九年級數(shù)學上期末質量檢測(2)
九年級數(shù)學上期末質量檢測參考答案
一、選擇題(每題3分，共45分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡上)
1.下列四個點，在反比例函數(shù)y= 圖象上的是( )
A.(2，﹣6) B.(8，4) C.(3，﹣4) D.(﹣6，﹣2)
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【專題】計算題.
【分析】分別計算出自變量為2、8、3、﹣6時的函數(shù)值，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可判斷四個點是否在反比例函數(shù)y= 圖象上.
【解答】解：當x=2時，y= =6;當x=8時，y= = ;當x=3時，y= =4;當x=﹣6時，y= =﹣2，
所以點(2，﹣6)，(8，4)，(3，﹣4)不在反比例函數(shù)y= 圖象上，而點(﹣6，﹣2)在反比例函數(shù)y= 圖象上.
故選D.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(x，y)的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k.
2.下面方程中，有兩個不等實數(shù)根的方程是( )
A.x2+x﹣1=0 B.x2﹣x+1=0 C.x2﹣x+ =0 D.x2+1=0
【考點】根的判別式.
【專題】轉化思想.
【分析】分別計算各選項的△，來判斷根的情況，一元二次方程有兩個不等實數(shù)根即判別式的值大于0.
【解答】解：A、∵△=b2﹣4ac=1+4=5>0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根.
B、∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3<0，
∴方程沒有實數(shù)根.
C、∵△=b2﹣4ac=1﹣1=0，
∴方程有兩個相等的實數(shù)根.
D、移項后得，x2=﹣1
∵任何數(shù)的平方一定是非負數(shù).
∴方程無實根.故錯誤.
故選A.
【點評】總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;
(3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.
3.如果兩個相似多邊形的相似比為1：5，則它們的面積比為( )
A.1：25 B.1：5 C.1：2.5 D.1：
【考點】相似多邊形的性質.
【分析】根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方即可得出結論.
【解答】解：∵兩個相似多邊形的相似比為1：5，
∴它們的面積比=12：52=1：25.
故選A.
【點評】本題考查的是相似多邊形的性質，熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵.
4.下列命題中正確的是( )
A.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形
B.三個角是直角的多邊形是矩形
C.兩條對角線相等的四邊形是矩形
D.有一個角是直角的四邊形是矩形
【考點】命題與定理;矩形的判定.
【分析】根據(jù)矩形的判定方法對四個命題分別進行判斷.
【解答】解：A、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，所以A選項為真命題;
B、三個角是直角的四邊形是矩形，所以B選項為假命題;
C、兩條對角線相互平分且相等的四邊形是矩形，所以C選項假真命題;
D、有三個角是直角的四邊形是矩形，所以D選項為假命題.
故選A.
【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.
5.在反比例函數(shù) 的圖象上有兩點(﹣1，y1)， ，則y1﹣y2的值是( )
A.負數(shù) B.非正數(shù) C.正數(shù) D.不能確定
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】反比例函數(shù) ：當k<0時，該函數(shù)圖象位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.
【解答】解：∵反比例函數(shù) 中的k<0，
∴函數(shù)圖象位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大;
又∵點(﹣1，y1)和 均位于第二象限，﹣1<﹣ ，
∴y1
∴y1﹣y2<0，即y1﹣y2的值是負數(shù)，
故選A.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.注意：反比例函數(shù)的增減性只指在同一象限內(nèi).
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值為( )
A.1 B. C. D.
【考點】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】先求出∠A的度數(shù)，然后將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，
則sinA+cosB= + =1.
故選A.
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.
7.高4米的旗桿在水平地面上的影長5米，此時測得附近一個建筑物的影子長20米，則該建筑物的高是( )
A.16米 B.20米 C.24米 D.30米
【考點】相似三角形的應用.
【分析】在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答.
【解答】解：∵ ，
即 ，
∴設建筑物的高是x米.則 =
解得：x=16.
故該建筑物的高為16米.
故選A.
【點評】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出該建筑物的高度，體現(xiàn)了方程的思想.
8.下面四個圖是同一天四個不同時刻樹的影子，其時間由早到晚的順序為( )
A.1234 B.4312 C.3421 D.4231
【考點】平行投影.
【分析】由于太陽早上從東方升起，則早上樹的影子向西;傍晚太陽在西邊落下，此時樹的影子向東，于是可判斷四個時刻的時間順序.
