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2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

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2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

  2018年廣西的中考試卷大家都做了嗎?數(shù)學(xué)試卷難嗎?想不想要校對數(shù)學(xué)試卷的答案呢?下面由學(xué)習(xí)啦小編為大家提供關(guān)于2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析,希望對大家有幫助!

  2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

  本大題共12個小題,每小題3分,共36分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

  1.7的相反數(shù)是(  )

  A.7 B.﹣7 C. D.﹣

  【考點】14:相反數(shù).

  【分析】根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣”號,求解即可.

  【解答】解:7的相反數(shù)是﹣7,

  故選:B.

  2.數(shù)據(jù)3,2,4,2,5,3,2的中位數(shù)和眾數(shù)分別是(  )

  A.2,3 B.4,2 C.3,2 D.2,2

  【考點】W5:眾數(shù);W4:中位數(shù).

  【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進行解答即可.

  【解答】解:把這組數(shù)據(jù)從小到大排列:2,2,2,3,3,4,5,

  最中間的數(shù)是3,

  則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3;

  2出現(xiàn)了3次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,則眾數(shù)是2.

  故選:C.

  3.如圖是一個空心圓柱體,它的左視圖是(  )

  A. B. C. D.

  【考點】U1:簡單幾何體的三視圖.

  【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖,可得答案.

  【解答】解:從左邊看是三個矩形,中間矩形的左右兩邊是虛線,

  故選:B.

  4.下列二次根式中,最簡二次根式是(  )

  A. B. C. D.

  【考點】74:最簡二次根式.

  【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足,同時滿足的就是最簡二次根式,否則就不是.

  【解答】解:A、被開方數(shù)不含分母;被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式,故A符合題意;

  B、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式,故B不符合題意;

  C、被開方數(shù)含分母,故C不符合題意;

  D、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式,故D不符合題意;

  故選:A.

  5.下列運算正確的是(  )

  A.3a2+a=3a3 B.2a3•(﹣a2)=2a5 C.4a6+2a2=2a3 D.(﹣3a)2﹣a2=8a2

  【考點】49:單項式乘單項式;35:合并同類項;47:冪的乘方與積的乘方.

  【分析】運用合并同類項,單項式乘以單項式,冪的乘方等運算法則運算即可.

  【解答】解:A.3a2與a不是同類項,不能合并,所以A錯誤;

  B .2a3•(﹣a2)=2×(﹣1)a5=﹣2a5,所以B錯誤;

  C.4a6與2a2不是同類項,不能合并,所以C錯誤;

  D.(﹣3a)2﹣a2=9a2﹣a2=8a2,所以D正確,

  故選D.

  6.在平面直角坐標(biāo)系中,點P(m﹣3,4﹣2m)不可能在(  )

  A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

  【考點】D1:點的坐標(biāo).

  【分析】分點P的橫坐標(biāo)是正數(shù)和負數(shù)兩種情況討論求解.

  【解答】解:①m﹣3>0,即m>3時,﹣2m<﹣6,

  4﹣2m<﹣2,

  所以,點P(m﹣3,4﹣2m)在第四象限,不可能在第一象限;

 ?、趍﹣3<0,即m<3時,﹣2m>﹣6,

  4﹣2m>﹣2,

  點P(m﹣3,4﹣2m)可以在第二或三象限,

  綜上所述,點P不可能在第一象限.

  故選A.

  7.下列命題中假命題是(  )

  A.正六邊形的外角和等于360°

  B.位似圖形必定相似

  C.樣本方差越大,數(shù)據(jù)波動越小

  D.方程x2+x+1=0無實數(shù)根

  【考點】O1:命題與定理.

  【分析】根據(jù)正確的命題是真命題,錯誤的命題是假命題進行分析即可.

  【解答】解:A、正六邊形的外角和等于360°,是真命題;

  B、位似圖形必定相似,是真命題;

  C、樣本方差越大,數(shù)據(jù)波動越小,是假命題;

  D、方程x2+x+1=0無實數(shù)根,是真命題;

  故選:C.

  8.從長為3,5,7,10的四條線段中任意選取三條作為邊,能構(gòu)成三角形的概率是(  )

  A. B. C. D.1

  【考點】X6:列表法與樹狀圖法;K6:三角形三邊關(guān)系.

  【分析】列舉出所有等可能的情況數(shù),找出能構(gòu)成三角形的情況數(shù),即可求出所求概率.

