2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析
2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析
2018年廣西的中考試卷大家都做了嗎?數(shù)學(xué)試卷難嗎?想不想要校對數(shù)學(xué)試卷的答案呢?下面由學(xué)習(xí)啦小編為大家提供關(guān)于2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析,希望對大家有幫助!
2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題
本大題共12個小題,每小題3分,共36分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.7的相反數(shù)是( )
A.7 B.﹣7 C. D.﹣
【考點】14:相反數(shù).
【分析】根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣”號,求解即可.
【解答】解:7的相反數(shù)是﹣7,
故選:B.
2.數(shù)據(jù)3,2,4,2,5,3,2的中位數(shù)和眾數(shù)分別是( )
A.2,3 B.4,2 C.3,2 D.2,2
【考點】W5:眾數(shù);W4:中位數(shù).
【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進行解答即可.
【解答】解:把這組數(shù)據(jù)從小到大排列:2,2,2,3,3,4,5,
最中間的數(shù)是3,
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3;
2出現(xiàn)了3次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,則眾數(shù)是2.
故選:C.
3.如圖是一個空心圓柱體,它的左視圖是( )
A. B. C. D.
【考點】U1:簡單幾何體的三視圖.
【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖,可得答案.
【解答】解:從左邊看是三個矩形,中間矩形的左右兩邊是虛線,
故選:B.
4.下列二次根式中,最簡二次根式是( )
A. B. C. D.
【考點】74:最簡二次根式.
【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足,同時滿足的就是最簡二次根式,否則就不是.
【解答】解:A、被開方數(shù)不含分母;被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式,故A符合題意;
B、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式,故B不符合題意;
C、被開方數(shù)含分母,故C不符合題意;
D、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式,故D不符合題意;
故選:A.
5.下列運算正確的是( )
A.3a2+a=3a3 B.2a3•(﹣a2)=2a5 C.4a6+2a2=2a3 D.(﹣3a)2﹣a2=8a2
【考點】49:單項式乘單項式;35:合并同類項;47:冪的乘方與積的乘方.
【分析】運用合并同類項,單項式乘以單項式,冪的乘方等運算法則運算即可.
【解答】解:A.3a2與a不是同類項,不能合并,所以A錯誤;
B .2a3•(﹣a2)=2×(﹣1)a5=﹣2a5,所以B錯誤;
C.4a6與2a2不是同類項,不能合并,所以C錯誤;
D.(﹣3a)2﹣a2=9a2﹣a2=8a2,所以D正確,
故選D.
6.在平面直角坐標(biāo)系中,點P(m﹣3,4﹣2m)不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點】D1:點的坐標(biāo).
【分析】分點P的橫坐標(biāo)是正數(shù)和負數(shù)兩種情況討論求解.
【解答】解:①m﹣3>0,即m>3時,﹣2m<﹣6,
4﹣2m<﹣2,
所以,點P(m﹣3,4﹣2m)在第四象限,不可能在第一象限;
?、趍﹣3<0,即m<3時,﹣2m>﹣6,
4﹣2m>﹣2,
點P(m﹣3,4﹣2m)可以在第二或三象限,
綜上所述,點P不可能在第一象限.
故選A.
7.下列命題中假命題是( )
A.正六邊形的外角和等于360°
B.位似圖形必定相似
C.樣本方差越大,數(shù)據(jù)波動越小
D.方程x2+x+1=0無實數(shù)根
【考點】O1:命題與定理.
【分析】根據(jù)正確的命題是真命題,錯誤的命題是假命題進行分析即可.
【解答】解:A、正六邊形的外角和等于360°,是真命題;
B、位似圖形必定相似,是真命題;
C、樣本方差越大,數(shù)據(jù)波動越小,是假命題;
D、方程x2+x+1=0無實數(shù)根,是真命題;
故選:C.
8.從長為3,5,7,10的四條線段中任意選取三條作為邊,能構(gòu)成三角形的概率是( )
A. B. C. D.1
【考點】X6:列表法與樹狀圖法;K6:三角形三邊關(guān)系.
【分析】列舉出所有等可能的情況數(shù),找出能構(gòu)成三角形的情況數(shù),即可求出所求概率.