【解答】解：時間由早到晚的順序為4312.
故選B.
【點評】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影.
9.如圖是由5個大小相同的正方體組成的幾何體，它的左視圖為( )
A. B. C. D.
【考點】簡單組合體的三視圖.
【分析】細心觀察圖中幾何體中正方體擺放的位置，根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可.
【解答】解：從物體左面看，左邊2個正方形，右邊1個正方形.
故選：B.
【點評】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體左面看所得到的圖形，解答時學生易將三種視圖混淆而錯誤的選其它選項.
10.將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為( )
A.y=(x﹣1)2+4 B.y=(x﹣4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x﹣4)2+6
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象向上平移加，向右平移減，可得函數(shù)解析式.
【解答】解：將y=x2﹣2x+3化為頂點式，得y=(x﹣1)2+2.
將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為y=(x﹣4)2+4，
故選：B.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，函數(shù)圖象的平移規(guī)律是：左加右減，上加下減.
11.某校幵展“文明小衛(wèi)士”活動，從學生會“督查部”的3名學生(2男1女)中隨機選兩名進行督導，恰好選中兩名男學生的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與恰好選中兩名男學生的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有6種等可能的結果，恰好選中兩名男學生的有2種情況，
∴恰好選中兩名男學生的概率是： = .
故選A.
【點評】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
12.如圖，點P是▱ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，則圖中相似的三角形有( )
A.0對 B.1對 C.2對 D.3對
【考點】相似三角形的判定;平行四邊形的性質.
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質得出即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3對相似三角形.
故選：D.
【點評】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵.
13.在平面直角坐標系中，已知點A(﹣4，2)，B(﹣6，﹣4)，以原點O為位似中心，相似比為 ，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是( )
A.(﹣2，1) B.(﹣8，4) C.(﹣2，1)或(2，﹣1) D.(﹣8，4)或(8，﹣4)
【考點】位似變換;坐標與圖形性質.
【分析】根據(jù)已知得出位似圖形對應坐標與位似圖形比的關系進而得出答案.
【解答】解：∵△ABC的一個頂點A的坐標是(﹣4，2)，以原點O為位似中心相似比為1：2將△ABC縮小得到它的位似圖形△A′B′C′，
∴點A′的坐標是：(﹣ ×4， ×2)，[﹣ ×(﹣4)，﹣ ×2]，
即(﹣2，1)，(2，﹣1).
故選：C.
【點評】此題主要考查了位似圖形的性質，根據(jù)如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k得出是解題關鍵.
14.在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y=kx﹣k與反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】由于本題不確定k的符號，所以應分k>0和k<0兩種情況分類討論，針對每種情況分別畫出相應的圖象，然后與各選擇比較，從而確定答案.
【解答】解：(1)當k>0時，一次函數(shù)y=kx﹣k 經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，如圖所示：
(2)當k<0時，一次函數(shù)y=kx﹣k經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限.如圖所示：
故選：A.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象.靈活掌握反比例函數(shù)的圖象性質和一次函數(shù)的圖象性質是解決問題的關鍵，在思想方法方面，本題考查了數(shù)形結合思想、分類討論思想.
15.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線x=1，則下列結論：
①a<0，b<0;②a+b+c>0;③a﹣b+c<0;④當x>1時，y隨x的增大而減小;
?、輇2﹣4ac>0;⑥4a+2b+c>0;⑦a+b>m(am+b)(m≠1).
其中正確的結論有( )
A.4個 B.5個 C.6個 D.7個
【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與x軸的交點得出b2﹣4ac的符號，然后根據(jù)拋物線與x軸交點的個數(shù)及x=1時二次函數(shù)的值的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.
【解答】解：①∵拋物線開口向下，∴a<0，
∵拋物線對稱軸為直線x=1，且a<0，
∴b>0，故此選項錯誤;
?、诋攛=1時，對應y的值大于0，即a+b+c>0，故此選項正確;
?、郛攛=﹣1時，對應y的值小于0，即a﹣b+c<0，故此選項正確;
?、墚攛>1時，y隨x的增大而減小，正確;
?、輬D象與x軸有兩個交點，故b2﹣4ac>0，正確;
?、蕖邟佄锞€對稱軸為直線x=1，且圖象與x軸左側交點大于﹣1，故拋物線與x軸右側交點大于2，
故當x=2時4a+2b+c>0，正確;
⑦∵當x=1時，y最大，即a+b+c最大，故a+b+c>am2+bm+c，即a+b>m(am+b)，(m為實數(shù)且m≠1)，故此選項正確;
故正確的有6個.
