數(shù)學(xué)期望與方差的關(guān)系_理解數(shù)學(xué)期望與方差之間的群關(guān)系
數(shù)學(xué)期望與方差的關(guān)系_理解數(shù)學(xué)期望與方差之間的群關(guān)系
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差是高考的重要考點(diǎn), 也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)。你知道兩者之間的關(guān)系嗎?下面就由學(xué)習(xí)啦小編和你說說吧。
數(shù)學(xué)期望與方差的關(guān)系
方差指一組數(shù)據(jù)中每個元素間的離散程度,方差小則離散程度小,反之則大.
期望值指一個人對某目標(biāo)能夠?qū)崿F(xiàn)的概率估計(jì),即：一個人對目標(biāo)估計(jì)可以實(shí)現(xiàn),這時概率為最大(P=1);反之,估計(jì)完全不可能實(shí)現(xiàn),這時概率為最小(p=0).因此,期望(值)也可以叫做期望概率.一個人對目標(biāo)實(shí)現(xiàn)可能性估計(jì)的依據(jù)是過去的經(jīng)驗(yàn),以判斷一定行為能夠?qū)е履撤N結(jié)果或滿足某種需要的概率.
什么是數(shù)學(xué)期望
在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，數(shù)學(xué)期望(mean)(或均值，亦簡稱期望)是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和。是最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機(jī)變量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常識中的“期望”——“期望值”也許與每一個結(jié)果都不相等。(換句話說，期望值是該變量輸出值的平均數(shù)。期望值并不一定包含于變量的輸出值集合里。)
公式
X1,X2,X3，……，Xn為這離散型隨機(jī)變量，p(X1),p(X2),p(X3)，……p(Xn)為這幾個數(shù)據(jù)的概率函數(shù)。在隨機(jī)出現(xiàn)的幾個數(shù)據(jù)中p(X1),p(X2),p(X3)，……p(Xn)概率函數(shù)就理解為數(shù)據(jù)X1,X2,X3，……，Xn出現(xiàn)的頻率f(Xi).則：
E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)
什么是方差
方差的概念與計(jì)算公式，例1 兩人的5次測驗(yàn)成績?nèi)缦拢篨： 50，100，100，60，50 E(X)=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y)=72。平均成績相同，但X 不穩(wěn)定，對平均值的偏離大。方差描述隨機(jī)變量對于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為D(X)：直接計(jì)算公式分離散型和連續(xù)型，具體為：這里 是一個數(shù)。推導(dǎo)另一種計(jì)算公式得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。其中，分別為離散型和連續(xù)型計(jì)算公式。 稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，方差描述波動程度。
方差的性質(zhì)
1.設(shè)C為常數(shù)，則D(C) = 0(常數(shù)無波動);
2.D(CX)=C2 D(X) (常數(shù)平方提取);
證：
特別地 D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)(方差無負(fù)值)
3.若X 、Y 相互獨(dú)立，則證：記則
前面兩項(xiàng)恰為 D(X)和D(Y)，第三項(xiàng)展開后為
當(dāng)X、Y 相互獨(dú)立時，
故第三項(xiàng)為零。
特別地
獨(dú)立前提的逐項(xiàng)求和，可推廣到有限項(xiàng)。
方差公式：
平均數(shù)：
(n表示這組數(shù)據(jù)個數(shù)，x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值)
方差公式：
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