山東濰坊中考數(shù)學試卷附答案解析
山東濰坊中考數(shù)學試卷附答案解析
山東濰坊的同學,是不是在找數(shù)學試卷呢?中考的復(fù)習少不了要做試卷。下面由學習啦小編為大家提供關(guān)于山東濰坊中考數(shù)學試卷附答案解析,希望對大家有幫助!
山東濰坊中考數(shù)學試卷一、選擇題
(共12小題,每小題3分,滿分36分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是正確的,請把正確的選項選出來,每小題選對得3分,選錯、不選或選出的答案超過一個均記0分)
1.下列算式,正確的是( )
A.a3×a2=a6 B.a3÷a=a3 C.a2+a2=a4 D.(a2)2=a4
【考點】48:同底數(shù)冪的除法;35:合并同類項;46:同底數(shù)冪的乘法;47:冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)整式運算法則即可求出答案.
【解答】解:(A)原式=a5,故A錯誤;
(B)原式=a2,故B錯誤;
(C)原式=2a2,故C錯誤;
故選(D)
2.如圖所示的幾何體,其俯視圖是( )
A. B. C. D.
【考點】U1:簡單幾何體的三視圖.
【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖,可得答案.
【解答】解:從上邊看是一個同心圓,內(nèi)圓是虛線,
故選:D.
3.可燃冰,學名叫“天然氣水合物”,是一種高效清潔、儲量巨大的新能源.據(jù)報道,僅我國可燃冰預(yù)測遠景資源量就超過了1000億噸油當量.將1000億用科學記數(shù)法可表示為( )
A.1×103 B.1000×108 C.1×1011 D.1×1014
【考點】1I:科學記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時,n是正數(shù);當原數(shù)的絕對值<1時,n是負數(shù).
【解答】解:將1000億用科學記數(shù)法表示為:1×1011.
故選:C.
4.小瑩和小博士下棋,小瑩執(zhí)圓子,小博士執(zhí)方子.如圖,棋盤中心方子的位置用(﹣1,0)表示,右下角方子的位置用(0,﹣1)表示.小瑩將第4枚圓子放入棋盤后,所有棋子構(gòu)成一個軸對稱圖形.他放的位置是( )
A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,﹣2) D.(﹣1,﹣2)
【考點】P6:坐標與圖形變化﹣對稱;D3:坐標確定位置.
【分析】首先確定x軸、y軸的位置,然后根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷.
【解答】解:棋盤中心方子的位置用(﹣1,0)表示,則這點所在的橫線是x軸,右下角方子的位置用(0,﹣1),則這點所在的縱線是y軸,則當放的位置是(﹣1,1)時構(gòu)成軸對稱圖形.
故選B.
5.用教材中的計算器依次按鍵如下,顯示的結(jié)果在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置介于( )之間.
A.B與C B.C與D C.E與F D.A與B
【考點】25:計算器—數(shù)的開方;29:實數(shù)與數(shù)軸.
【分析】此題實際是求﹣ 的值.
【解答】解:在計算器上依次按鍵轉(zhuǎn)化為算式為﹣ =;
計算可得結(jié)果介于﹣2與﹣1之間.
故選A.
6.如圖,∠BCD=90°,AB∥DE,則∠α與∠β滿足( )
A.∠α+∠β=180° B.∠β﹣∠α=90° C.∠β=3∠α D.∠α+∠β=90°
【考點】JA:平行線的性質(zhì).
【分析】過C作CF∥AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠α,∠2=180°﹣∠β,于是得到結(jié)論.
【解答】解:過C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴AB∥CF∥DE,
∴∠1=∠α,∠2=180°﹣∠β,
∵∠BCD=90°,
∴∠1+∠2=∠α+180°﹣∠β=90°,
∴∠β﹣∠α=90°,
故選B.
7.甲、乙、丙、丁四名射擊運動員在選選拔賽中,每人射擊了10次,甲、乙兩人的成績?nèi)绫硭?丙、丁兩人的成績?nèi)鐖D所示.欲選一名運動員參賽,從平均數(shù)與方差兩個因素分析,應(yīng)選( )
甲 乙
平均數(shù) 9 8
方差 1 1
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【考點】W7:方差;VD:折線統(tǒng)計圖;W2:加權(quán)平均數(shù).
【分析】求出丙的平均數(shù)、方差,乙的平均數(shù),即可判斷.
