初三上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題
為即將到來(lái)的期末考試，教師們要如何準(zhǔn)備呢?接下來(lái)是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的初三上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題，供大家參考。
初三上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題：
一、選擇題(共8小題，每小題4分，滿分32分)
1.方程x2﹣3x﹣5=0的根的情況是( )
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D. 無(wú)法確定是否有實(shí)數(shù)根
考點(diǎn)： 根的判別式.
分析： 求出b2﹣4ac的值，再進(jìn)行判斷即可.
解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，
△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣5)=29>0，
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選A.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a≠0)①當(dāng)b2﹣4ac>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②當(dāng)b2﹣4ac=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③當(dāng)b2﹣4ac<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，則sinA的值為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義.
分析： 直接根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.
解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴sinA= = .
故選A.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，比較簡(jiǎn)單，用到的知識(shí)點(diǎn)：
正弦函數(shù)的定義：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA.即sinA=∠A的對(duì)邊：斜邊=a：c.
3.若是某個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是( )
A. 長(zhǎng)方體 B. 正方體 C. 圓柱 D. 圓錐
考點(diǎn)： 由三視圖判斷幾何體.
分析： 由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀.
解答： 解：主視圖和左視圖都是等腰三角形，那么此幾何體為錐體，由俯視圖為圓，可得此幾何體為圓錐.
故選：D.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三視圖，如果有兩個(gè)視圖為三角形，該幾何體一定是錐，如果有兩個(gè)矩形，該幾何體一定柱，其底面由第三個(gè)視圖的形狀決定.
4.小丁去看某場(chǎng)電影，只剩下的六個(gè)空座位供他選擇，座位號(hào)分別為1號(hào)、4號(hào)、6號(hào)、3號(hào)、5號(hào)和2號(hào).若小丁從中隨機(jī)抽取一個(gè)，則抽到的座位號(hào)是偶數(shù)的概率是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 概率公式.
分析： 由六個(gè)空座位供他選擇，座位號(hào)分別為1號(hào)、4號(hào)、6號(hào)、3號(hào)、5號(hào)和2號(hào)，直接利用概率公式求解即可求得答案.
解答： 解：∵六個(gè)空座位供他選擇，座位號(hào)分別為1號(hào)、4號(hào)、6號(hào)、3號(hào)、5號(hào)和2號(hào)，
∴抽到的座位號(hào)是偶數(shù)的概率是： = .
故選C.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
5.△ABC和△A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，若C1為OC的中點(diǎn)，AB=4，則A1B1的長(zhǎng)為( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
考點(diǎn)： 位似變換.
專題： 計(jì)算題.
分析： 根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到 = ，B1C1∥BC，再利用平行線分線段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把OC1= OC，AB=4代入計(jì)算即可.
解答： 解：∵C1為OC的中點(diǎn)，
∴OC1= OC，
∵△ABC和△A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，
∴ = ，B1C1∥BC，
∴ = ，
∴ = ，
即 =
∴A1B1=2.
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.注意：①兩個(gè)圖形必須是相似形;②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn);③對(duì)應(yīng)邊平行.
6.已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上的兩點(diǎn)，若x1<0
A. y1<0
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
專題： 計(jì)算題.
分析： 根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到y(tǒng)1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1<0
解答： 解：∵A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上的兩點(diǎn)，
∴y1=﹣ ，y2=﹣ ，
∵x1<0
∴y2<0
R>故選B.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k.
7.AB是半圓O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于D，過(guò)點(diǎn)O作OE∥AC交半圓O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F.若AC=2，則OF的長(zhǎng)為( )
A. B. C. 1 D. 2
考點(diǎn)： 垂徑定理;全等三角形的判定與性質(zhì).
分析： 根據(jù)垂徑定理求出AD，證△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案.
解答： 解：∵OD⊥AC，AC=2，
∴AD=CD=1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO=∠OFE=90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE=∠ADO=90°，
∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，
∴∠DAO=∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE(AAS)，
∴OF=AD=1，
故選C.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△ADO≌△OFE和求出AD的長(zhǎng)，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦.
8.在矩形ABCD中，AB
A. 線段EF B. 線段DE C. 線段CE D. 線段BE
考點(diǎn)： 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.
分析： 作BN⊥AC，垂足為N，F(xiàn)M⊥AC，垂足為M，DG⊥AC，垂足為G，分別找出線段EF、CE、BE最小值出現(xiàn)的時(shí)刻即可得出結(jié)論.
