上海市嘉定區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案(2)
上海市嘉定區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案
上海市高考數(shù)學(xué)一模試卷答案
一、填空題(共12小題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)
1.設(shè)集合A={x||x﹣2|<1，x∈R}，集合B=Z，則A∩B= {2} .
【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.
【分析】利用交集定義求解.
【解答】解：|x﹣2|<1，即﹣1
集合B=Z，
則A∩B={2}，
故答案為：{2}
【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意定義法的合理運(yùn)用.
2.函數(shù)y=sin(ωx﹣ )(ω>0)的最小正周期是π，則ω= 2 .
【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可求值.
【解答】解：∵y=sin(ωx﹣ )(ω>0)，
∴T= =π，
∴ω=2.
故答案是：2.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基礎(chǔ)題.
3.設(shè)i為虛數(shù)單位，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 .
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出.
【解答】解：復(fù)數(shù) = = = 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離= = .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
4.若函數(shù)f(x)=log2(x+1)+a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，則實(shí)數(shù)a= 3 .
【考點(diǎn)】反函數(shù).
【分析】由題意可得函數(shù)f(x)=log2(x+1)+a過(1，4)，代入求得a的值.
【解答】解：函數(shù)f(x)=log2(x+1)+a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，
即函數(shù)f(x)=log2(x+1)+a的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，4)，
∴4=log2(1+1)+a
∴4=1+a，
a=3.
故答案為：3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系與應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.
5.已知(a+3b)n展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則n= 6 .
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).
【分析】令二項(xiàng)式中的a=b=1得到展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式得到各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和2n，據(jù)已知列出方程求出n的值.
【解答】解：令二項(xiàng)式中的a=b=1得到展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和4n
又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n
據(jù)題意得 ，解得n=6.
故答案：6
【點(diǎn)評(píng)】求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題一般通過賦值求出系數(shù)和;二項(xiàng)式系數(shù)和為2n.屬于基礎(chǔ)題.
6.甲、乙兩人從5門不同的選修課中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有 60 種.
【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.
【分析】間接法：①先求所有兩人各選修2門的種數(shù)，②再求兩人所選兩門都相同與都不同的種數(shù)，作差可得答案.
【解答】解：根據(jù)題意，采用間接法：
①由題意可得，所有兩人各選修2門的種數(shù)C52C52=100，
?、趦扇怂x兩門都相同的有為C52=10種，都不同的種數(shù)為C52C32=30，
故只恰好有1門相同的選法有100﹣10﹣30=60種.
故答案為60.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合公式的運(yùn)用，解題時(shí)注意事件之間的關(guān)系，選用間接法是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題.
7.若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2cm，圓心角為270°的扇形，則這個(gè)圓錐的體積為 cm3.
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)).
【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的弧長等于圓錐底面的周長可得底面半徑，進(jìn)而求出圓錐的高，代入圓錐體積公式，可得答案.
【解答】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為r，由題意，得：
2πr= π×2，
解得r= .
故圓錐的高h(yuǎn)= = ，
∴圓錐的體積V= πr2h= cm3.
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解.
8.若數(shù)列{an}的所有項(xiàng)都是正數(shù)，且 + +…+ =n2+3n(n∈N*)，則 ( )= 2 .
【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;極限及其運(yùn)算.
【分析】利用數(shù)列遞推關(guān)系可得an，再利用等差數(shù)列的求和公式、極限的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.
【解答】解：∵ + +…+ =n2+3n(n∈N*)，∴n=1時(shí)， =4，解得a1=16.
n≥2時(shí)，且 + +…+ =(n﹣1)2+3(n﹣1)，可得： =2n+2，∴an=4(n+1)2.
=4(n+1).
∴ ( )= =2.
故答案為：2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的求和公式、極限運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
9.如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=5，AC=7，DC=3，則AB的長為 .
【考點(diǎn)】余弦定理.
【分析】先根據(jù)余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根據(jù)正弦定理可得答案.
【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，
由余弦定理得cos∠ADC= =﹣ ，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°
在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得 ，
∴AB=
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，在解決問題的過程中要靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理.屬基礎(chǔ)題.
