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高中數(shù)學函數(shù)性質(zhì)

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  函數(shù)是高中數(shù)學的重點難點,也是基礎(chǔ)。你都掌握了函數(shù)的基本知識點嗎?接下來學習啦小編為你整理了高中數(shù)學函數(shù)性質(zhì),一起來看看吧。

  高中數(shù)學函數(shù)性質(zhì)一次函數(shù)

  一、定義與定義式:

  自變量x和因變量y有如下關(guān)系:

  y=kx+b

  則此時稱y是x的一次函數(shù)。

  特別地,當b=0時,y是x的正比例函數(shù)。

  即:y=kx (k為常數(shù),k≠0)

  二、一次函數(shù)的性質(zhì):

  1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k

  即:y=kx+b (k為任意不為零的實數(shù) b取任何實數(shù))

  2.當x=0時,b為函數(shù)在y軸上的截距。

  三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):

  1.作法與圖形:通過如下3個步驟

  (1)列表;

  (2)描點;

  (3)連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點,并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點)

  2.性質(zhì):(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。

  3.k,b與函數(shù)圖像所在象限:

  當k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;

  當k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。

  當b>0時,直線必通過一、二象限;

  當b=0時,直線通過原點

  當b<0時,直線必通過三、四象限。

  特別地,當b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

  這時,當k>0時,直線只通過一、三象限;當k<0時,直線只通過二、四象限。

  四、確定一次函數(shù)的表達式:

  已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。

  (1)設(shè)一次函數(shù)的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

  (2)因為在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②

  (3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。

  (4)最后得到一次函數(shù)的表達式。

  五、一次函數(shù)在生活中的應用:

  1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

  2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。

  六、常用公式:(不全,希望有人補充)

  1.求函數(shù)圖像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)

  2.求與x軸平行線段的中點:|x1-x2|/2

  3.求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2

  4.求任意線段的長:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)

  高中數(shù)學函數(shù)性質(zhì)二次函數(shù)

  I.定義與定義表達式

  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:

  y=ax^2+bx+c

  (a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)

  則稱y為x的二次函數(shù)。

  二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

  II.二次函數(shù)的三種表達式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

  頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h,k)]

  交點式:y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點A(x? ,0)和 B(x?,0)的拋物線]

  注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

  h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

  III.二次函數(shù)的圖像

  在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,

  可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

  IV.拋物線的性質(zhì)

  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

  x= -b/2a。

  對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

  特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

  2.拋物線有一個頂點P,坐標為

  P( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )

  當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。

  3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

  當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

  |a|越大,則拋物線的開口越小。

  4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

  當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

  當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

  5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

  拋物線與y軸交于(0,c)

  6.拋物線與x軸交點個數(shù)

  Δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

  Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

  Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)

  V.二次函數(shù)與一元二次方程

  特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,

  當y=0時,二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),

  即ax^2+bx+c=0

  此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

  函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

  1.二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:

  解析式 頂點坐標對 稱 軸

  y=ax^2(0,0) x=0

  y=a(x-h)^2(h,0) x=h

  y=a(x-h)^2+k(h,k) x=h

  y=ax^2+bx+c(-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a

  當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

  當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

  當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

  2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

  3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減小.

  4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:

  (1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);

  (2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

  (a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|

  當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

  當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數(shù)時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數(shù)時,都有y<0.

  5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

  頂點的橫坐標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標,是最值的取值.

  6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

  (1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設(shè)解析式為一般形式:

  y=ax^2+bx+c(a≠0).

  (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時,可設(shè)解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

  (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設(shè)解析式為兩根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

  7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為復雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現(xiàn).

