高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧
高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧
解答數(shù)學(xué)圓錐曲線試題，需要較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和圖形認(rèn)識能力，要能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運(yùn)算，推理轉(zhuǎn)換，并在運(yùn)算過程中注意思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整。下面學(xué)習(xí)啦小編給你分享高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧，歡迎閱讀。
高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧
1.充分利用幾何圖形的策略
解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，往往能減少計算量。
例：設(shè)直線3x+4y+m=0與圓x+y+x-2y=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP⊥OQ，求m的值。
2.充分利用韋達(dá)定理的策略
我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)但不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。
例：已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，|PQ|=，求此橢圓方程。
3.充分利用曲線方程的策略
例：求經(jīng)過兩已知圓C:x+y-4x+2y=0和C:x+y-2y-4=0的交點(diǎn)，且圓心在直線l：2x+4y-1=0上的圓的方程。
4.充分利用橢圓的參數(shù)方程的策略
橢圓的參數(shù)方程涉及正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題。這也就是我們常說的三角代換法。
例：P為橢圓+=1上一動點(diǎn)，A為長軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四邊形OAPB面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)。
5.線段長的幾種簡便計算策略
(1)充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程。
求直線與圓錐曲線相交的弦AB長：把直線方程y=kx+b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax+bx+c=0的方程，方程的兩根設(shè)為x，x，判別式為△，則|AB|=•|x-x|=•，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算過程。
例：求直線x-y+1=0被橢圓x+4y=16所截得的線段AB的長。
(2)結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算。
在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。
例：F、F是橢圓+=1的兩個焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過F的弦，若|AB|=8，求|FA|+|FB|的值。
(3)利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離。
例：點(diǎn)A(3，2)為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y=4x上移動，若|PA|+|PF|取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
高中數(shù)學(xué)圓錐曲線題型
1.中點(diǎn)弦問題
具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法)：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(x，y)，(x，y)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個參數(shù)。
例：給定雙曲線x-=1，過A(2，1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P和P，求線段PP的中點(diǎn)P的軌跡方程。
2.焦點(diǎn)三角形問題
橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個焦點(diǎn)F、F構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理。
例：設(shè)P(x，y)為橢圓+=1上任一點(diǎn)，F(xiàn)(-c，0)，F(xiàn)(c，0)為焦點(diǎn)，∠PFF=α，∠PFF=β。
(1)求證：離心率e=;
(2)求|PF|+|PF|的最值。
3.直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法。
例：拋物線方程y=p(x+1)(p>0)，直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。
(1)求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(diǎn)。
(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OA⊥OB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。
4.圓錐曲線的有關(guān)最值問題
圓錐曲線中的有關(guān)最值問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖像性質(zhì)來解決。若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。下題中的(1)，可先設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍。對于(2)，首先要把△NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值，即“最值問題，函數(shù)思想”。
例：已知拋物線y=2px(p>0)，過M(a，0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p，(1)求a的取值范圍;(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值。
5.求曲線的方程問題
(1)曲線的形狀已知，這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。
例：已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A(-1，0)和點(diǎn)B(0，8)關(guān)于L的對稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。
(2)曲線的形狀未知，求軌跡方程。
例：已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2，0)和圓C：x+y=1，動點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ(λ>0)，求動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。
6.存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題
在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可按如下方法解題：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。當(dāng)然也可利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決。
例：已知橢圓C的方程+=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線y=4x+m，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。
7.兩線段垂直問題
圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k•k==-1來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理。
例:已知直線l的斜率為k，且過點(diǎn)P(-2，0)，拋物線C:y=4(x+1)，直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)。(1)求k的取值范圍;(2)直線l的傾斜角θ為何值時，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。
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