10.有以下命題：
?、偃艉瘮?shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)的值域?yàn)閧0};
?、谌艉瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(|x|)=f(x);
?、廴艉瘮?shù)f(x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則f(x)不存在反函數(shù);
?、苋艉瘮?shù)f(x)存在反函數(shù)f﹣1(x)，且f﹣1(x)與f(x)不完全相同，則f(x)與f﹣1(x)圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上;
其中真命題的序號(hào)是?、佗凇?(寫出所有真命題的序號(hào))
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】①函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0.②利用偶函數(shù)的定義和性質(zhì)判斷.③利用單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.④利用反函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.
【解答】解：①若函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0，為常數(shù)函數(shù)，所以f(x)的值域是{0}，
所以①正確.
?、谌艉瘮?shù)為偶函數(shù)，則f(﹣x)=f(x)，所以f(|x|)=f(x)成立，所以②正確.
?、垡?yàn)楹瘮?shù)f(x)= 在定義域上不單調(diào)，但函數(shù)f(x)存在反函數(shù)，所以③錯(cuò)誤.
?、茉瘮?shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，但不一定在直線y=x上，
比如函數(shù)y=﹣ 與其反函數(shù)y=x2﹣1(x≤0)的交點(diǎn)坐標(biāo)有(﹣1，0)，(0，1)，
顯然交點(diǎn)不在直線y=x上，所以④錯(cuò)誤.
故答案為：①②.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的判定和應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng).
11.設(shè)向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a>0，b>0，若A、B、C三點(diǎn)共線，則 + 的最小值為 8 .
【考點(diǎn)】基本不等式.
【分析】A、B、C三點(diǎn)共線，則 =λ ，化簡(jiǎn)可得2a+b=1.根據(jù) + =( + )(2a+b)，利用基本不等式求得它的最小值
【解答】解：向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a>0，b>0，
∴ = ﹣ =(a﹣1，1)， = ﹣ =(﹣b﹣1，2)，
∵A、B、C三點(diǎn)共線，
∴ =λ ，
∴ ，
解得2a+b=1，
∴ + =( + )(2a+b)=2+2+ + ≥4+2 =8，當(dāng)且僅當(dāng)a= ，b= ，取等號(hào)，
故 + 的最小值為8，
故答案為：8
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.
12.如圖，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長為 13 cm.
【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題.
【分析】將三棱柱展開兩次如圖，不難發(fā)現(xiàn)最短距離是六個(gè)矩形對(duì)角線的連線，正好相當(dāng)于繞三棱柱轉(zhuǎn)兩次的最短路徑.
【解答】解：將正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿側(cè)棱展開，再拼接一次，其側(cè)面展開圖如圖所示，
在展開圖中，最短距離是六個(gè)矩形對(duì)角線的連線的長度，也即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值.
由已知求得矩形的長等于6×2=12，寬等于5，由勾股定理d= =13
故答案為：13.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，空間想象能力，幾何體的展開與折疊，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化(空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，化曲為直)的思想方法.
二、選擇題(共4小題，每小題5分，滿分20分)
13.“x<2”是“x2<4”的( )
A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
C.充要條件 D.既非充分也非必要條件
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】先求出x2<4的充要條件，結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可.
【解答】解：由x2<4，解得：﹣2
故x<2是x2<4的必要不充分條件，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考察了充分必要條件，考察集合的包含關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題.
14.若無窮等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1<0，公差d>0，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則以下結(jié)論中一定正確的是( )
A.Sn單調(diào)遞增 B.Sn單調(diào)遞減 C.Sn有最小值 D.Sn有最大值
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【分析】Sn=na1+ d= n2+ n，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論.
【解答】解：Sn=na1+ d= n2+ n，
∵ >0，∴Sn有最小值.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的求和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
15.給出下列命題：
(1)存在實(shí)數(shù)α使 .
(2)直線 是函數(shù)y=sinx圖象的一條對(duì)稱軸.