  高中數(shù)學函數(shù)性質(zhì)反比例函數(shù)

  形如 y=k/x(k為常數(shù)且k≠0) 的函數(shù),叫做反比例函數(shù)。

  自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。

  反比例函數(shù)圖像性質(zhì):

  反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

  由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù),有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點對稱。

  另外,從反比例函數(shù)的解析式可以得出,在反比例函數(shù)的圖像上任取一點,向兩個坐標軸作垂線,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,為∣k∣。

  如圖,上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數(shù)圖像。

  當K>0時,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一,三象限,是減函數(shù)

  當K<0時,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二,四象限,是增函數(shù)

  反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標軸,無法和坐標軸相交。

  知識點:

  1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段,這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。

  2.對于雙曲線y=k/x ,若在分母上加減任意一個實數(shù) (即 y=k/(x±m)m為常數(shù)),就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數(shù)時向左平移,減一個數(shù)時向右平移)

  對數(shù)函數(shù)

  對數(shù)函數(shù)的一般形式為,它實際上就是指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定,同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

  右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形:

  可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函數(shù)。

  (1)對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。

  (2)對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。

  (3)函數(shù)總是通過(1,0)這點。

  (4)a大于1時,為單調(diào)遞增函數(shù),并且上凸;a小于1大于0時,函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),并且下凹。

  (5)顯然對數(shù)函數(shù)無界。

  高中數(shù)學函數(shù)性質(zhì)指數(shù)函數(shù)

  指數(shù)函數(shù)的一般形式為,從上面我們對于冪函數(shù)的討論就可以知道,要想使得x能夠取整個實數(shù)集合為定義域,則只有使得

  如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。

  可以看到:

  (1) 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合,這里的前提是a大于0,對于a不大于0的情況,則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮。

  (2) 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。

  (3) 函數(shù)圖形都是下凹的。

  (4) a大于1,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0,則為單調(diào)遞減的。

  (5) 可以看到一個顯然的規(guī)律,就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0),函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置,趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

  (6) 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。

  (7) 函數(shù)總是通過(0,1)這點。

  (8) 顯然指數(shù)函數(shù)無界。

  奇偶性

  注圖:(1)為奇函數(shù)(2)為偶函數(shù)

  1.定義

  一般地,對于函數(shù)f(x)

  (1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

  (2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

  (3)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),稱為既奇又偶函數(shù)。

  (4)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù)。

  說明:①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì),對整個定義域而言

 ?、谄?、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱,如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則這個函數(shù)一定不是奇(或偶)函數(shù)。

  (分析:判斷函數(shù)的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱,然后再嚴格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論)

 ?、叟袛嗷蜃C明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義

  2.奇偶函數(shù)圖像的特征:

  定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖表,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對稱圖形。

  f(x)為奇函數(shù)《==》f(x)的圖像關(guān)于原點對稱

  點(x,y)→(-x,-y)

  奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增,則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。

  偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增,則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減。

  3.奇偶函數(shù)運算

  (1). 兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).

  (2). 兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).

  (3). 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).

  (4). 兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).

  (5). 兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).

  (6). 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).

  定義域

  (高中函數(shù)定義)設(shè)A,B是兩個非空的數(shù)集,如果按某個確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x屬于集合A。其中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域;

  值域

  名稱定義

  函數(shù)中,應變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學中是函數(shù)在定義域中應變量所有值的集合

  常用的求值域的方法

  (1)化歸法;(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合),

  (3)函數(shù)單調(diào)性法,

  (4)配方法,(5)換元法,(6)反函數(shù)法(逆求法),(7)判別式法,(8)復合函數(shù)法,(9)三角代換法,(10)基本不等式法等

  關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)

  定義域、對應法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個基本“元件”。平時數(shù)學中,實行“定義域優(yōu)先”的原則,無可置疑。然而事物均具有二重性,在強化定義域問題的同時,往往就削弱或談化了,對值域問題的探究,造成了一手“硬”一手“軟”,使學生對函數(shù)的掌握時好時壞,事實上,定義域與值域二者的位置是相當?shù)?,絕不能厚此薄皮,何況它們二者隨時處于互相轉(zhuǎn)化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化)。如果函數(shù)的值域是無限集的話,那么求函數(shù)值域不總是容易的,反靠不等式的運算性質(zhì)有時并不能奏效,還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案,從這個角度來講,求值域的問題有時比求定義域問題難,實踐證明,如果加強了對值域求法的研究和討論,有利于對定義域內(nèi)函的理解,從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認識。

  “范圍”與“值域”相同嗎?

  “范圍”與“值域”是我們在學習中經(jīng)常遇到的兩個概念,許多同學常常將它們混為一談,實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函數(shù)值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數(shù)的取值),而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說:“值域”是一個“范圍”,而“范圍”卻不一定是“值域”。

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