故選：C.
【點評】此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，二次函數(shù)與方程之間的轉換，會利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，然后根據(jù)圖象判斷其值.
二、填空題(本題共8小題，滿分24分)
16.二次函數(shù)y=x2+2x的頂點坐標為 (﹣1，﹣1) .
【考點】二次函數(shù)的性質.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點坐標公式進行計算即可.
【解答】解：∵a=1，b=2，c=0，
∴﹣ =﹣ =﹣1，
= =﹣1，
∴頂點坐標為(﹣1，﹣1)，
故答案為：(﹣1，﹣1).
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標公式(﹣ ， ).
17.一個四邊形各邊的中點的連線組成的四邊形為菱形，則原四邊形的特點是 對角線相等 .
【考點】中點四邊形.
【分析】先證明EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出EH=FG=EF=HG，即可得出結論.
【解答】解：原四邊形的特點是對角線相等.理由如下：
如圖，E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點.
∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，
∴根據(jù)三角形的中位線的性質
∴EH=FG= BD，EF=HG= AC.
∵AC=BD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四邊形EFGH是菱形.
故答案為：對角線相等.
【點評】本題考查了中點四邊形、菱形的判定、三角形中位線定理.運用三角形中位線定理證得AC=BD是解決問題的關鍵.
18.關于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是 k≤ 且k≠0 .
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】本題是對根的判別式與一元二次方程的定義的考查，因為關于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個實數(shù)根，所以△=b2﹣4ac≥0，列出不等式求解，然后還要考慮二次項系數(shù)不能為0.
【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個實數(shù)根，
∴△=b2﹣4ac≥0，即(﹣1)2﹣4×k×2≥0，
解這個不等式得：k≤ ，
又∵k是二次項系數(shù)，
∴k≠0，
則k的取值范圍是k≤ 且k≠0.
故答案為：k≤ 且k≠0.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c為常數(shù))根的判別式.當△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0，方程沒有實數(shù)根.以及一元二次方程的意義.
19.二次函數(shù)y=x2+bx﹣2(b為常數(shù))的圖象與x軸有 2 個交點.
【考點】拋物線與x軸的交點.
【分析】根據(jù)拋物線與x軸交點個數(shù)的性質得出△的符號，進而得出答案.
【解答】解：∵△=b2+8，
∴b2+8>0，
∴二次函數(shù)y=x2+bx﹣2(b為常數(shù))的圖象與x軸相交，有2個交點，
故答案為：2.
【點評】此題主要考查了拋物線與x軸交點，正確利用△與交點個數(shù)的關系是解題關鍵.
20.如圖1是小志同學書桌上的一個電子相框，將其側面抽象為如圖2所示的幾何圖形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，則點B到CD的距離為 14.1 cm(參考數(shù)據(jù)sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，結果精確到0.1cm，可用科學計算器).
【考點】解直角三角形的應用.
【分析】作BE⊥CD于E，根據(jù)等腰三角形的性質和∠CBD=40°，求出∠CBE的度數(shù)，根據(jù)余弦的定義求出BE的長.
【解答】解：如圖2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cos∠CBE= ，
∴BE=BC•cos∠CBE
=15×0.940
=14.1cm.
故答案為：14.1.
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵，作出合適的輔助線構造直角三角形是解題的重要環(huán)節(jié).
21.將矩形紙片ABCD，按如圖所示的方式折疊，點A、點C恰好落在對角線BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，則AB的長為 .
【考點】翻折變換(折疊問題).
【專題】壓軸題.
【分析】由四邊形BEDF是菱形，可得OB=OD= BD，由四邊形ABCD是矩形，可得∠C=90°，然后設CD=x，根據(jù)折疊的性質得：OD=OB=CD，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求得方程，解此方程即可求得答案.
【解答】解：∵四邊形BEDF是菱形，
∴OB=OD= BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
設CD=x，
根據(jù)折疊的性質得：OD=OB=CD，
在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，
即62+x2=(2x)2，
解得：x=2 ，
∴AB=CD=2 .
故答案為：2 .