(3)y=cos(cosx)(x∈R)的值域是[cos1，1].
(4)若α，β都是第一象限角，且α>β，則tanα>tanβ.
其中正確命題的題號(hào)為( )
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的定義域和值域;兩角和與差的正弦函數(shù);正弦函數(shù)的對(duì)稱性;余弦函數(shù)的定義域和值域.
【分析】(1)利用輔助角公式將 可判斷(1);
(2)根據(jù)函數(shù)y=sinx圖象的對(duì)稱軸方程可判斷(2);
(3)根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出y=cos(cosx)(x∈R)的最大值與最小值，從而可判斷(3)的正誤;
(4)用特值法令α，β都是第一象限角，且α>β，可判斷(4).
【解答】解：(1)∵ ，∴(1)錯(cuò)誤;
(2)∵y=sinx圖象的對(duì)稱軸方程為 ，k=﹣1， ，∴(2)正確;
(3)根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得y=cos(cosx)的最大值為ymax=cos0=1，ymin=cos(cos1)，其值域是[cos1，1]，(3)正確;
(4)不妨令 ，滿足α，β都是第一象限角，且α>β，但tanα
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)，著重考查學(xué)生綜合運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.
16.如果對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y，不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞， ] B.[3，+∞) C.[﹣2 ，2 ] D.[﹣3，3]
【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題.
【分析】將不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立轉(zhuǎn)化為 + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，構(gòu)造函數(shù)f(y)= + ，利用基本不等式可求得f(y)min=3，于是問題轉(zhuǎn)化為asinx﹣sin2x≤2恒成立.通過對(duì)sinx>0、sinx<0、sinx=0三類討論，
可求得對(duì)應(yīng)情況下的實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案.
【解答】解：∀實(shí)數(shù)x、y，不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立⇔ + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，
令f(y)= + ，
則asinx+1﹣sin2x≤f(y)min，
當(dāng)y>0時(shí)，f(y)= + ≥2 =3(當(dāng)且僅當(dāng)y=6時(shí)取“=”)，f(y)min=3;
當(dāng)y<0時(shí)，f(y)= + ≤﹣2 =﹣3(當(dāng)且僅當(dāng)y=﹣6時(shí)取“=”)，f(y)max=﹣3，f(y)min不存在;
綜上所述，f(y)min=3.
所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立.
①若sinx>0，a≤sinx+ 恒成立，令sinx=t，則0
由于g′(t)=1﹣ <0，
所以，g(t)=t+ 在區(qū)間(0，1]上單調(diào)遞減，
因此，g(t)min=g(1)=3，
所以a≤3;
?、谌魋inx<0，則a≥sinx+ 恒成立，同理可得a≥﹣3;
?、廴魋inx=0，0≤2恒成立，故a∈R;
綜合①②③，﹣3≤a≤3.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查恒成立問題，將不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立轉(zhuǎn)化為 + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基礎(chǔ)，令f(y)= + ，求得f(y)min=3是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，屬于難題.
三、解答題(共5小題，滿分76分)
17.(14分)(2017•上海一模)如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD與平面BCD所成的角為30°，且AB=BC=2;
(1)求三棱錐A﹣BCD的體積;
(2)設(shè)M為BD的中點(diǎn)，求異面直線AD與CM所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;異面直線及其所成的角.
【分析】(1)由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱錐A﹣BCD的體積.
(2)以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出異面直線AD與CM所成角的大小.
【解答】解：(1)如圖，因?yàn)锳B⊥平面BCD，
所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，
因?yàn)锳B⊥平面BCD，AD與平面BCD所成的角為30°，故∠ADB=30°，
由AB=BC=2，得AD=4，AC=2 ，
∴BD= =2 ，CD= =2 ，
則VA﹣BCD= = =
= .
(2)以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，2，2)，D(2 ，0，0)，C(0，0，0)，B(0，2，0)，M( )，
=(2 ，﹣2，﹣2)， =( )，
設(shè)異面直線AD與CM所成角為θ，
則cosθ= = = .
θ=arccos .