  【解答】解:從長為3,5,7,10的四條線段中任意選取三條作為邊,所有等可能情況有:3,5,7;3,5,10;3,7,10;5,7,10,共4種,

  其中能構(gòu)成三角形的情況有:3,5,7;5,7,10,共2種,

  則P(能構(gòu)成三角形)= = ,

  故選B

  9.如圖,A,B,C,D是⊙O上的四個點,B是 的中點,M 是半徑OD上任意一點.若∠BDC=40°,則∠AMB的度數(shù)不可能是(  )

  A.45° B.60° C.75° D.85°

  【考點】M5:圓周角定理;M4:圓心角、弧、弦的關(guān)系.

  【分析】根據(jù)圓周角定理求得∠AOB的度數(shù),則∠AOB的度數(shù)一定不小于∠AMB的度數(shù),據(jù)此即可判斷.

  【解答】解:∵B是 的中點,

  ∴∠AOB=2∠BDC=80°,

  又∵M是OD上一點,

  ∴∠AMB≤∠AOB=80°.

  則不符合條件的只有85°.

  故選D.

  10.將如圖所示的拋物線向右平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度后,得到的拋物線解析式是(  )

  A.y=(x﹣1)2+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=2(x﹣1)2+1 D.y=2(x+1)2+1

  【考點】H6:二次函數(shù)圖象與幾何變換.

  【分析】根據(jù)平移規(guī)律,可得答案.

  【解答】解:由圖象,得

  y=2x2﹣2,

  由平移規(guī)律,得

  y=2(x﹣1)2+1,

  故選:C.

  11.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,M是BC的中點,P是A'B'的中點,連接PM.若BC=2,∠BAC=30°,則線段PM的最大值是(  )

  A.4 B.3 C.2 D.1

  【考點】R2:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

  【分析】如圖連接PC.思想求出PC=2,根據(jù)PM≤PC+CM,可得PM≤3,由此即可解決問題.

  【解答】解:如圖連接PC.

  在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=2,

  ∴AB=4,

  根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知,A′ B′=AB=4,

  ∴A′P=PB′,

  ∴PC= A′B′=2,

  ∵CM=BM=1,

  又∵PM≤PC+CM,即PM≤3,

  ∴PM的最大值為3(此時P、C、M共線).

  故選B.

  12.如圖,在正方形ABCD中,O是對角線AC與BD的交點,M是BC邊上的動點(點M不與B,C重合),CN⊥DM,CN與AB交于點N,連接OM,ON,MN.下列五個結(jié)論:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,則S△OMN的最小值是 ,其中正確結(jié)論的個數(shù)是(  )

  A.2 B.3 C.4 D.5

  【考點】S9:相似三角形的判定與性質(zhì);KD:全等三角形的判定與性質(zhì);LE:正方形的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì),依次判定△CNB≌△DMC,△OCM≌△OBN,△CON≌△DOM,△OMN∽△OAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理進行計算即可得出結(jié)論.

  【解答】解:∵正方形ABCD中,CD=BC,∠BCD=90°,

  ∴∠BCN+∠DCN=90°,

  又∵CN⊥DM,

  ∴∠CDM+∠DCN=90°,

  ∴∠BCN=∠CDM,

  又∵∠CBN=∠DCM=90°,

  ∴△CNB≌△DMC(ASA),故①正確;

  根據(jù)△CNB≌△DMC,可得CM=BN,

  又∵∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,

  ∴△OCM≌△OBN(SAS),

  ∴OM=ON,∠COM=∠BON,

  ∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON,

  又∵DO=CO,

  ∴△CON≌△DOM(SAS),故②正確;

  ∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,

  ∴∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形,

  又∵△AOD是等腰直角三角形,

  ∴△OMN∽△OAD,故③正確;

  ∵AB=BC,CM=BN,

  ∴BM=AN,

  又∵Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,

  ∴AN2+CM2=MN2,故④正確;

  ∵△OCM≌△OBN,

  ∴四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1,即四邊形BMON的面積是定值1,

  ∴當(dāng)△MNB的面積最大時,△MNO的面積最小,

  設(shè)BN=x=CM,則BM=2﹣x,

  ∴△MNB的面積= x(2﹣x)=﹣ x2+x,

  ∴當(dāng)x=1時,△MNB的面積有最大值 ,

  此時S△OMN的最小值是1﹣ = ,故⑤正確;

  綜上所述,正確結(jié)論的個數(shù)是5個,

  故選:D.