【解答】解:從長為3,5,7,10的四條線段中任意選取三條作為邊,所有等可能情況有:3,5,7;3,5,10;3,7,10;5,7,10,共4種,
其中能構(gòu)成三角形的情況有:3,5,7;5,7,10,共2種,
則P(能構(gòu)成三角形)= = ,
故選B
9.如圖,A,B,C,D是⊙O上的四個點,B是 的中點,M 是半徑OD上任意一點.若∠BDC=40°,則∠AMB的度數(shù)不可能是( )
A.45° B.60° C.75° D.85°
【考點】M5:圓周角定理;M4:圓心角、弧、弦的關(guān)系.
【分析】根據(jù)圓周角定理求得∠AOB的度數(shù),則∠AOB的度數(shù)一定不小于∠AMB的度數(shù),據(jù)此即可判斷.
【解答】解:∵B是 的中點,
∴∠AOB=2∠BDC=80°,
又∵M是OD上一點,
∴∠AMB≤∠AOB=80°.
則不符合條件的只有85°.
故選D.
10.將如圖所示的拋物線向右平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度后,得到的拋物線解析式是( )
A.y=(x﹣1)2+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=2(x﹣1)2+1 D.y=2(x+1)2+1
【考點】H6:二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】根據(jù)平移規(guī)律,可得答案.
【解答】解:由圖象,得
y=2x2﹣2,
由平移規(guī)律,得
y=2(x﹣1)2+1,
故選:C.
11.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,M是BC的中點,P是A'B'的中點,連接PM.若BC=2,∠BAC=30°,則線段PM的最大值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【考點】R2:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】如圖連接PC.思想求出PC=2,根據(jù)PM≤PC+CM,可得PM≤3,由此即可解決問題.
【解答】解:如圖連接PC.
在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=2,
∴AB=4,
根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知,A′ B′=AB=4,
∴A′P=PB′,
∴PC= A′B′=2,
∵CM=BM=1,
又∵PM≤PC+CM,即PM≤3,
∴PM的最大值為3(此時P、C、M共線).
故選B.
12.如圖,在正方形ABCD中,O是對角線AC與BD的交點,M是BC邊上的動點(點M不與B,C重合),CN⊥DM,CN與AB交于點N,連接OM,ON,MN.下列五個結(jié)論:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,則S△OMN的最小值是 ,其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】S9:相似三角形的判定與性質(zhì);KD:全等三角形的判定與性質(zhì);LE:正方形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì),依次判定△CNB≌△DMC,△OCM≌△OBN,△CON≌△DOM,△OMN∽△OAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理進行計算即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵正方形ABCD中,CD=BC,∠BCD=90°,
∴∠BCN+∠DCN=90°,
又∵CN⊥DM,
∴∠CDM+∠DCN=90°,
∴∠BCN=∠CDM,
又∵∠CBN=∠DCM=90°,
∴△CNB≌△DMC(ASA),故①正確;
根據(jù)△CNB≌△DMC,可得CM=BN,
又∵∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,
∴△OCM≌△OBN(SAS),
∴OM=ON,∠COM=∠BON,
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON,
又∵DO=CO,
∴△CON≌△DOM(SAS),故②正確;
∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,
∴∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形,
又∵△AOD是等腰直角三角形,
∴△OMN∽△OAD,故③正確;
∵AB=BC,CM=BN,
∴BM=AN,
又∵Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,
∴AN2+CM2=MN2,故④正確;
∵△OCM≌△OBN,
∴四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1,即四邊形BMON的面積是定值1,
∴當(dāng)△MNB的面積最大時,△MNO的面積最小,
設(shè)BN=x=CM,則BM=2﹣x,
∴△MNB的面積= x(2﹣x)=﹣ x2+x,
∴當(dāng)x=1時,△MNB的面積有最大值 ,
此時S△OMN的最小值是1﹣ = ,故⑤正確;
綜上所述,正確結(jié)論的個數(shù)是5個,
故選:D.
2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷二、填空題
(每題3分,滿分18分,將答案填在答題紙上)
13.計算:﹣3﹣5= ﹣8 .