【點評】此題考查了矩形的性質、菱形的性質以及折疊的性質.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用，注意折疊中的對應關系.
22.如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A，斜坡的起始點為C，現(xiàn)設計斜坡BC的坡度i=1：5，則AC的長度是 210 cm.
【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
【分析】首先過點B作BD⊥AC于D，根據(jù)題意即可求得AD與BD的長，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的長，繼而求得答案.
【解答】解：過點B作BD⊥AC于D，
根據(jù)題意得：AD=2×30=60(cm)，BD=18×3=54(cm)，
∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴BD：CD=1：5，
∴CD=5BD=5×54=270(cm)，
∴AC=CD﹣AD=270﹣60=210(cm).
∴AC的長度是210cm.
故答案為：210.
【點評】此題考查了解直角三角形的應用：坡度問題.此題難度適中，注意掌握坡度的定義，注意數(shù)形結合思想的應用與輔助線的作法.
23.如圖，點A在雙曲線 上，點B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為 2 .
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關系S=|k|即可判斷.
【解答】解：過A點作AE⊥y軸，垂足為E，
∵點A在雙曲線 上，
∴四邊形AEOD的面積為1，
∵點B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，
∴四邊形BEOC的面積為3，
∴四邊形ABCD為矩形，則它的面積為3﹣1=2.
故答案為：2.
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù) 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點;這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義.
三、解答題(共7小題，滿分51分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請在答題紙上作答)
24.計算：20160﹣3tan30°+(﹣ )﹣2﹣| ﹣2|
【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】利用零指數(shù)冪的性質以及特殊角的三角函數(shù)值和負整數(shù)指數(shù)冪的性質以及絕對值的性質化簡，進而求出答案.
【解答】解：20160﹣3tan30°+(﹣ )﹣2﹣| ﹣2|
=1﹣3× +9﹣2+
=8.
【點評】此題主要考查了零指數(shù)冪以及特殊角的三角函數(shù)值和負整數(shù)指數(shù)冪以及絕對值的性質，正確化簡化簡各數(shù)是解題關鍵.
25.某超市計劃在“十周年”慶典開展購物抽獎活動，凡當天在該超市購物的顧客，均有一次抽獎的機會，抽獎規(guī)則如下：將如圖所示的圓形轉盤平均分成四個扇形，分別標上1，2，3，4四個數(shù)字，抽獎者連續(xù)轉動轉盤兩次，每次轉盤停止后指針所指扇形內(nèi)的數(shù)為每次所得的數(shù)(若指針指在分界線時重轉);當兩次所得數(shù)字之和為8時，返現(xiàn)金20元;當兩次所得數(shù)字之和為8時，返現(xiàn)金15元;當兩次所得數(shù)字之和為6時返現(xiàn)金10元和小于6時不返現(xiàn)金.
(1)試用樹狀圖或列表的方法表示出一次抽獎所有可能出現(xiàn)的結果;
(2)某顧客參加一次抽獎，能獲得返還現(xiàn)金的概率是多少?
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果;
(2)首先求得某顧客參加一次抽獎，能獲得返還現(xiàn)金的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：(1)畫樹狀圖得：
則共有16種等可能的結果;
(2)∵某顧客參加一次抽獎，能獲得返還現(xiàn)金的有6種情況，
∴某顧客參加一次抽獎，能獲得返還現(xiàn)金的概率是： = .
【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
26.如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm，燈罩BC長為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構成的∠BAD=60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少cm?(結果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)： ≈1.732)
【考點】解直角三角形的應用.
【分析】首先過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G，進而求出FC的長，再求出BG的長，即可得出答案.
【解答】解：過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G.
∴四邊形BFDG矩形，
∴BG=FD
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
∴CF=BC•sin30°=20× =10，
在Rt△ABG中，∠BAG=60°，
∴BG=AB•sin60°=30× =15 .
∴CE=CF+FD+DE=10+15 +2
=12+15 ≈37.98≈38.0(cm).
答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.
【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，熟練應用銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵.
27.某商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售，一天可售出100件.后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件.
(1)求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤 2000 元.
(2)設后來該商品每件降價x元，商場一天可獲利潤y元.
①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應降價多少元?
②求出y與x之間的函數(shù)關系式，當x取何值時，商場獲利潤最大?
【考點】二次函數(shù)的應用.