  2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷二、填空題

  (每題3分,滿分18分,將答案填在答題紙上)

  13.計算:﹣3﹣5= ﹣8 .

  【考點】1A:有理數(shù)的減法.

  【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則進行計算即可得解.

  【解答】解:﹣3﹣5=﹣8.

  故答案為:﹣8.

  14.中國的領(lǐng)水面積約為370 000km2,將數(shù)370 000用科學(xué)記數(shù)法表示為 3.7×105 .

  【考點】1I:科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).

  【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時,n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時,n是負數(shù).確定a×10n(1≤|a |<10,n為整數(shù))中n的值,由于370 000有6位,所以可以確定n=6﹣1=5.

  【解答】解:370 000=3.7×105,

  故答案為:3.7×105.

  15.如圖,AB∥CD,點E在AB上,點F在CD上,如果∠CFE:∠EFB=3:4,∠ABF=40°,那么∠BEF的度數(shù)為 60° .

  【考點】JA:平行線的性質(zhì).

  【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì),得到∠CFB的度數(shù),再根據(jù)∠CFE:∠EFB=3:4以及平行線的性質(zhì),即可得出∠BEF的度數(shù).

  【解答】解:∵AB∥CD,∠ABF=40°,

  ∴∠CFB=180°﹣∠B=140°,

  又∵∠CFE:∠EFB=3:4,

  ∴∠CFE= ∠CFB=60°,

  ∵AB∥CD,

  ∴∠BEF=∠CFE=60°,

  故答案為:60°.

  16.如圖,點P在等邊△ABC的內(nèi)部,且PC=6,PA=8,PB=10,將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C,連接AP',則sin∠PAP'的值為   .

  【考點】R2:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);KK:等邊三角形的性質(zhì);T7:解直角三角形.

  【分析】連接PP′,如圖,先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CP′=6,∠PCP′=60°,則可判定△CPP′為等邊三角形得到PP′=PC=6,再證明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10,接著利用勾股定理的逆定理證明△APP′為直角三角形,∠APP′=90°,然后根據(jù)正弦的定義求解.

  【解答】解:連接PP′,如圖,

  ∵線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C,

  ∴CP=CP′=6,∠PCP′=60°,

  ∴△CPP′為等邊三角形,

  ∴PP′=PC=6,

  ∵△ABC為等邊三角形,

  ∴CB=CA,∠ACB=60°,

  ∴∠PCB=∠P′CA,

  在△PCB和△P′CA中

  ,

  ∴△PCB≌△P′CA,

  ∴PB=P′A=10,

  ∵62+82=102,

  ∴PP′2+AP2=P′A2,

  ∴△APP′為直角三角形,∠APP′=90°,

  ∴sin∠PAP′= = = .

  故答案為 .

  17.如圖,在扇形OAB中,C是OA的中點,CD⊥OA,CD與 交于點D,以O(shè)為圓心,OC的長為半徑作 交OB于點E,若OA=4,∠AOB=120°,則圖中陰影部分的面積為  π+2  .(結(jié)果保留π)

  【考點】MO:扇形面積的計算;KG:線段垂直平分線的性質(zhì).

  【分析】連接OD、AD,根據(jù)點C為OA的中點可得∠CDO=30°,繼而可得△ADO為等邊三角形,求出扇形AOD的面積,最后用扇形AOB的面積減去扇形COE的面積,再減去S空白ADC即可求出陰影部分的面積.

  【解答】解:連接O、AD,

  ∵點C為OA的中點,

  ∴∠C DO=30°,∠DOC=60°,

  ∴△ADO為等邊三角形,

  ∴S扇形AOD= = π,

  ∴S陰影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣(S扇形AOD﹣S△COD)

  = ﹣ ﹣( π﹣ ×2×2 )

  = π﹣ π﹣ π+2

  = π+2 .

  故答案為 π+2 .

  18.如圖,過C(2,1)作AC∥x軸,BC∥y軸,點A,B都在直線y=﹣x+6上,若雙曲線y= (x>0)與△ABC總有公共點,則k的取值范圍是 2≤k≤9 .

  【考點】G8:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

  【分析】把C的坐標(biāo)代入求出k≥2,解兩函數(shù)組成的方程組,根據(jù)根的判別式求出k≤9,即可得出答案.