【解答】解:丙的平均數(shù)= =9,丙的方差= [1+1+1=1]=0.4,
乙的平均數(shù)= =8.2,
由題意可知,丙的成績最好,
故選C.
8.一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y= ,其中ab<0,a、b為常數(shù),它們在同一坐標系中的圖象可以是( )
A. B. C. D.
【考點】G2:反比例函數(shù)的圖象;F3:一次函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的位置確定a、b的大小,看是否符合ab<0,計算a﹣b確定符號,確定雙曲線的位置.
【解答】解:A、由一次函數(shù)圖象過一、三象限,得a>0,交y軸負半軸,則b<0,
滿足ab<0,
∴a﹣b>0,
∴反比例函數(shù)y= 的圖象過一、三象限,
所以此選項不正確;
B、由一次函數(shù)圖象過二、四象限,得a<0,交y軸正半軸,則b>0,
滿足ab<0,
∴a﹣b<0,
∴反比例函數(shù)y= 的圖象過二、四象限,
所以此選項不正確;
C、由一次函數(shù)圖象過一、三象限,得a>0,交y軸負半軸,則b<0,
滿足ab<0,
∴a﹣b>0,
∴反比例函數(shù)y= 的圖象過一、三象限,
所以此選項正確;
D、由一次函數(shù)圖象過二、四象限,得a<0,交y軸負半軸,則b<0,
滿足ab>0,與已知相矛盾
所以此選項不正確;
故選C.
9.若代數(shù)式 有意義,則實數(shù)x的取值范圍是( )
A.x≥1 B.x≥2 C.x>1 D.x>2
【考點】72:二次根式有意義的條件.
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出x的范圍;
【解答】解:由題意可知:
∴解得:x≥2
故選(B)
10.如圖,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形.延長AB與DC相交于點G,AO⊥CD,垂足為E,連接BD,∠GBC=50°,則∠DBC的度數(shù)為( )
A.50° B.60° C.80° D.90°
【考點】M6:圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)四點共圓的性質(zhì)得:∠GBC=∠ADC=50°,由垂徑定理得: ,則∠DBC=2∠EAD=80°.
【解答】解:如圖,∵A、B、D、C四點共圓,
∴∠GBC=∠ADC=50°,
∵AE⊥CD,
∴∠AED=90°,
∴∠EAD=90°﹣50°=40°,
延長AE交⊙O于點M,
∵AO⊥CD,
∴ ,
∴∠DBC=2∠EAD=80°.
故選C.
11.定義[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),如[1.8]=1,[﹣1.4]=﹣2,[﹣3]=﹣3.函數(shù)y=[x]的圖象如圖所示,則方程[x]= x2的解為( )#N.
A.0或 B.0或2 C.1或 D. 或﹣
【考點】A8:解一元二次方程﹣因式分解法;2A:實數(shù)大小比較;E6:函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)新定義和函數(shù)圖象討論:當1≤x≤2時,則 x2=1;當﹣1≤x≤0時,則 x2=0,當﹣2≤x<﹣1時,則 x2=﹣1,然后分別解關(guān)于x的一元二次方程即可.
【解答】解:當1≤x≤2時, x2=1,解得x1= ,x2=﹣ ;
當﹣1≤x≤0時, x2=0,解得x1=x2=0;
當﹣2≤x<﹣1時, x2=﹣1,方程沒有實數(shù)解;
所以方程[x]= x2的解為0或 .
12.點A、C為半徑是3的圓周上兩點,點B為 的中點,以線段BA、BC為鄰邊作菱形ABCD,頂點D恰在該圓直徑的三等分點上,則該菱形的邊長為( )
A. 或2 B. 或2 C. 或2 D. 或2
【考點】M4:圓心角、弧、弦的關(guān)系;L8:菱形的性質(zhì).
【分析】過B作直徑,連接AC交AO于E,①如圖①,根據(jù)已知條件得到BD= ×2×3=2,如圖②,BD= ×2×3=4,求得OD=1,OE=2,DE=1,連接OD,根據(jù)勾股定理得到結(jié)論,
【解答】解:過B作直徑,連接AC交AO于E,
∵點B為 的中點,
∴BD⊥AC,
?、偃鐖D①,
∵點D恰在該圓直徑的三等分點上,
∴BD= ×2×3=2,
∴OD=OB﹣BD=1,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴DE= BD=1,
∴OE=2,
連接OD,
∵CE= = ,
∴邊CD= = ;
如圖②,BD= ×2×3=4,
同理可得,OD=1,OE=1,DE=2,
連接OD,
∵CE= = =2 ,
∴邊CD= = =2 ,
故選D.