【分析】(1)原來一天可獲利潤=(原售價﹣原進價)×一天的銷售量;
(2)①根據(jù)等量關系：降價后的單件利潤×銷售量=總利潤，列方程解答;
②根據(jù)“總利潤=降價后的單件利潤×銷售量”列出函數(shù)表達式，并運用二次函數(shù)性質解答.
【解答】解：(1)(100﹣80)×100=2000(元);
故答案為：2000.
(2)①依題意得：
(100﹣80﹣x)(100+10x)=2160
即x2﹣10x+16=0
解得：x1=2，x2=8
經(jīng)檢驗：x1=2，x2=8都是方程的解，且符合題意.
答：商店經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應降價2元或8元.
?、谝李}意得：y=(100﹣80﹣x)(100+10x)，
∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10(x﹣5)2+2250，
∵﹣10≤0，
∴當x=5時，商店所獲利潤最大.
【點評】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解答第②小題的關鍵是將實際問題轉化為二次函數(shù)求解，注意配方法求二次函數(shù)最值的應用.
28.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N.
(1)求證：△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12，BM=5，求DE的長.
【考點】相似三角形的判定與性質;正方形的性質.
【分析】(1)由正方形的性質得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結論;
(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA;
(2)解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM= =13，AD=12，
∵F是AM的中點，
∴AF= AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴ ，
即 ，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9.
【點評】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理;熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵.
29.如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于A(2，3)，B(﹣3，n)兩點.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)所給條件，請直接寫出不等式kx+b> 的解集;
(3)過點B作BC⊥x軸，垂足為C，求S△ABC.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)由一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于A(2，3)，B(﹣3，n)兩點，首先求得反比例函數(shù)的解析式，則可求得B點的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象，觀察即可求得答案;
(3)因為以BC為底，則BC邊上的高為3+2=5，所以利用三角形面積的求解方法即可求得答案.
【解答】解：(1)∵點A(2，3)在y= 的圖象上，
∴m=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y= ，
∵B(﹣3，n)在反比例函數(shù)圖象上，
∴n= =﹣2，
∵A(2，3)，B(﹣3，﹣2)兩點在y=kx+b上，
∴ ，
解得： ，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=x+1;
(2)﹣3
(3)以BC為底，則BC邊上的高AE為3+2=5，
∴S△ABC= ×2×5=5.
【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.注意待定系數(shù)法的應用是解題的關鍵.
30. 如圖，對稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為(﹣3，0).
(1)求點B的坐標.
(2)已知a=1，C為拋物線與y軸的交點.
①若點P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC，求點P的坐標.
?、谠O點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，交x軸于A、B兩點，其中A點的坐標為(﹣3，0)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即可求得B點的坐標;
(2)①a=1時，先由對稱軸為直線x=﹣1，求出b的值，再將B(1，0)代入，求出二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3，得到C點坐標，然后設P點坐標為(x，x2+2x﹣3)，根據(jù)S△POC=4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標;
?、谙冗\用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，再設Q點坐標為(x，﹣x﹣3)，則D點坐標為(x，x2+2x﹣3)，然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求出線段QD長度的最大值.
【解答】解：(1)∵對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點，
∴A、B兩點關于直線x=﹣1對稱，
∵點A的坐標為(﹣3，0)，
∴點B的坐標為(1，0);
(2)①a=1時，∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，
∴ =﹣1，解得b=2.
將B(1，0)代入y=x2+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=﹣3.
則二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3，
∴拋物線與y軸的交點C的坐標為(0，﹣3)，OC=3.
設P點坐標為(x，x2+2x﹣3)，
∵S△POC=4S△BOC，
∴ ×3×|x|=4× ×3×1，
∴|x|=4，x=±4.
當x=4時，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21;
當x=﹣4時，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5.
∴點P的坐標為(4，21)或(﹣4，5);
②設直線AC的解析式為y=kx+t (k≠0)將A(﹣3，0)，C(0，﹣3)代入，
得 ，解得 ，
即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3.
設Q點坐標為(x，﹣x﹣3)(﹣3≤x≤0)，則D點坐標為(x，x2+2x﹣3)，
QD=(﹣x﹣3)﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+ )2+ ，
∴當x=﹣ 時，QD有最大值 .
【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質以及三角形面積、線段長度問題.此題難度適中，解題的關鍵是運用方程思想與數(shù)形結合思想.
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