  【解答】解:當(dāng)反比例函數(shù)的圖象過C點時,把C的坐標(biāo)代入得:k=2×1=2;

  把y=﹣x+6代入y= 得:﹣x+6= ,

  x2﹣6x +k=0,

  △=(﹣6)2﹣4k=36﹣4k,

  ∵反比例函數(shù)y= 的圖象與△ABC有公共點,

  ∴36﹣4k≥0,

  k≤9,

  即k的范圍是2≤k≤9,

  故答案為:2≤k≤9.

  2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷三、解答題

  (本大題共8小題,共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

  19.(1)計算:|﹣3|+( +π)0﹣(﹣ )﹣2﹣2cos60°;

  (2)先化簡,在求值:( ﹣ )+ ,其中a=﹣2+ .

  【考點】6D:分式的化簡求值;2C:實數(shù)的運算;6E:零指數(shù)冪;6F:負整數(shù)指數(shù)冪;T5:特殊角的三角函數(shù)值.

  【分析】(1)根據(jù)零指數(shù)冪的意義、特殊角的銳角三角函數(shù)以及負整數(shù)指數(shù)冪的意義即可求出答案;

  (2)先化簡原式,然后將a的值代入即可求出答案.

  【解答】解:(1)原式=3+1﹣(﹣2)2﹣2× =4﹣4﹣1=﹣1

  (2)當(dāng)a=﹣2+

  原式= +

  =

  =

  =7+5

  20.尺規(guī)作圖(不寫作法,保留作圖痕跡):

  已知線段a和∠AOB,點M在OB上(如圖所示).

  (1)在OA邊上作點P,使OP=2a;

  (2)作∠AOB的平分線;

  (3)過點M作 OB的垂線.

  【考點】N3:作圖—復(fù)雜作圖.

  【分析】(1)在OA上截取OP=2a即可求出點P的位置;

  (2)根據(jù)角平分線的作法即可作出∠AOB的平分線;

  (3)以M為圓心,作一圓與射線OB交于兩點,再以這兩點分別為圓心,作兩個相等半徑的圓交于D點,連接MD即為OB的垂線;

  【解答】解:(1)點P為所求作;

  (2)OC為所求作;

  (3)MD為所求作;

  21.如圖,一次函數(shù)y=2x﹣4的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A,B兩點,且點A的橫坐標(biāo)為3.

  (1)求反比例函數(shù)的解析式;

  (2)求點B的坐標(biāo).

  【考點】G8:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

  【分析】(1)把x=3代入一次函數(shù)解析式求得A的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式;

  (2)解一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式組成的方程組求得B的坐標(biāo).

  【解答】解:(1)把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2,

  則A的坐標(biāo)是(3,2).

  把(3,2)代入y= 得k=6,

  則反比例函數(shù)的解析式是y= ;

  (2)根據(jù)題意得2x﹣4= ,

  解得x=3或﹣1,

  把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6,則B的坐標(biāo)是(﹣1,﹣6).

  22.在開展“經(jīng)典閱讀”活動中,某學(xué)校為了解全校學(xué)生利用課外時間閱讀的情況,學(xué)校團委隨機抽取若干名學(xué)生,調(diào)查他們一周的課外閱讀時間,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計表.根據(jù)圖表信息,解答下列問題:

  頻率分布表

  閱讀時間

  (小時) 頻數(shù)

  (人) 頻率

  1≤x<2 18 0.12

  2≤x<3 a m

  3≤x<4 45 0.3

  4≤x<5 36 n

  5≤x<6 21 0.14

  合計 b 1

  (1)填空:a= 30 ,b= 150 ,m= 0.2 ,n= 0.24 ;

  (2)將頻數(shù)分布直方圖補充完整(畫圖后請標(biāo)注相應(yīng)的頻數(shù));

  (3)若該校由3000名學(xué)生,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估算該校學(xué)生一周的課外閱讀時間不足三小時的人數(shù).

  【考點】V8:頻數(shù)(率)分布直方圖;V5:用樣本估計總體;V7:頻數(shù)(率)分布表.

  【分析】(1)根據(jù)閱讀時間為1≤x<2的人數(shù)及所占百分比可得,求出總?cè)藬?shù)b=150,再根據(jù)頻率、頻數(shù)、總?cè)藬?shù)的關(guān)系即可求出m、n、a;

  (2)根據(jù)數(shù)據(jù)將頻數(shù)分布直方圖補充完整即可;

  (3)由總?cè)藬?shù)乘以時間不足三小時的人數(shù)的頻率即可.

