數(shù)學(xué)因式分解知識(shí)點(diǎn)
因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆向運(yùn)算,是代數(shù)恒等變形的基礎(chǔ),下面是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的數(shù)學(xué)因式分解知識(shí)點(diǎn),一起來(lái)看看吧。
數(shù)學(xué)因式分解知識(shí)點(diǎn)
(1)因式分解:把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.
(2)公因式:一個(gè)多項(xiàng)式每一項(xiàng)都含有的相同的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式.
(3)確定公因式的方法:公因數(shù)的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù);字母取各項(xiàng)的相同字母,而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的.
(4)提公因式法:一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式寫(xiě)成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.
(5)提出多項(xiàng)式的公因式以后,另一個(gè)因式的確定方法是:用原來(lái)的多項(xiàng)式除以公因式所得的商就是另一個(gè)因式.
(6)如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的,一般要提出“-”號(hào),使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的,在提出“-”號(hào)時(shí),多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).
(7)因式分解和整式乘法的關(guān)系:因式分解和整式乘法是整式恒等變形的正、逆過(guò)程,整式乘法的結(jié)果是整式,因式分解的結(jié)果是乘積式.
(8)運(yùn)用公式法:如果把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式,這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.
(9)平方差公式:兩數(shù)平方差,等于這兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差,字母表達(dá)式:a2-b2=(a+b)(a-b)
(10)具備什么特征的兩項(xiàng)式能用平方差公式分解因式
①系數(shù)能平方,(指的系數(shù)是完全平方數(shù))
?、谧帜钢笖?shù)要成雙,(指的指數(shù)是偶數(shù))
?、蹆身?xiàng)符號(hào)相反.(指的兩項(xiàng)一正號(hào)一負(fù)號(hào))
數(shù)學(xué)因式分解方法
(1)提公因式法:
?、俣x:如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式寫(xiě)成因式乘積的形式,這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。
公因式:多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式。公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母,也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。
系數(shù)——取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)
字母——取各項(xiàng)都含有的字母
指數(shù)——取相同字母的最低次冪
例:12a3b3c-8a3b2c3+6a4b2c2 的公因式是___________.
解析:從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩部分來(lái)考慮,系數(shù)部分分別是12、-8、6,它們的最大公數(shù)為2;字母部分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c,故多項(xiàng)式的公因式是2a3b2c.
?、谔峁蚴降牟襟E
第一步:找出公因式;
第二步:提公因式并確定另一個(gè)因式,提公因式時(shí),可用原多項(xiàng)式除以公因式,
所得商即是提公因式后剩下的另一個(gè)因式。
注意:提取公因式后,對(duì)另一個(gè)因式要注意整理并化簡(jiǎn),務(wù)必使因式最簡(jiǎn)。多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號(hào)的,要先提取符號(hào)。
(2)運(yùn)用公式法
定義:把乘法公式反過(guò)來(lái)用,就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式,這種分
解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。
a逆用平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)
b逆用平方差公式:a2±2ab+b2=(a±b)2
c逆用平方差公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)(拓展)
d逆用平方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(拓展)
注意:
?、俟街械淖帜缚纱硪粋€(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。
?、谶x擇使用公式的方法:主要從項(xiàng)數(shù)上看,若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式可考慮平方差公式;若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式,可考慮完全平方公式。
(3)分組分解法(拓展)
?、賹⒍囗?xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解;
例:把多項(xiàng)式ab-a+b-1分解因式
解:ab-a+b-1=(ab-a)+(b-1)=a(b-1)+(b-1)=(a+1)(b-1)
②將多項(xiàng)式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解.
例:將多項(xiàng)式a2-2ab-1+b2因式分解
解:a2-2ab-1+b2
=(a2-2ab+b2)-1=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1)
(4)十字相乘法
(形如x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)形式的多項(xiàng)式,可以考慮運(yùn)用此種方法)
方法:常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)因數(shù)p和q,這兩數(shù)的和p+q為一次項(xiàng)系數(shù)
x2+(p+q)x+pq
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例:分解因式x2-x-30
補(bǔ)充點(diǎn)詳解
我們可以將-30分解成p×q的形式,使p+q=-1,p×q=-30,我們就有你p=-6,q=5.
所以將多項(xiàng)式x2+(p+q)x+pq可以分解為(x+p)(x+q)
x2-x-30=(x-6)(x+5)
數(shù)學(xué)因式分解一般步驟
如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式,沒(méi)有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法;若是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式,
通常采用分組分解法,最后運(yùn)用十字相乘法分解因式。因此,可以概括為:“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。
注意:
因式分解一定要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止,否則就是不完全的因式分解,若題目沒(méi)有明確指出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分解,應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解,因此分解因式的結(jié)果,必須是幾個(gè)整式的積的形式。
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