山東濰坊中考數(shù)學試卷二、填空題
(共6小題,每小題3分,滿分18分。只要求填寫最后結(jié)果,每小題全對得3分)
13.計算:(1﹣ )÷ = x+1 .
【考點】6C:分式的混合運算.
【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子,從而可以解答本題.
【解答】解:(1﹣ )÷
=
=
=x+1,
故答案為:x+1.
14.因式分解:x2﹣2x+(x﹣2)= (x+1)(x﹣2) .
【考點】53:因式分解﹣提公因式法.
【分析】通過兩次提取公因式來進行因式分解.
【解答】解:原式=x(x﹣2)+(x﹣2)=(x+1)(x﹣2).
故答案是:(x+1)(x﹣2).
15.如圖,在△ABC中,AB≠AC.D、E分別為邊AB、AC上的點.AC=3AD,AB=3AE,點F為BC邊上一點,添加一個條件: DF∥AC,或∠BFD=∠A ,可以使得△FDB與△ADE相似.(只需寫出一個)
【考點】S8:相似三角形的判定.
【分析】結(jié)論:DF∥AC,或∠BFD=∠A.根據(jù)相似三角形的判定方法一一證明即可.
【解答】解:DF∥AC,或∠BFD=∠A.
理由:∵∠A=∠A, = = ,
∴△ADE∽△ACB,
∴①當DF∥AC時,△BDF∽△BAC,
∴△BDF∽△EAD.
?、诋?ang;BFD=∠A時,∵∠B=∠AED,
∴△FBD∽△AED.
故答案為DF∥AC,或∠BFD=∠A.
16.若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有實數(shù)根,則k的取值范圍是 k≤1且k≠0 .
【考點】AA:根的判別式.
【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍,進而可以得到關(guān)于k的不等式,解得即可,同時還應(yīng)注意二次項系數(shù)不能為0.
【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有實數(shù)根,
∴△=b2﹣4ac≥0,
即:4﹣4k≥0,
解得:k≤1,
∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0,
故答案為:k≤1且k≠0.
17.如圖,自左至右,第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等邊三角形組成;第2個圖由2個正六邊形、11個正方形和10個等邊三角形組成;第3個圖由3個正六邊形、16個正方形和14個等邊三角形組成;…按照此規(guī)律,第n個圖中正方形和等邊三角形的個數(shù)之和為 9n+3 個.
【考點】38:規(guī)律型:圖形的變化類.
【分析】根據(jù)題中正方形和等邊三角形的個數(shù)找出規(guī)律,進而可得出結(jié)論.
【解答】解:∵第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等邊三角形組成,
∴正方形和等邊三角形的和=6+6=12=9+3;
∵第2個圖由11個正方形和10個等邊三角形組成,
∴正方形和等邊三角形的和=11+10=21=9×2+3;
∵第3個圖由16個正方形和14個等邊三角形組成,
∴正方形和等邊三角形的和=16+14=30=9×3+3,
…,
∴第n個圖中正方形和等邊三角形的個數(shù)之和=9n+3.
故答案為:9n+3.
18.如圖,將一張矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對折,使點B落在AD邊上,記為B′,折痕為CE,再將CD邊斜向下對折,使點D落在B′C邊上,記為D′,折痕為CG,B′D′=2,BE= BC.則矩形紙片ABCD的面積為 15 .
【考點】PB:翻折變換(折疊問題);LB:矩形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)翻折變化的性質(zhì)和勾股定理可以求得BC和AB的長,然后根據(jù)矩形的面積公式即可解答本題.
【解答】解:設(shè)BE=a,則BC=3a,
由題意可得,
CB=CB′,CD=CD′,BE=B′E=a,
∵B′D′=2,
∴CD′=3a﹣2,
∴CD=3a﹣2,
∴AE=3a﹣2﹣a=2a﹣2,
∴DB′= = =2 ,
∴AB′=3a﹣2 ,
∵AB′2+AE2=B′E2,
∴ ,
解得,a= 或a= ,
當a= 時,BC=2,
∵B′D′=2,CB=CB′,
∴a= 時不符合題意,舍去;
當a= 時,BC=5,AB=CD=3a﹣2=3,
∴矩形紙片ABCD的面積為:5×3=15,
故答案為:15.
