(gè)交點(diǎn)B、C
由 ，聯(lián)解得B(﹣1，﹣1)，C(﹣2，﹣2)
∵拋物線y=x2+4x+2在(﹣∞，m]上的部分必須包含B、C兩點(diǎn)，
且點(diǎn)A(2，2)一定在射線y=2(x>m)上，才能使y=f(x)圖象與y=x有3個(gè)交點(diǎn)
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是﹣1≤m<2
故答案為：﹣1≤m<2
【點(diǎn)評(píng)】本題給出分段函數(shù)的圖象與直線y=x有3個(gè)交點(diǎn)，求參數(shù)m的取值范圍，著重考查了直線與拋物線位置關(guān)系和分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.
15.設(shè)F為拋物線 的焦點(diǎn)，與拋物線相切于點(diǎn)P(﹣4，﹣4)的直線l與x軸的交點(diǎn)為Q，則∠PQF的值是 .
【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】先求切線方程，從而可得Q的坐標(biāo)，計(jì)算 ，可得 ，從而可得結(jié)論.
【解答】解：由題意，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0，﹣1)
先求導(dǎo)函數(shù)為： x，則p點(diǎn)處切線斜率是2，
∴與拋物線相切于點(diǎn)P(﹣4，﹣4)的直線l的方程為y=2x+4，交x軸于Q(﹣2，0)，
∴
∴
∴
故答案為
【點(diǎn)評(píng)】本題以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查拋物線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求切線方程，利用向量的數(shù)量積求解垂直問(wèn)題.
16.如圖，在小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中畫(huà)出了某多面體的三視圖，則該多面體的外接球表面積為 34π .
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖;球的體積和表面積.
【分析】由三視圖知，該幾何體是一個(gè)側(cè)面與底面垂直的三棱錐，畫(huà)出直觀圖，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出三棱錐外接球的球心與半徑，從而求出外接球的表面積.
【解答】解：由三視圖知，該幾何體是三棱錐S﹣ABC，且三棱錐的一個(gè)側(cè)面SAC與底面ABC垂直，
其直觀圖如圖所示;
由三視圖的數(shù)據(jù)可得OA=OC=2，OB=OS=4，
建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示;
則A(0，﹣2，0)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，S(0，0，4)，
則三棱錐外接球的球心I在平面xOz上，設(shè)I(x，0，z);
由 得，
，
解得x=z= ;
∴外接球的半徑R=|BI|= = ，
∴該三棱錐外接球的表面積S=4πR2=4π× =34π.
故答案為：34π.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖求幾何體外接球的表面積，解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及外接球的半徑，是綜合性題目.
三、解答題(本大題共5小題，共70分)
17.(12分)(2017•榆林一模)如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE.
(Ⅰ)用向量 ， 表示 .
(Ⅱ)設(shè)AB=6，AC=4，A=60°，求線段DE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.
【分析】(Ⅰ)根據(jù)平面向量的線性表示與運(yùn)算法則，用 ， 表示出 即可;
(Ⅱ)根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式，求出| |即可.
【解答】解：(Ⅰ)△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，
且AB=3AD，BC=2BE;
∴ = ， = = ( ﹣ )，
∴ = + = + ( ﹣ )= + ;
(Ⅱ)設(shè)AB=6，AC=4，A=60°，
則 = +2× × • +
= ×62+ ×6×4×cos60°+ ×42
=7，
∴| |= ，
即線段DE的長(zhǎng)為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.
18.(12分)(2017•榆林一模)某校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，決定對(duì)畢業(yè)班的學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)測(cè)試，每個(gè)同學(xué)共有4次測(cè)試機(jī)會(huì)，若某次測(cè)試合格就不用進(jìn)行后面的測(cè)試，已知某同學(xué)每次參加測(cè)試合格的概率組成一個(gè)以 為公差的等差數(shù)列，若他參加第一次測(cè)試就通過(guò)的概率不足 ，恰好參加兩次測(cè)試通過(guò)的概率為 .
(Ⅰ)求該同學(xué)第一次參加測(cè)試就能通過(guò)的概率;
(Ⅱ)求該同學(xué)參加測(cè)試的次數(shù)的分布列和期望.
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差;離散型隨機(jī)變量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)設(shè)出該同學(xué)第一次測(cè)試合格的概率為a，根據(jù)題意列方程求出a的值;
(Ⅱ)該同學(xué)參加測(cè)試的次數(shù)ξ的可能取值是1、2、3、4，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.