【考點】1A:有理數(shù)的減法.
【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則進行計算即可得解.
【解答】解:﹣3﹣5=﹣8.
故答案為:﹣8.
14.中國的領(lǐng)水面積約為370 000km2,將數(shù)370 000用科學(xué)記數(shù)法表示為 3.7×105 .
【考點】1I:科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時,n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時,n是負數(shù).確定a×10n(1≤|a |<10,n為整數(shù))中n的值,由于370 000有6位,所以可以確定n=6﹣1=5.
【解答】解:370 000=3.7×105,
故答案為:3.7×105.
15.如圖,AB∥CD,點E在AB上,點F在CD上,如果∠CFE:∠EFB=3:4,∠ABF=40°,那么∠BEF的度數(shù)為 60° .
【考點】JA:平行線的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì),得到∠CFB的度數(shù),再根據(jù)∠CFE:∠EFB=3:4以及平行線的性質(zhì),即可得出∠BEF的度數(shù).
【解答】解:∵AB∥CD,∠ABF=40°,
∴∠CFB=180°﹣∠B=140°,
又∵∠CFE:∠EFB=3:4,
∴∠CFE= ∠CFB=60°,
∵AB∥CD,
∴∠BEF=∠CFE=60°,
故答案為:60°.
16.如圖,點P在等邊△ABC的內(nèi)部,且PC=6,PA=8,PB=10,將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C,連接AP',則sin∠PAP'的值為 .
【考點】R2:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);KK:等邊三角形的性質(zhì);T7:解直角三角形.
【分析】連接PP′,如圖,先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CP′=6,∠PCP′=60°,則可判定△CPP′為等邊三角形得到PP′=PC=6,再證明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10,接著利用勾股定理的逆定理證明△APP′為直角三角形,∠APP′=90°,然后根據(jù)正弦的定義求解.
【解答】解:連接PP′,如圖,
∵線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C,
∴CP=CP′=6,∠PCP′=60°,
∴△CPP′為等邊三角形,
∴PP′=PC=6,
∵△ABC為等邊三角形,
∴CB=CA,∠ACB=60°,
∴∠PCB=∠P′CA,
在△PCB和△P′CA中
,
∴△PCB≌△P′CA,
∴PB=P′A=10,
∵62+82=102,
∴PP′2+AP2=P′A2,
∴△APP′為直角三角形,∠APP′=90°,
∴sin∠PAP′= = = .
故答案為 .
17.如圖,在扇形OAB中,C是OA的中點,CD⊥OA,CD與 交于點D,以O(shè)為圓心,OC的長為半徑作 交OB于點E,若OA=4,∠AOB=120°,則圖中陰影部分的面積為 π+2 .(結(jié)果保留π)
【考點】MO:扇形面積的計算;KG:線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】連接OD、AD,根據(jù)點C為OA的中點可得∠CDO=30°,繼而可得△ADO為等邊三角形,求出扇形AOD的面積,最后用扇形AOB的面積減去扇形COE的面積,再減去S空白ADC即可求出陰影部分的面積.
【解答】解:連接O、AD,
∵點C為OA的中點,
∴∠C DO=30°,∠DOC=60°,
∴△ADO為等邊三角形,
∴S扇形AOD= = π,
∴S陰影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣(S扇形AOD﹣S△COD)
= ﹣ ﹣( π﹣ ×2×2 )
= π﹣ π﹣ π+2
= π+2 .
故答案為 π+2 .
18.如圖,過C(2,1)作AC∥x軸,BC∥y軸,點A,B都在直線y=﹣x+6上,若雙曲線y= (x>0)與△ABC總有公共點,則k的取值范圍是 2≤k≤9 .
【考點】G8:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】把C的坐標(biāo)代入求出k≥2,解兩函數(shù)組成的方程組,根據(jù)根的判別式求出k≤9,即可得出答案.