山東濰坊中考數(shù)學試卷三、解答題
(共7小題,滿分66分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
19.本校為了解九年級男同學的體育考試準備情況,隨機抽取部分男同學進行了1000米跑步測試.按照成績分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級,學校繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖.
(1)根據(jù)給出的信息,補全兩幅統(tǒng)計圖;
(2)該校九年級有600名男生,請估計成績未達到良好有多少名?
(3)某班甲、乙兩位成績優(yōu)秀的同學被選中參加即將舉行的學校運動會1000米比賽.預(yù)賽分別為A、B、C三組進行,選手由抽簽確定分組.甲、乙兩人恰好分在同一組的概率是多少?
【考點】X6:列表法與樹狀圖法;V5:用樣本估計總體;VB:扇形統(tǒng)計圖;VC:條形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)利用良好的人數(shù)除以良好的人數(shù)所占的百分比可得抽查的人數(shù),然后計算出合格的人數(shù)和合格人數(shù)所占百分比,再計算出優(yōu)秀人數(shù),然后畫圖即可;
(2)計算出成績未達到良好的男生所占比例,再利用樣本代表總體的方法得出答案;
(3)直接利用樹狀圖法求出所有可能,進而求出概率.
【解答】解:(1)抽取的學生數(shù):16÷40%=40(人);
抽取的學生中合格的人數(shù):40﹣12﹣16﹣2=10,
合格所占百分比:10÷40=25%,
優(yōu)秀人數(shù):12÷40=30%,
如圖所示:
;
(2)成績未達到良好的男生所占比例為:25%+5%=30%,
所以600名九年級男生中有600×30%=180(名);
(3)如圖:
,
可得一共有9種可能,甲、乙兩人恰好分在同一組的有3種,
所以甲、乙兩人恰好分在同一組的概率P= = .
20.如圖,某數(shù)學興趣小組要測量一棟五層居民樓CD的高度.該樓底層為車庫,高2.5米;上面五層居住,每層高度相等.測角儀支架離地1.5米,在A處測得五樓頂部點D的仰角為60°,在B處測得四樓頂點E的仰角為30°,AB=14米.求居民樓的高度(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù): ≈1.73)
【考點】TA:解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題.
【分析】設(shè)每層樓高為x米,由MC﹣CC′求出MC′的長,進而表示出DC′與EC′的長,在直角三角形DC′A′中,利用銳角三角函數(shù)定義表示出C′A′,同理表示出C′B′,由C′B′﹣C′A′求出AB 的長即可.
【解答】解:設(shè)每層樓高為x米,
由題意得:MC′=MC﹣CC′=2.5﹣1.5=1米,
∴DC′=5x+1,EC′=4x+1,
在Rt△DC′A′中,∠DA′C′=60°,
∴C′A′= = (5x+1),
在Rt△EC′B′中,∠EB′C′=30°,
∴C′B′= = (4x+1),
∵A′B′=C′B′﹣C′A′=AB,
∴ (4x+1)﹣ (5x+1)=14,
解得:x≈3.17,
則居民樓高為5×3.17+2.5≈18.4米.
21.某蔬菜加工公司先后兩批次收購蒜薹(tái)共100噸.第一批蒜薹價格為4000元/噸;因蒜薹大量上市,第二批價格跌至1000元/噸.這兩批蒜苔共用去16萬元.
(1)求兩批次購進蒜薹各多少噸?
(2)公司收購后對蒜薹進行加工,分為粗加工和精加工兩種:粗加工每噸利潤400元,精加工每噸利潤1000元.要求精加工數(shù)量不多于粗加工數(shù)量的三倍.為獲得最大利潤,精加工數(shù)量應(yīng)為多少噸?最大利潤是多少?
【考點】FH:一次函數(shù)的應(yīng)用;9A:二元一次方程組的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)第一批購進蒜薹x噸,第二批購進蒜薹y噸.構(gòu)建方程組即可解決問題.
(2)設(shè)精加工m噸,總利潤為w元,則粗加工噸.由m≤3,解得m≤75,利潤w=1000m+400=600m+40000,構(gòu)建一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.
【解答】解:(1)設(shè)第一批購進蒜薹x噸,第二批購進蒜薹y噸.
由題意 ,
解得 ,
答:第一批購進蒜薹20噸,第二批購進蒜薹80噸.