  【解答】解:(1)b=18÷0.12=150(人),

  ∴n=36÷150=0.24,

  ∴m=1﹣0.12﹣0.3﹣0.24﹣0.14=0.2,

  ∴a=0.2×150=30;

  故答案為:30,150,0.2,0.24;

  (2)如圖所示:

  (3)3000×(0.12+0.2)=960(人);

  即估算該校學(xué)生一周的課外閱讀時間不足三小時的人數(shù)為960人.

  23.某次籃球聯(lián)賽初賽階段,每隊有10場比賽,每場比賽都要分出勝負,每隊勝一場得2分,負一場得1分,積分超過15分才能獲得參賽資格.

  (1)已知甲隊在初賽階段的積分為18分,求甲隊初賽階段勝、負各多少場;

  (2)如果乙隊要獲得參加決賽資格,那么乙隊在初賽階段至少要勝多少場?

  【考點】C9:一元一次不等式的應(yīng)用;8A:一元一次方程的應(yīng)用.

  【分析】(1)設(shè)甲隊勝了x場,則負了(10﹣x)場,根據(jù)每隊勝一場得2分,負一場得1分,利用甲隊在初賽階段的積分為18分,進而得出等式求出答案;

  (2)設(shè)乙隊在初賽階段勝a場,根據(jù)積分超過15分才能獲得參賽資格,進而得出答案.

  【解答】解:(1)設(shè)甲隊勝了x場,則負了(10﹣x)場,根據(jù)題意可得:

  2x+10﹣x=18,

  解得:x=8,

  則10﹣x=2,

  答:甲隊勝了8場,則負了2場;

  (2)設(shè)乙隊在初賽階段勝a場,根據(jù)題意可得:

  2a+(10﹣a)≥15,

  解得:a≥5,

  答:乙隊在初賽階段至少要勝5場.

  24.如圖,在菱形ABCD中,點P在對角線AC上,且PA=PD,⊙O是△PAD的外接圓.

  (1)求證:AB是⊙O的切線;

  (2)若AC=8,tan∠BAC= ,求⊙O的半徑.

  【考點】ME:切線的判定與性質(zhì);L8:菱形的性質(zhì);T7:解直角三角形.

  【分析】(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,由PA=PD得弧AP=弧DP,根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD,AE=DE,則∠1+∠OPA=90°,而∠OAP=∠OPA,所以∠1+∠OAP=90°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2,所以∠2+∠OAP=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切;

  (2)連結(jié)BD,交AC于點F,根據(jù)菱形的性質(zhì)得DB與AC互相垂直平分,則AF=4,tan∠DAC= ,得到DF=2 ,根據(jù)勾股定理得到AD= =2 ,求得AE= ,設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣ ,OA=R,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

  【解答】解:(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,如圖,

  ∵PA=PD,

  ∴弧AP=弧DP,

  ∴OP⊥AD,AE=DE,

  ∴∠1+∠OPA=90°,

  ∵OP=OA,

  ∴∠OAP=∠OPA,

  ∴∠1+∠OAP=90°,

  ∵四邊形ABCD為菱形,

  ∴∠1=∠2,

  ∴∠2+∠OAP=90°,

  ∴OA⊥AB,

  ∴直線AB與⊙O相切;

  (2)連結(jié)BD,交AC于點F,如圖,

  ∵四邊形ABCD為菱形,

  ∴DB與AC互相垂直平分,

  ∵AC=8,tan∠BAC= ,

  ∴AF=4,tan∠DAC= = ,

  ∴DF=2 ,

  ∴AD= =2 ,

  ∴AE= ,

  在Rt△PAE中,tan∠1= = ,

  ∴PE= ,

  設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣ ,OA=R,

  在Rt△OAE中,∵OA2=OE2+AE2,

  ∴R2=(R﹣ )2+( )2,

  ∴R= ,

  即⊙O的半徑為 .

  25.如圖,拋物線y=a(x﹣1)(x﹣3)與x軸交于A,B兩點,與y軸的正半軸交于點C,其頂點為D.

  (1)寫出C,D兩點的坐標(biāo)(用含a的式子表示);

  (2)設(shè)S△BCD:S△ABD=k,求k的值;

  (3)當(dāng)△BCD是直角三角形時,求對應(yīng)拋物線的解析式.

  【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.

  【分析】(1)令x=0可求得C點坐標(biāo),化為頂點 式可求得D點坐標(biāo);

  (2)令y=0可求得A、B的坐標(biāo),結(jié)合D點坐標(biāo)可求得△ABD的面積,設(shè)直線CD交x軸于點E,由C、D坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式,則可求得E點坐標(biāo),從而可表示出△BCD的面積,可求得k的值;

  (3)由B、C、D的坐標(biāo),可表示出BC2、BD2和CD2,分∠CBD=90°和∠CDB=90°兩種情況,分別利用勾股定理可得到關(guān)于a的方程,可求得a的值,則可求得拋物線的解析式.