【解答】解：(Ⅰ)設(shè)該同學(xué)四次測(cè)試合格的概率依次為：
a，a+ ，a+ ，a+ (a≤ )，
則(1﹣a)(a+ )= ，即a2﹣ a+ =0，
解得a= 或a= ( > 舍去)，
所以小李第一次參加測(cè)試就合格的概率為 ;
(Ⅱ)因?yàn)镻(ξ=1)= ，P(ξ=2)= × = ，
P(ξ=3)= × × = ，
P(ξ=4)=1﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=2)﹣P(ξ=3)= ，
所以ξ的分布列為：
ξ 1 2 3 4
P
所以ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=1× +2× +3× +4× = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望以及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.
19.(12分)(2017•榆林一模)如圖，AC是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1.
(1)證明：EM⊥BF;
(2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.
【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角;直線與平面垂直的性質(zhì);二面角的平面角及求法.
【分析】(1)根據(jù)線面垂直得到線與線垂直，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得到兩個(gè)三角形是等腰直角三角形，有線面垂直得到結(jié)果.
(2)做出輔助線，延長(zhǎng)EF交AC于G，連BG，過(guò)C作CH⊥BG，連接FH.，做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角.
【解答】解：(1)證明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM.∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴ ，AM=3，CM=1.∵EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，
∴FC⊥平面ABC.∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°，即EM⊥MF(也可由勾股定理證得).
∵M(jìn)F∩BM=M，∴EM⊥平面MBF.
而B(niǎo)F⊂平面MBF，∴EM⊥BF.
(2)延長(zhǎng)EF交AC于G，連BG，過(guò)C作CH⊥BG，連接FH.由(1)知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH.∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的
二面角的平面角.
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴ ，
由 ，得GC=2.
∵ ，
又∵△GCH∽△GBM，∴ ，則 .
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，
∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.
20.(12分)(2017•榆林一模)已知點(diǎn)P(﹣1， )是橢圓E： + =1(a>b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF1⊥x軸.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)A，B是橢圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足： + =λ (0<λ<4，且λ≠2)，求直線AB的斜率.
(3)在(2)的條件下，當(dāng)△PAB面積取得最大值時(shí)，求λ的值.
【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系.
【分析】(Ⅰ)由PF1⊥x軸，求出2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出橢圓E的方程.
(2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由 + =λ (0<λ<4，且λ≠2)，得x1+x2=λ﹣2，y1+y2= (2﹣λ)，再由3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0，由此能求出AB的斜率.
(3)設(shè)直線AB的方程為y= x+t，與3x2+4y2=12聯(lián)立得 x2+tx+t2﹣3=0，由此利用根的判別式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、三角形面積公式，求出△PAB的面積為S= × |t﹣2|，設(shè)f(t)=S2=﹣ (t4﹣4t3+16t﹣16)(﹣2
【解答】解：(Ⅰ)∵PF1⊥x軸，∴F1(﹣1，0)，c=1，F(xiàn)2(1，0)，
∴|PF2|= = ，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，
∴橢圓E的方程為： =1.…(3分)
(2)證明：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由 + =λ (0<λ<4，且λ≠2)，得(x1+1，y1﹣ )+(x2+1，y2﹣ )=λ(1，﹣ )，
∴x1+x2=λ﹣2，y1+y2= (2﹣λ)…①…
又 ，兩式相減得3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0…..②
以①式代入可得AB的斜率k= = .…(8分)
(3)設(shè)直線AB的方程為y= x+t，與3x2+4y2=12聯(lián)立消去y并整理得 x2+tx+t2﹣3=0，△=3(4﹣t2)，
|AB|= |x1﹣x2|= × = ，
點(diǎn)P到直線AB的距離為d= ，
△PAB的面積為S= |AB|×d= × |t﹣2|，…(10分)
設(shè)f(t)=S2=﹣ (t4﹣4t3+16t﹣16)(﹣2
f′(t)=﹣3(t3﹣3t2+4)=﹣3(t+1)(t﹣2)2，由f′(t)=0及﹣2
當(dāng)t∈(﹣2，﹣1)時(shí)，f′(t)>0，
當(dāng)t∈(﹣1，2)時(shí)，f′(t)<0，f(t)=﹣1時(shí)取得最大值 ，
所以S的最大值為 .
此時(shí)x1+x2=﹣t=1=λ﹣2，λ=3.…(12分)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、直線、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用.
21.(12分)(2017•榆林一模)已知函數(shù)f(x)=x2﹣ax+ln(x+1)(a∈R).
(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上恒有f′(x)>x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)已知c1>0，且cn+1=f′(cn)(n=1，2，…)，在(2)的條件下，證明數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列.
【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
【分析】(1)先求出導(dǎo)函數(shù)，找到導(dǎo)數(shù)為0的根，在檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)為0的根兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可得出結(jié)論.