(2)設(shè)精加工m噸,總利潤為w元,則粗加工噸.
由m≤3,解得m≤75,
利潤w=1000m+400=600m+40000,
∵600>0,
∴w隨m的增大而增大,
∴m=75時,w有最大值為85000元.
22.如圖,AB為半圓O的直徑,AC是⊙O的一條弦,D為 的中點,作DE⊥AC,交AB的延長線于點F,連接DA.
(1)求證:EF為半圓O的切線;
(2)若DA=DF=6 ,求陰影區(qū)域的面積.(結(jié)果保留根號和π)
【考點】ME:切線的判定與性質(zhì);MO:扇形面積的計算.
【分析】(1)直接利用切線的判定方法結(jié)合圓心角定理分析得出OD⊥EF,即可得出答案;
(2)直接利用得出S△ACD=S△COD,再利用S陰影=S△AED﹣S扇形COD,求出答案.
【解答】(1)證明:連接OD,
∵D為 的中點,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°,
∴∠CAD+∠EDA=90°,即∠ADO+∠EDA=90°,
∴OD⊥EF,
∴EF為半圓O的切線;
(2)解:連接OC與CD,
∵DA=DF,
∴∠BAD=∠F,
∴∠BAD=∠F=∠CAD,
又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°,
∴∠F=30°,∠BAC=60°,
∵OC=OA,
∴△AOC為等邊三角形,
∴∠AOC=60°,∠COB=120°,
∵OD⊥EF,∠F=30°,
∴∠DOF=60°,
在Rt△ODF中,DF=6 ,
∴OD=DF•tan30°=6,
在Rt△AED中,DA=6 ,∠CAD=30°,
∴DE=DA•sin30 ,EA=DA•cos30°=9,
∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°,
∴CD∥AB,
故S△ACD=S△COD,
∴S陰影=S△AED﹣S扇形COD= ×9×3 ﹣ π×62= ﹣6π.
23.工人師傅用一塊長為10dm,寬為6dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器,需要將四角各裁掉一個正方形.(厚度不計)
(1)在圖中畫出裁剪示意圖,用實線表示裁剪線,虛線表示折痕;并求長方體底面面積為12dm2時,裁掉的正方形邊長多大?
(2)若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的五倍,并將容器進行防銹處理,側(cè)面每平方分米的費用為0.5元,底面每平方分米的費用為2元,裁掉的正方形邊長多大時,總費用最低,最低為多少?
【考點】HE:二次函數(shù)的應(yīng)用;AD:一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)由題意可畫出圖形,設(shè)裁掉的正方形的邊長為xdm,則題意可列出方程,可求得答案;
(2)由條件可求得x的取值范圍,用x可表示出總費用,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最小值,可求得答案.
【解答】解:
(1)如圖所示:
設(shè)裁掉的正方形的邊長為xdm,
由題意可得(10﹣2x)(6﹣2x)=12,
即x2﹣8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),
答:裁掉的正方形的邊長為2dm,底面積為12dm2;
(2)∵長不大于寬的五倍,
∴10﹣2x≤5(6﹣2x),解得0
設(shè)總費用為w元,由題意可知
w=0.5×2x(16﹣4x)+2(10﹣2x)(6﹣2x)=4x2﹣48x+120=4(x﹣6)2﹣24,
∵對稱軸為x=6,開口向上,
∴當0
∴當x=2.5時,w有最小值,最小值為25元,
答:當裁掉邊長為2.5dm的正方形時,總費用最低,最低費用為25元.
24.邊長為6的等邊△ABC中,點D、E分別在AC、BC邊上,DE∥AB,EC=2
(1)如圖1,將△DEC沿射線方向平移,得到△D′E′C′,邊D′E′與AC的交點為M,邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點N,當CC′多大時,四邊形MCND′為菱形?并說明理由.
(2)如圖2,將△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,連接AD′、BE′.邊D′E′的中點為P.
?、僭谛D(zhuǎn)過程中,AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;
?、谶B接AP,當AP最大時,求AD′的值.(結(jié)果保留根號)
【考點】LO:四邊形綜合題.
【分析】(1)先判斷出四邊形MCND'為平行四邊形,再由菱形的性質(zhì)得出CN=CM,即可求出CC';
(2)①分兩種情況,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),即可判斷出△ACD≌△BCE'即可得出結(jié)論;
?、谙扰袛喑鳇cA,C,P三點共線,先求出CP,AP,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.
