高中數(shù)學(xué)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)
高中數(shù)學(xué)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)
數(shù)列(sequence of number)是以正整數(shù)集(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。下面是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的高中數(shù)學(xué)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)，一起來看看吧。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)：等差數(shù)列
定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列(arithmetic sequence)，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前n項(xiàng)和用Sn表示。等差數(shù)列可以縮寫為A.P.(Arithmetic Progression)。
通項(xiàng)公式
an=a1+(n-1)d
n=1時(shí) a1=S1
n≥2時(shí) an=Sn-Sn-1
an=kn+b(k,b為常數(shù)) 推導(dǎo)過程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 則得到an=kn+b
等差中項(xiàng)
由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列。這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)(arithmetic mean)。
有關(guān)系：A=(a+b)÷2
前n項(xiàng)和
倒序相加法推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式：
Sn=a1+a2+a3 +·····+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個(gè))=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半：
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
性質(zhì)
一、任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。
二、從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*
三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有
am+an=ap+aq
四、對(duì)任意的k∈N*，有
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)：等比數(shù)列
定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列(geometric sequence)。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示。
縮寫
等比數(shù)列可以縮寫為G.P.(Geometric Progression)。
等比中項(xiàng)
如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。
通項(xiàng)公式
an=a1*q^(n-1) (其中首項(xiàng)是a1 ，公比是q)
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n項(xiàng)和
當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1*q^n)/(1-q) (q≠1)
當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為
Sn=na1
前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)
性質(zhì)
(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq;
(2)在等比數(shù)列中，依次每 k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。
(3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
(4)等比中項(xiàng)：q、r、p成等差數(shù)列，則aq·ap=ar²，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底對(duì)數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列;反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
(5) 等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
(6)任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)
(7)在等比數(shù)列中，首項(xiàng)a1與公比q都不為零。
注意：上述公式中a^n表示a的n次方。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)：等和數(shù)列
定義
“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。
對(duì)一個(gè)數(shù)列，如果其任意的連續(xù)k(k≥2)項(xiàng)的和都相等，我們就把此數(shù)列叫做等和數(shù)列
性質(zhì)
必定是循環(huán)數(shù)列
證明：對(duì)任意正整數(shù)n，有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k， 所以對(duì)任意正整數(shù)n，an = an+k，如果這個(gè)數(shù)列有n+k項(xiàng)的話。
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