【解答】解:當(dāng)反比例函數(shù)的圖象過C點時,把C的坐標(biāo)代入得:k=2×1=2;
把y=﹣x+6代入y= 得:﹣x+6= ,
x2﹣6x +k=0,
△=(﹣6)2﹣4k=36﹣4k,
∵反比例函數(shù)y= 的圖象與△ABC有公共點,
∴36﹣4k≥0,
k≤9,
即k的范圍是2≤k≤9,
故答案為:2≤k≤9.
2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷三、解答題
(本大題共8小題,共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
19.(1)計算:|﹣3|+( +π)0﹣(﹣ )﹣2﹣2cos60°;
(2)先化簡,在求值:( ﹣ )+ ,其中a=﹣2+ .
【考點】6D:分式的化簡求值;2C:實數(shù)的運算;6E:零指數(shù)冪;6F:負整數(shù)指數(shù)冪;T5:特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)根據(jù)零指數(shù)冪的意義、特殊角的銳角三角函數(shù)以及負整數(shù)指數(shù)冪的意義即可求出答案;
(2)先化簡原式,然后將a的值代入即可求出答案.
【解答】解:(1)原式=3+1﹣(﹣2)2﹣2× =4﹣4﹣1=﹣1
(2)當(dāng)a=﹣2+
原式= +
=
=
=7+5
20.尺規(guī)作圖(不寫作法,保留作圖痕跡):
已知線段a和∠AOB,點M在OB上(如圖所示).
(1)在OA邊上作點P,使OP=2a;
(2)作∠AOB的平分線;
(3)過點M作 OB的垂線.
【考點】N3:作圖—復(fù)雜作圖.
【分析】(1)在OA上截取OP=2a即可求出點P的位置;
(2)根據(jù)角平分線的作法即可作出∠AOB的平分線;
(3)以M為圓心,作一圓與射線OB交于兩點,再以這兩點分別為圓心,作兩個相等半徑的圓交于D點,連接MD即為OB的垂線;
【解答】解:(1)點P為所求作;
(2)OC為所求作;
(3)MD為所求作;
21.如圖,一次函數(shù)y=2x﹣4的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A,B兩點,且點A的橫坐標(biāo)為3.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求點B的坐標(biāo).
【考點】G8:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)把x=3代入一次函數(shù)解析式求得A的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式;
(2)解一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式組成的方程組求得B的坐標(biāo).
【解答】解:(1)把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2,
則A的坐標(biāo)是(3,2).
把(3,2)代入y= 得k=6,
則反比例函數(shù)的解析式是y= ;
(2)根據(jù)題意得2x﹣4= ,
解得x=3或﹣1,
把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6,則B的坐標(biāo)是(﹣1,﹣6).
22.在開展“經(jīng)典閱讀”活動中,某學(xué)校為了解全校學(xué)生利用課外時間閱讀的情況,學(xué)校團委隨機抽取若干名學(xué)生,調(diào)查他們一周的課外閱讀時間,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計表.根據(jù)圖表信息,解答下列問題:
頻率分布表
閱讀時間
(小時) 頻數(shù)
(人) 頻率
1≤x<2 18 0.12
2≤x<3 a m
3≤x<4 45 0.3
4≤x<5 36 n
5≤x<6 21 0.14
合計 b 1
(1)填空:a= 30 ,b= 150 ,m= 0.2 ,n= 0.24 ;
(2)將頻數(shù)分布直方圖補充完整(畫圖后請標(biāo)注相應(yīng)的頻數(shù));
(3)若該校由3000名學(xué)生,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估算該校學(xué)生一周的課外閱讀時間不足三小時的人數(shù).
【考點】V8:頻數(shù)(率)分布直方圖;V5:用樣本估計總體;V7:頻數(shù)(率)分布表.
【分析】(1)根據(jù)閱讀時間為1≤x<2的人數(shù)及所占百分比可得,求出總?cè)藬?shù)b=150,再根據(jù)頻率、頻數(shù)、總?cè)藬?shù)的關(guān)系即可求出m、n、a;
(2)根據(jù)數(shù)據(jù)將頻數(shù)分布直方圖補充完整即可;
(3)由總?cè)藬?shù)乘以時間不足三小時的人數(shù)的頻率即可.