∴異面直線AD與CM所成角的大小為arccos .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和平面所成角的計(jì)算，考查了利用等積法求點(diǎn)到面的距離，變換椎體的頂點(diǎn)，利用其體積相等求空間中點(diǎn)到面的距離是較有效的方法，此題是中檔題.
18.(14分)(2017•上海一模)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且8sin2 .
(I)求角A的大小;
(II) 若a= ，b+c=3，求b和c的值.
【考點(diǎn)】余弦定理;解三角形.
【分析】(I)在△ABC中有B+C=π﹣A，由條件可得：4[1﹣cos(B+C)]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值.
(II)由余弦定理 及a= ，b+c=3，解方程組求得b和c的值.
【解答】解：(I)在△ABC中有B+C=π﹣A，由條件可得：4[1﹣cos(B+C)]﹣4cos2A+2=7，(1分)
又∵cos(B+C)=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0. (4分)
解得 ，∴ .(6分)
(II)由 .(8分)
又 . (10分)
由 .(12分)
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理，二倍角公式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.
19.(14分)(2017•上海一模)某地要建造一個(gè)邊長為2(單位：km)的正方形市民休閑公園OABC，將其中的區(qū)域ODC開挖成一個(gè)池塘，如圖建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，2)，曲線OD是函數(shù)y=ax2圖象的一部分，對(duì)邊OA上一點(diǎn)M在區(qū)域OABD內(nèi)作一次函數(shù)y=kx+b(k>0)的圖象，與線段DB交于點(diǎn)N(點(diǎn)N不與點(diǎn)D重合)，且線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，四邊形MABN為綠化風(fēng)景區(qū)：
(1)求證：b=﹣ ;
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，①用t表示M、N兩點(diǎn)坐標(biāo);②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S=S(t)，并求S的最大值.
【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)y=ax2過點(diǎn)D，求出解析式y(tǒng)=2x2;由 ，消去y得△=0即可證明b=﹣ ;
(2)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(t，2t2)，代入①直線MN的方程，用t表示出直線方程為y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐標(biāo);令y=2求出N的坐標(biāo);
?、趯⑺倪呅蜯ABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S(t)，利用基本不等式求出S的最大值.
【解答】(1)證明：函數(shù)y=ax2過點(diǎn)D(1，2)，
代入計(jì)算得a=2，
∴y=2x2;
由 ，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，
由線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，
得△=(﹣k)2﹣4×2×b=0，
解得b=﹣ ;
(2)解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P(t，2t2);
?、僦本€MN的方程為y=kx+b，
即y=kx﹣ 過點(diǎn)P，
∴kt﹣ =2t2，
解得k=4t;
y=4tx﹣2t2
令y=0，解得x= ，∴M( ，0);
令y=2，解得x= + ，∴N( + ，2);
?、趯⑺倪呅蜯ABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)為
S=S(t)=2×2﹣ ×2×[ +( + )]=4﹣(t+ );
由t+ ≥2• = ，當(dāng)且僅當(dāng)t= ，即t= 時(shí)“=”成立，
所以S≤4﹣2 ;即S的最大值是4﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了閱讀理解能力，是綜合性題目.
20.(16分)(2017•上海一模)已知函數(shù)f(x)=9x﹣2a•3x+3：
(1)若a=1，x∈[0，1]時(shí)，求f(x)的值域;
(2)當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，求f(x)的最小值h(a);
(3)是否存在實(shí)數(shù)m、n，同時(shí)滿足下列條件：①n>m>3;②當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，其值域?yàn)閇m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義;函數(shù)的值域.
【分析】(1)設(shè)t=3x，則φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2，φ(t)的對(duì)稱軸為t=a，當(dāng)a=1時(shí)，即可求出f(x)的值域;
(2)由函數(shù)φ(t)的對(duì)稱軸為t=a，分類討論當(dāng)a< 時(shí)，當(dāng) ≤a≤3時(shí)，當(dāng)a>3時(shí)，求出最小值，則h(a)的表達(dá)式可求;
(3)假設(shè)滿足題意的m，n存在，函數(shù)h(a)在(3，+∞)上是減函數(shù)，求出h(a)的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)∵函數(shù)f(x)=9x﹣2a•3x+3，
設(shè)t=3x，t∈[1，3]，
則φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2，對(duì)稱軸為t=a.