解答： 解：作BN⊥AC，垂足為N，F(xiàn)M⊥AC，垂足為M，DG⊥AC，垂足為G.
由垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，即AE< 時(shí)，F(xiàn)E有最小值，與函數(shù)圖象不符，故A錯(cuò)誤;
由垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時(shí)，即AEd> 時(shí)，DE有最小值，故B正確;
∵CE=AC﹣AE，CE隨著AE的增大而減小，故C錯(cuò)誤;
由垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)，即AE< 時(shí)，BE有最小值，與函數(shù)圖象不符，故D錯(cuò)誤;
故選：B.
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查的是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，根據(jù)垂線段最短確定出函數(shù)最小值出現(xiàn)的時(shí)刻是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(共4小題，每小題4分，滿分16分)
9.已知扇形的半徑為3cm，圓心角為120°，則扇形的面積為 3π cm2.(結(jié)果保留π)
考點(diǎn)： 扇形面積的計(jì)算.
專題： 壓軸題.
分析： 知道扇形半徑，圓心角，運(yùn)用扇形面積公式就能求出.
解答： 解：由S= 知
S= × π×32=3πcm2.
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查扇形面積的計(jì)算，知道扇形面積計(jì)算公式S= .
10.在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為2m的竹竿的影長(zhǎng)為1m，同時(shí)測(cè)得一棟建筑物的影長(zhǎng)為12m，那么這棟建筑物的高度為 24 m.
考點(diǎn)： 相似三角形的應(yīng)用.
分析： 根據(jù)同時(shí)同地的物高與影長(zhǎng)成正比列式計(jì)算即可得解.
解答： 解：設(shè)這棟建筑物的高度為xm，
由題意得， = ，
解得x=24，
即這棟建筑物的高度為24m.
故答案為：24.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟記同時(shí)同地的物高與影長(zhǎng)成正比是解題的關(guān)鍵.
11.拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣2，4)，B(1，1)，則關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解為 x1=﹣2，x2=1 .
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì).
專題： 數(shù)形結(jié)合.
分析： 根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題得到方程組 的解為 ， ，于是易得關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解.
解答： 解：∵拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣2，4)，B(1，1)，
∴方程組 的解為 ， ，
即關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解為x1=﹣2，x2=1.
故答案為x1=﹣2，x2=1.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣ ， )，對(duì)稱軸直線x=﹣ .也考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.
12.對(duì)于正整數(shù)n，定義F(n)= ，其中f(
n)表示n的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和.例如：F(6)=62=36，F(xiàn)(123)=f(123)=12+32=10.規(guī)定F1(n)=F(n)，F(xiàn)k+1(n)=F(Fk(n)).例如：F1(123)=F(123)=10，F(xiàn)2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.
(1)求：F2(4)= 37 ，F(xiàn)2015(4)= 26 ;
(2)若F3m(4)=89，則正整數(shù)m的最小值是 6 .
考點(diǎn)： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類.
專題： 新定義.
分析： 通過(guò)觀察前8個(gè)數(shù)據(jù)，可以得出規(guī)律，這些數(shù)字7個(gè)一個(gè)循環(huán)，根據(jù)這些規(guī)律計(jì)算即可.
解答： 解：(1)F2(4)=F(F1(4))=F(16)=12+62=37;
F1(4)=F(4)=16，F(xiàn)2(4)=37，F(xiàn)3(4)=58，
F4(4)=89，F(xiàn)5(4)=145，F(xiàn)6(4)=26，F(xiàn)7(4)=40，F(xiàn)8(4)=16，
通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字7個(gè)一個(gè)循環(huán)，2015是7的287倍余6，因此F2015(4)=26;
(2)由(1)知，這些數(shù)字7個(gè)一個(gè)循環(huán)，F(xiàn)4(4)=89=F18(4)，因此3m=18，所以m=6.
故答案為：(1)37，26;(2)6.
點(diǎn)評(píng)： 本題屬于數(shù)字變化類的規(guī)律探究題，通過(guò)觀察前幾個(gè)數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律，熟練找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(共13小題，滿分72分)
13.計(jì)算：(﹣1)2015+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.
考點(diǎn)： 實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
專題： 計(jì)算題.
分析： 原式第一項(xiàng)利用乘方的意義計(jì)算，第二項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，第三項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用負(fù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可.
解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= .
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
14.△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，BE⊥AC于E，求證：△ACD∽△BCE.
考點(diǎn)： 相似三角形的判定.