【解答】解:(1)b=18÷0.12=150(人),
∴n=36÷150=0.24,
∴m=1﹣0.12﹣0.3﹣0.24﹣0.14=0.2,
∴a=0.2×150=30;
故答案為:30,150,0.2,0.24;
(2)如圖所示:
(3)3000×(0.12+0.2)=960(人);
即估算該校學(xué)生一周的課外閱讀時間不足三小時的人數(shù)為960人.
23.某次籃球聯(lián)賽初賽階段,每隊有10場比賽,每場比賽都要分出勝負,每隊勝一場得2分,負一場得1分,積分超過15分才能獲得參賽資格.
(1)已知甲隊在初賽階段的積分為18分,求甲隊初賽階段勝、負各多少場;
(2)如果乙隊要獲得參加決賽資格,那么乙隊在初賽階段至少要勝多少場?
【考點】C9:一元一次不等式的應(yīng)用;8A:一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)甲隊勝了x場,則負了(10﹣x)場,根據(jù)每隊勝一場得2分,負一場得1分,利用甲隊在初賽階段的積分為18分,進而得出等式求出答案;
(2)設(shè)乙隊在初賽階段勝a場,根據(jù)積分超過15分才能獲得參賽資格,進而得出答案.
【解答】解:(1)設(shè)甲隊勝了x場,則負了(10﹣x)場,根據(jù)題意可得:
2x+10﹣x=18,
解得:x=8,
則10﹣x=2,
答:甲隊勝了8場,則負了2場;
(2)設(shè)乙隊在初賽階段勝a場,根據(jù)題意可得:
2a+(10﹣a)≥15,
解得:a≥5,
答:乙隊在初賽階段至少要勝5場.
24.如圖,在菱形ABCD中,點P在對角線AC上,且PA=PD,⊙O是△PAD的外接圓.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若AC=8,tan∠BAC= ,求⊙O的半徑.
【考點】ME:切線的判定與性質(zhì);L8:菱形的性質(zhì);T7:解直角三角形.
【分析】(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,由PA=PD得弧AP=弧DP,根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD,AE=DE,則∠1+∠OPA=90°,而∠OAP=∠OPA,所以∠1+∠OAP=90°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2,所以∠2+∠OAP=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切;
(2)連結(jié)BD,交AC于點F,根據(jù)菱形的性質(zhì)得DB與AC互相垂直平分,則AF=4,tan∠DAC= ,得到DF=2 ,根據(jù)勾股定理得到AD= =2 ,求得AE= ,設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣ ,OA=R,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
【解答】解:(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,如圖,
∵PA=PD,
∴弧AP=弧DP,
∴OP⊥AD,AE=DE,
∴∠1+∠OPA=90°,
∵OP=OA,
∴∠OAP=∠OPA,
∴∠1+∠OAP=90°,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴∠1=∠2,
∴∠2+∠OAP=90°,
∴OA⊥AB,
∴直線AB與⊙O相切;
(2)連結(jié)BD,交AC于點F,如圖,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴DB與AC互相垂直平分,
∵AC=8,tan∠BAC= ,
∴AF=4,tan∠DAC= = ,
∴DF=2 ,
∴AD= =2 ,
∴AE= ,
在Rt△PAE中,tan∠1= = ,
∴PE= ,
設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣ ,OA=R,
在Rt△OAE中,∵OA2=OE2+AE2,
∴R2=(R﹣ )2+( )2,
∴R= ,
即⊙O的半徑為 .
25.如圖,拋物線y=a(x﹣1)(x﹣3)與x軸交于A,B兩點,與y軸的正半軸交于點C,其頂點為D.
(1)寫出C,D兩點的坐標(biāo)(用含a的式子表示);
(2)設(shè)S△BCD:S△ABD=k,求k的值;
(3)當(dāng)△BCD是直角三角形時,求對應(yīng)拋物線的解析式.
【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)令x=0可求得C點坐標(biāo),化為頂點 式可求得D點坐標(biāo);
(2)令y=0可求得A、B的坐標(biāo),結(jié)合D點坐標(biāo)可求得△ABD的面積,設(shè)直線CD交x軸于點E,由C、D坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式,則可求得E點坐標(biāo),從而可表示出△BCD的面積,可求得k的值;
(3)由B、C、D的坐標(biāo),可表示出BC2、BD2和CD2,分∠CBD=90°和∠CDB=90°兩種情況,分別利用勾股定理可得到關(guān)于a的方程,可求得a的值,則可求得拋物線的解析式.