【解答】解:(1)當CC'= 時,四邊形MCND'是菱形.
理由:由平移的性質(zhì)得,CD∥C'D',DE∥D'E',
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°,
∵CN是∠ACC'的角平分線,
∴∠D'E'C'= ∠ACC'=60°=∠B,
∴∠D'E'C'=∠NCC',
∴D'E'∥CN,
∴四邊形MCND'是平行四邊形,
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°,∠NCC'=∠NC'C=60°,
∴△MCE'和△NCC'是等邊三角形,
∴MC=CE',NC=CC',
∵E'C'=2 ,
∵四邊形MCND'是菱形,
∴CN=CM,
∴CC'= E'C'= ;
(2)①AD'=BE',
理由:當α≠180°時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,∠ACD'=∠BCE',
由(1)知,AC=BC,CD'=CE',
∴△ACD'≌△BCE',
∴AD'=BE',
當α=180°時,AD'=AC+CD',BE'=BC+CE',
即:AD'=BE',
綜上可知:AD'=BE'.
?、谌鐖D連接CP,
在△ACP中,由三角形三邊關(guān)系得,AP
∴當點A,C,P三點共線時,AP最大,
如圖1,在△D'CE'中,由P為D'E的中點,得AP⊥D'E',PD'= ,
∴CP=3,
∴AP=6+3=9,
在Rt△APD'中,由勾股定理得,AD'= =2 .
25.如圖1,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點A(0,3)、B(﹣1,0)、D(2,3),拋物線與x軸的另一交點為E.經(jīng)過點E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分,與拋物線交于另一點F.點P在直線l上方拋物線上一動點,設(shè)點P的橫坐標為t
(1)求拋物線的解析式;
(2)當t何值時,△PFE的面積最大?并求最大值的立方根;
(3)是否存在點P使△PAE為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.
【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)由A、B、C三點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)由A、C坐標可求得平行四邊形的中心的坐標,由拋物線的對稱性可求得E點坐標,從而可求得直線EF的解析式,作PH⊥x軸,交直線l于點M,作FN⊥PH,則可用t表示出PM的長,從而可表示出△PEF的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值,再求其最大值的立方根即可;
(3)由題意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°兩種情況,當∠PAE=90°時,作PG⊥y軸,利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值;當∠APE=90°時,作PK⊥x軸,AQ⊥PK,則可證得△PKE∽△AQP,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值.
【解答】解:
(1)由題意可得 ,解得 ,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)∵A(0,3),D(2,3),
∴BC=AD=2,
∵B(﹣1,0),
∴C(1,0),
∴線段AC的中點為( , ),
∵直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分,
∴直線l過平行四邊形的對稱中心,
∵A、D關(guān)于對稱軸對稱,
∴拋物線對稱軸為x=1,
∴E(3,0),
設(shè)直線l的解析式為y=kx+m,把E點和對稱中心坐標代入可得 ,解得 ,
∴直線l的解析式為y=﹣ x+ ,
聯(lián)立直線l和拋物線解析式可得 ,解得 或 ,
∴F(﹣ , ),
如圖1,作PH⊥x軸,交l于點M,作FN⊥PH,
∵P點橫坐標為t,
∴P(t,﹣t2+2t+3),M(t,﹣ t+ ),
∴PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣ t+ )=﹣t2+ t+ ,
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM= PM•FN+ PM•EH= PM•(FN+EH)= (﹣t2+ t+ )(3+ )=﹣ (t﹣ )+ × ,
∴當t= 時,△PEF的面積最大,其最大值為 × ,
∴最大值的立方根為 = ;
(3)由圖可知∠PEA≠90°,
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°,
?、佼?ang;PAE=90°時,如圖2,作PG⊥y軸,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA=45°,
∴∠PAG=∠APG=45°,
∴PG=AG,
∴t=﹣t2+2t+3﹣3,即﹣t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去),
②當∠APE=90°時,如圖3,作PK⊥x軸,AQ⊥PK,
則PK=﹣t2+2t+3,AQ=t,KE=3﹣t,PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t,
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°,
∴∠PAQ=∠KPE,且∠PKE=∠PQA,
∴△PKE∽△AQP,
∴ = ,即 = ,即t2﹣t﹣1=0,解得t= 或t= <﹣ (舍去),
綜上可知存在滿足條件的點P,t的值為1或 .
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