(2)因f′(x)=2x﹣a+ ，由f′x)>x，分參數(shù)得到：a
(3)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，要證明當(dāng)n=1時(shí)，c2>c1成立，再假設(shè)n=k時(shí)ck+1>ck，ck>0成立，進(jìn)而證明出n=k+1時(shí)ck+2>ck+1，也成立，即可得到對(duì)于任意正整數(shù)n數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列.
【解答】解：(1)a=2時(shí)，fx)=x2﹣2x+ln(x+1)，則f′(x)=2x﹣2+ = ，
f′x)=0，x=± ，且x>﹣1，
當(dāng)x∈(﹣1，﹣ )∪( ，+∞)時(shí)f′x)>0，當(dāng)x∈(﹣ ， )時(shí)，f′x)<0，
所以，函f(x)的極大值點(diǎn)x=﹣ ，極小值點(diǎn)x= .
(2)因f′(x)=2x﹣a+ ，f′x)>x，
2x﹣a+ >x，
即a
y=x+ =x+1+ ﹣1≥1(當(dāng)且僅x=0時(shí)等號(hào)成立)，
∴ymin=1.∴a≤1
(3)①當(dāng)n=1時(shí)，c2=f′(x)=2c1﹣a+ ，
又∵函y=2x+ 當(dāng)x>1時(shí)單調(diào)遞增，c2﹣c1=c1﹣a+ =c1+1+ ﹣(a+1)>2﹣(a+1)=1﹣a≥0，
∴c2>c1，即n=1時(shí)結(jié)論成立.
?、诩僭O(shè)n=k時(shí)，ck+1>ck，ck>0則n=k+1時(shí)，
ck+1=f′(ck)=2ck﹣a+ ，
ck+2﹣ck+1=ck+1﹣a+ =ck+1+1+ ﹣(a+1)>2﹣(a+1)=1﹣a≥0，
ck+2>ck+1，即n=k+1時(shí)結(jié)論成立.由①，②知數(shù){cn}是單調(diào)遞增數(shù)列.
【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、數(shù)列與函數(shù)的綜合、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22.(10分)(2017•榆林一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1： (φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a>0)，曲線C2： (φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)b>0).在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ=α(ρ≥0，0≤α≤ )與C1交于O、A兩點(diǎn)，與C2交于O、B兩點(diǎn).當(dāng)α=0時(shí)，|OA|=1;當(dāng)α= 時(shí)，|OB|=2.
(Ⅰ)求a，b的值;
(Ⅱ)求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值.
【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程;簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.
【分析】(I)由曲線C1： (φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a>0)，利用cos2φ+sin2φ=1即可化為普通方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可得出極坐標(biāo)方程，進(jìn)而得出a的值.同理可得b的值.
(II)由(I)可得C1，C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ.可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ= +1，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出.
【解答】解：(Ⅰ)由曲線C1： (φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a>0)，
化為普通方程為(x﹣a)2+y2=a2，展開(kāi)為：x2+y2﹣2ax=0，
其極坐標(biāo)方程為ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由題意可得當(dāng)θ=0時(shí)，|OA|=ρ=1，∴a= .
曲線C2： (φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)b>0)，
化為普通方程為x2+(y﹣b)2=b2，展開(kāi)可得極坐標(biāo)方程為ρ=2bsinθ，
由題意可得當(dāng) 時(shí)，|OB|=ρ=2，∴b=1.
(Ⅱ)由(I)可得C1，C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ.
∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1= +1，
∵2θ+ ∈ ，∴ +1的最大值為 +1，
當(dāng)2θ+ = 時(shí)，θ= 時(shí)取到最大值.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
[選修4-5：不等式選講]
23.(2017•榆林一模)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+a|+|x﹣ |(x∈R，實(shí)數(shù)a<0).
(Ⅰ)若f(0)> ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)求證：f(x)≥ .
【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法;分段函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(Ⅰ)去掉絕對(duì)值號(hào)，解關(guān)于a的不等式組，求出a的范圍即可;(Ⅱ)通過(guò)討論x的范圍，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出求出f(x)的最小值即可.
【解答】(Ⅰ)解：∵a<0，∴f(0)=|a|+|﹣ |=﹣a﹣ > ，
即a2+ a+1>0，
解得a<﹣2或﹣
(Ⅱ)證明：f(x)=|2x+a|+|x﹣ |= ，
當(dāng)x≥﹣ 時(shí)，f(x)≥﹣ ﹣ ;
當(dāng)
當(dāng)x≤ 時(shí)，f(x)≥﹣a﹣ ，
∴f(x)min=﹣ ﹣ ≥2 = ，
當(dāng)且僅當(dāng)﹣ =﹣ 即a=﹣ 時(shí)取等號(hào)，
∴f(x)≥ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，是一道中檔題.
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