專題： 證明題.
分析： 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC，D是BC中點(diǎn)得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可得到結(jié)論.
解答： 證明：∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠BEC，
而∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.也考查了等腰三角形的性質(zhì).
15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式 的值.
考點(diǎn)： 一元二次方程的解.
專題： 計(jì)算題.
分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化簡(jiǎn)，將m2﹣2=3m代入計(jì)算即可求出值.
解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，
則原式= = =3.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了一元二次方程的解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
16.拋物線y=2x2平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，3)，B(2，3)，求平移后的拋物線的表達(dá)式.
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換.
專題： 計(jì)算題.
分析： 由于拋物線平移前后二次項(xiàng)系數(shù)不變，則可設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=2x2+bx+c，然后把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求出b、c即可得到平移后的拋物線的表達(dá)式.
解答： 解：設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=2x2+bx+c，
把點(diǎn)A(0，3)，B(2，3)分別代入得 ，解得 ，
所以平移后的拋物線的表達(dá)式為y=2x2﹣4x+3.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.
17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，AC⊥x軸于點(diǎn)C，連接BC.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y= 圖象上的一點(diǎn)，且滿足△OPC與△ABC的面積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
分析： (1)把A點(diǎn)橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式;
(2)由條件可求得B、C的坐標(biāo)，可先求得△ABC的面積，再結(jié)合△OPC與△ABC的面積相等求得P點(diǎn)坐標(biāo).
解答： 解：
(1)把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，4)，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y= ;
(2)∵AC⊥OC，
∴OC=2，
∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，﹣4)，
∴B到OC的距離為4，
∴S△ABC=2S△ACO=2× ×2×4=8，
∴S△OPC=8，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x， )，則P到OC的距離為| |，
∴ ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，8)或(﹣1，﹣8).
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，在(1)中求得A點(diǎn)坐標(biāo)、在(2)中求得P點(diǎn)到OC的距離是解題的關(guān)鍵.
18.△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)E.
(1)求線段CD的長(zhǎng);
(2)求cos∠ABE的值.
考點(diǎn)： 解直角三角形;勾股定理.
專題： 計(jì)算題.
分析： (1)在△ABC中根據(jù)正弦的定義得到sinA= = ，則可計(jì)算出AB=10，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到CD= AB=5;
(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理計(jì)算出AC=6，在根據(jù)三角形面積公式得到S△BDC=S△ADC，則S△BDC= S△ABC，即 CD•BE= • AC•BC，于是可計(jì)算出BE= ，然后在Rt△BDE中利用余弦的定義求解.
解答： 解：(1)在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴sinA= = ，
而BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴CD= AB=5;
(2)在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，
∴AC= =6，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴BD=5，S△BDC=S△ADC，
∴S△BDC= S△ABC，即 CD•BE= • AC•BC，
∴BE= = ，
在Rt△BDE中，cos∠DBE= = = ，
即cos∠ABE的值為 .
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和三角形面積公式.
19.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2.
(1)求m的取值范圍;
(2)若x2<0，且 >﹣1，求整數(shù)m的值.
考點(diǎn)： 根的判別式;根與系數(shù)的關(guān)系.
專題： 計(jì)算題.
分析： (1)由二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且根的判別式大于0，求出m的范圍即可;
(2)利用求根公式表示出方程的解，根據(jù)題意確定出m的范圍，找出整數(shù)m的值即可.
解答： 解：(1)由已知得：m≠0且△=(m+2)2﹣8m=(m﹣2)2>0，
則m的范圍為m≠0且m≠2;
(2)方程解得：x= ，即x=1或x= ，
∵x2<0，∴x2= <0，即m<0，
∵ >﹣1，
∴ >﹣1，即m>﹣2，
∵m≠0且m≠2，
∴﹣2
∵m為整數(shù)，
∴m=﹣1.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了根的判別式，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即為根的判別式大于0.
20.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，據(jù)調(diào)查顯示，每個(gè)檔次的日產(chǎn)量及相應(yīng)的單件利潤(rùn)如表所示(其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10);
質(zhì)量檔次 1 2 … x … 10
日產(chǎn)量(件) 95 90 … 100﹣5x … 50
單件利潤(rùn)(萬(wàn)元) 6 8 … 2x+4 … 24
為了便于調(diào)控，此工廠每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品，當(dāng)生產(chǎn)質(zhì)量檔次為x的產(chǎn)品時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為y萬(wàn)元.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)工廠為獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)選擇生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品?并求出當(dāng)天利潤(rùn)的最大值.