當(dāng)a=1時(shí)，φ(t)=(t﹣1)2+2在[1，3]遞增，
∴φ(t)∈[φ(1)，φ(3)]，
∴函數(shù)f(x)的值域是：[2，6];
(Ⅱ)∵函數(shù)φ(t)的對(duì)稱軸為t=a，
當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，t∈[ ，3]，
當(dāng)a< 時(shí)，ymin=h(a)=φ( )= ﹣ ;
當(dāng) ≤a≤3時(shí)，ymin=h(a)=φ(a)=3﹣a2;
當(dāng)a>3時(shí)，ymin=h(a)=φ(3)=12﹣6a.
故h(a)= ;
(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的m，n存在，∵n>m>3，∴h(a)=12﹣6a，
∴函數(shù)h(a)在(3，+∞)上是減函數(shù).
又∵h(yuǎn)(a)的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇m2，n2]，
則 ，
兩式相減得6(n﹣m)=(n﹣m)•(m+n)，
又∵n>m>3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，與n>m>3矛盾.
∴滿足題意的m，n不存在.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的值域問題，二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問題一般結(jié)合圖象和單調(diào)性處理，是中檔題.
21.(18分)(2017•上海一模)已知無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常數(shù)r∈N;
(1)求證：an+2﹣an是一個(gè)定值;
(2)若數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列(存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意n∈N*，都有an+T=an成立，則稱{an}為周期數(shù)列，T為它的一個(gè)周期，求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列，cn=2•3n﹣1(n∈N*)，問：數(shù)列{cn}中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?若是，請(qǐng)說明理由，若不是，請(qǐng)舉出反例.
【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.
【分析】(1)由rSn=anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1=an+1(an+2﹣an)，由此能夠證明an+2﹣an為定值.
(2)當(dāng)n=1時(shí)，ra=aa2﹣1，故a2= ，根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再由r>0和r=0兩種情況進(jìn)行討論，能夠求出該數(shù)列的周期.
(3)因?yàn)閿?shù)列{an}是一個(gè)有理等差數(shù)列，所以a+a=r=2(r+ )，化簡(jiǎn)2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理數(shù)，由此入手進(jìn)行合理猜想，能夠求出Sn.
【解答】(1)證明：∵rSn=anan+1﹣1，①
∴rSn+1=an+1an+2﹣1，②
②﹣①，得：ran+1=an+1(an+2﹣an)，
∵an>0，∴an+2﹣an=r.
(2)解：當(dāng)n=1時(shí)，ra=aa2﹣1，∴a2= ，
根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)：a，r+ ，a+r，2r+ ，a+2r，3r+ ，….
當(dāng)r>0時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是單調(diào)遞增的，所以不可能是周期數(shù)列，
∴r=0時(shí)，數(shù)列寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)：a， ，a， ，….
所以當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，該數(shù)列的周期是2，
(3)解：因?yàn)閿?shù)列{an}是一個(gè)有理等差數(shù)列，a+a+r=2(r+ )，
化簡(jiǎn)2a2﹣ar﹣2=0，a= 是有理數(shù).
設(shè) =k，是一個(gè)完全平方數(shù)，
則r2+16=k2，r，k均是非負(fù)整數(shù)r=0時(shí)，a=1，an=1，Sn=n.
r≠0時(shí)(k﹣r)(k+r)=16=2×8=4×4可以分解成8組，
其中只有 ，符合要求，
此時(shí)a=2，an= ，Sn= ，
∵cn=2•3n﹣1(n∈N*)，an=1時(shí)，不符合，舍去.
an= 時(shí)，若2•3n﹣1= ，則：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2時(shí)，k= ，不是整數(shù)，
因此數(shù)列{cn}中的所有項(xiàng)不都是數(shù)列{an}中的項(xiàng).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、數(shù)列的周期性性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.
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