  【解答】解:

  (1)在y=a(x﹣1)(x﹣3),令x=0可得y=3a,

  ∴C(0,3a),

  ∵y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3)=a(x﹣2)2﹣a,

  ∴D(2,﹣a);

  (2)在y=a(x﹣1)(x﹣3)中,令y=0可解得x=1或x=3,

  ∴A(1,0),B(3,0),

  ∴AB=3﹣1=2,

  ∴S△ABD= ×2×a=a,

  如圖,設(shè)直線CD交x軸于點E,設(shè)直線CD解析式為y=kx+b,

  把C、D的坐標(biāo)代入可得 ,解得 ,

  ∴直線CD解析式為y=﹣2ax+3a,令y=0可解得x= ,

  ∴E( ,0),

  ∴BE=3﹣ =

  ∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×(3a+a)=3a,

  ∴S△BCD:S△ABD=(3a):a=3,

  ∴k=3;

  (3)∵B(3,0),C(0,3a),D(2,﹣a),

  ∴BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(﹣a﹣3a)2=4+16a2,BD2=(3﹣2)2+a2=1+a2,

  ∵∠BCD<∠BCO<90°,

  ∴△BCD為直角三角形時,只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況,

 ?、佼?dāng)∠CBD=90°時,則有BC2+BD2=CD2,即9+9a2+1+a2=4+16a2,解得a=﹣1(舍去)或a=1,此時拋物線解析式為y=x2﹣4x+3;

  ②當(dāng)∠CDB=90°時,則有CD2+BD2=BC2,即4+16a2+1+a2=9+9a2,解得a=﹣ (舍去)或a= ,此時拋物線解析式為y= x2﹣2 x+ ;

  綜上可知當(dāng)△BCD是直角三角形時,拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+ .

  26.已 知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,D是AC邊上的一個動點,將△ABD沿BD所在直線折疊,使點A落在點P處.

  (1)如圖1,若點D是AC中點,連接PC.

 ?、賹懗鯞P,BD的長;

 ?、谇笞C:四邊形BCPD是平行四邊形.

  (2)如圖2,若BD=AD,過點 P作PH⊥BC交BC的延長線于點H,求PH的長.

  【考點】LO:四邊形綜合題.

  【分析】(1)①分別在Rt△ABC,Rt△BDC中,求出AB、BD即可解決問題;

 ?、谙朕k法證明DP∥BC,DP=BC即可;

  (2)如圖2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延長BD交PA于M.設(shè)BD=AD=x,則CD=4﹣x,在Rt△BDC中,可得x2=(4﹣x)2+22,推出x= ,推出DN= = ,由△BDN∽△BAM,可得 = ,由此求出AM,由△ADM∽△APE,可得 = ,由此求出AE= ,可得EC=AC﹣AE=4﹣ = 由此即可解決問題.

  【解答】解:(1)①在Rt△ABC中,∵BC=2,AC=4,

  ∴AB= =2 ,

  ∵AD=CD=2,

  ∴BD= =2 ,

  由翻折可知,BP=BA=2 .

  ②如圖1中,

  ∵△BCD是等腰直角三角形,

  ∴∠BDC=45°,

  ∴∠ADB=∠BDP=135°,

  ∴∠PDC=135°﹣45°=90°,

  ∴∠BCD=∠PDC=90°,

  ∴DP∥BC,∵PD=AD=BC=2,

  ∴四邊形BCPD是平行四邊形.

  (2)如圖2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延長BD交PA于M.

  設(shè)BD=AD=x,則CD=4﹣x,

  在Rt△BDC中,∵BD2=CD2+BC2,

  ∴x2=(4﹣x)2+22,

  ∴x= ,

  ∵DB=DA,DN⊥AB,

  ∴BN=AN= ,

  在Rt△BDN中,DN= = ,

  由△BDN∽△BAM,可得 = ,

  ∴ = ,

  ∴AM=2,

  ∴AP=2AM=4,

  由△ADM∽△APE,可得 = ,

  ∴ = ,

  ∴AE= ,

  ∴EC=AC﹣AE=4﹣ = ,

  易證四邊形PECH是矩形,

  ∴PH=EC= .


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