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用.
分析： (1)根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量就可以得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)由(1)的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.
解答： 解：(1)由題意，得
y=(100﹣5x)(2x+4)，
y=﹣10x2+180x+400(1≤x≤10的整數(shù));
答：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣10x2+180x+400;
(2)∵y=﹣10x2+180x+400，
∴y=﹣10(x﹣9)2+1210.
∵1≤x≤10的整數(shù)，
∴x=9時(shí)，y最大=1210.
答：工廠為獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)選擇生產(chǎn)9檔次的產(chǎn)品，當(dāng)天利潤(rùn)的最大值為1210萬(wàn)元.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，頂點(diǎn)式的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.
21.四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AD與⊙O相切，射線AO交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F.點(diǎn)P在射線AO上，且∠PCB=2∠BAF.
(1)求證：直線PC是⊙O的切線;
(2)若AB= ，AD=2，求線段PC的長(zhǎng).
考點(diǎn)： 切線的判定;勾股定理;平行四邊形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
分析： (1)首先連接OC，由AD與⊙O相切，可得FA⊥AD，四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，然后由垂徑定理可證得F是 的中點(diǎn)，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，繼而證得直線PC是⊙O的切線;
(2)首先由勾股定理可求得AE的長(zhǎng)，然后設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3﹣r，則可求得半徑長(zhǎng)，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得線段PC的長(zhǎng).
解答： (1)證明：連接OC.
∵AD與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴FA⊥AD.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC.
∵FA經(jīng)過(guò)圓心O，
∴F是 的中點(diǎn)，BE=CE，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠BAF.
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF.
∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°.
∴OC⊥PC.
∵點(diǎn)C在⊙O上，
∴直線PC是⊙O的切線.
(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=2.
∴BE=CE=1.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，
∴ .
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3﹣r.
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴OC2=OE2+CE2.
∴r2=(3﹣r)2+1.
解得 ，
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°.
∴△OCE∽△CPE，
∴ .
∴ .
∴ .
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了切線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.
22.閱讀下面材料：
小明觀察一個(gè)由1×1正方形點(diǎn)陣組成的點(diǎn)陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的距離都是1，他發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問(wèn)題：對(duì)于圖中出現(xiàn)的任意兩條端點(diǎn)在點(diǎn)陣上且互相不垂直的線段，都可以在點(diǎn)陣中找到一點(diǎn)構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出它們相交所成銳角的正切值.
請(qǐng)回答：
(1)A，B，C是點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)邳c(diǎn)陣中找到點(diǎn)D，作出線段CD，使得CD⊥AB;
(2)線段AB與CD交于點(diǎn)O.為了求出∠AOD的正切值，小明在點(diǎn)陣中找到了點(diǎn)E，連接AE，恰好滿足AE⊥CD于點(diǎn)F，再作出點(diǎn)陣中的其它線段，就可以構(gòu)造相似三角形，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算能夠使問(wèn)題得到解決.
請(qǐng)你幫小明計(jì)算：OC= ;tan∠AOD= 5 ;
解決問(wèn)題：
如圖3，計(jì)算：tan∠AOD= .
考點(diǎn)： 相似形綜合題.
分析： (1)用三角板過(guò)C作AB的垂線，從而找到D的位置;
(2)連接AC、DB、AD、DE.由△ACO∽△DBO求得CO的長(zhǎng)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可以求出AF，DF的長(zhǎng)，從而求出OF的長(zhǎng)，在Rt△AFO中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出tan∠AOD的值;
(3)如圖，連接AE、BF，則AF= ，AB= ，由△AOE∽△BOF，可以求出AO= ，在Rt△AOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD.
解答： 解：(1)如圖所示：
線段CD即為所求.
(2)如圖2所示連接AC、DB、AD.
∵AD=DE=2，
∴AE=2 .
∵CD⊥
AE，
∴DF=AF= .
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO.
∴CO：DO=2：3.
∴CO= .
∴DO= .
∴OF= .
tan∠AOD= .
(3)如圖3所示：
根據(jù)圖形可知：BF=2，AE=5.
由勾股定理可知：AF= = ，AB= = .
∵FB∥AE，
∴△AOE∽△BOF.
∴AO：OB=AE：FB=5：2.
∴AO= .
在Rt△AOF中，OF= = .
∴tan∠AOD= .
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)點(diǎn)陣圖構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.
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