【解答】解:
(1)在y=a(x﹣1)(x﹣3),令x=0可得y=3a,
∴C(0,3a),
∵y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3)=a(x﹣2)2﹣a,
∴D(2,﹣a);
(2)在y=a(x﹣1)(x﹣3)中,令y=0可解得x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),
∴AB=3﹣1=2,
∴S△ABD= ×2×a=a,
如圖,設(shè)直線CD交x軸于點E,設(shè)直線CD解析式為y=kx+b,
把C、D的坐標(biāo)代入可得 ,解得 ,
∴直線CD解析式為y=﹣2ax+3a,令y=0可解得x= ,
∴E( ,0),
∴BE=3﹣ =
∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×(3a+a)=3a,
∴S△BCD:S△ABD=(3a):a=3,
∴k=3;
(3)∵B(3,0),C(0,3a),D(2,﹣a),
∴BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(﹣a﹣3a)2=4+16a2,BD2=(3﹣2)2+a2=1+a2,
∵∠BCD<∠BCO<90°,
∴△BCD為直角三角形時,只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況,
?、佼?dāng)∠CBD=90°時,則有BC2+BD2=CD2,即9+9a2+1+a2=4+16a2,解得a=﹣1(舍去)或a=1,此時拋物線解析式為y=x2﹣4x+3;
②當(dāng)∠CDB=90°時,則有CD2+BD2=BC2,即4+16a2+1+a2=9+9a2,解得a=﹣ (舍去)或a= ,此時拋物線解析式為y= x2﹣2 x+ ;
綜上可知當(dāng)△BCD是直角三角形時,拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+ .
26.已 知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,D是AC邊上的一個動點,將△ABD沿BD所在直線折疊,使點A落在點P處.
(1)如圖1,若點D是AC中點,連接PC.
?、賹懗鯞P,BD的長;
?、谇笞C:四邊形BCPD是平行四邊形.
(2)如圖2,若BD=AD,過點 P作PH⊥BC交BC的延長線于點H,求PH的長.
【考點】LO:四邊形綜合題.
【分析】(1)①分別在Rt△ABC,Rt△BDC中,求出AB、BD即可解決問題;
?、谙朕k法證明DP∥BC,DP=BC即可;
(2)如圖2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延長BD交PA于M.設(shè)BD=AD=x,則CD=4﹣x,在Rt△BDC中,可得x2=(4﹣x)2+22,推出x= ,推出DN= = ,由△BDN∽△BAM,可得 = ,由此求出AM,由△ADM∽△APE,可得 = ,由此求出AE= ,可得EC=AC﹣AE=4﹣ = 由此即可解決問題.
【解答】解:(1)①在Rt△ABC中,∵BC=2,AC=4,
∴AB= =2 ,
∵AD=CD=2,
∴BD= =2 ,
由翻折可知,BP=BA=2 .
②如圖1中,
∵△BCD是等腰直角三角形,
∴∠BDC=45°,
∴∠ADB=∠BDP=135°,
∴∠PDC=135°﹣45°=90°,
∴∠BCD=∠PDC=90°,
∴DP∥BC,∵PD=AD=BC=2,
∴四邊形BCPD是平行四邊形.
(2)如圖2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延長BD交PA于M.
設(shè)BD=AD=x,則CD=4﹣x,
在Rt△BDC中,∵BD2=CD2+BC2,
∴x2=(4﹣x)2+22,
∴x= ,
∵DB=DA,DN⊥AB,
∴BN=AN= ,
在Rt△BDN中,DN= = ,
由△BDN∽△BAM,可得 = ,
∴ = ,
∴AM=2,
∴AP=2AM=4,
由△ADM∽△APE,可得 = ,
∴ = ,
∴AE= ,
∴EC=AC﹣AE=4﹣ = ,
易證四邊形PECH是矩形,
∴PH=EC= .
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