2017九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷(2)
2017九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷
2017九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷參考答案
一、選擇題(本大題有12小題，在下面的每小題的四個選項中，有且只有一個符合題意，把符合題意的選項代號填在題后括號內(nèi)，每小題3分，共36分.)
1.若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣1，則另一個根為( )
A.﹣2 B.2 C.4 D.﹣3
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩根和，兩根積，即可求出a的值和另一根.
【解答】解：設(shè)一元二次方程的另一根為x1，
則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2.
故選A.
【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣ ，x1•x2= .
2.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可變形為( )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
【考點】解一元二次方程-配方法.
【專題】計算題.
【分析】方程利用配方法求出解即可.
【解答】解：方程變形得：x2﹣8x=1，
配方得：x2﹣8x+16=17，即(x﹣4)2=17，
故選C
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
3.下列幾何圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是( )
A.等腰三角形 B.正三角形 C.平行四邊形 D.正方形
【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故錯誤;
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故錯誤;
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.故錯誤;
D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.故正確.
故選D.
【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
4.已知⊙O的半徑為5，直線l是⊙O的切線，則點O到直線l的距離是( )
A.2.5 B.3 C.5 D.10
【考點】切線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可直接得到點O到直線l的距離是5.
【解答】解：∵直線l與半徑為r的⊙O相切，
∴點O到直線l的距離等于圓的半徑，
即點O到直線l的距離為5.
故選C.
【點評】本題考查了切線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交⇔d
5.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠OBC=42°，則∠A的度數(shù)為( )
A.84° B.96° C.116° D.132°
【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);圓周角定理.
【分析】連接OC，在優(yōu)弧 上取點D，連接BD、CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC，根據(jù)圓周角定理求出∠BDC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算即可.
【解答】解：連接OC，在優(yōu)弧 上取點D，連接BD、CD，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=42°，
∴∠BOC=96°，
∴∠BDC= ∠BOC=48°，
∴∠A=180°﹣∠BDC=132°，
故選：D.
【點評】本題考查的是圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵.
6.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，則EC的長為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得 ，代入計算即可解答.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故選：B.
【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.
7.如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是( )
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C. = D. =
【考點】相似三角形的判定.
【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可.
【解答】解：A、當(dāng)∠ABP=∠C時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤;
B、當(dāng)∠APB=∠ABC時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤;
C、當(dāng) = 時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤;
D、無法得到△ABP∽△ACB，故此選項正確.
故選：D.
【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵.
8.一只不透明的袋子中裝有4個黑球、2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出3個球，下列事件為必然事件的是( )
A.至少有1個球是黑球 B.至少有1個球是白球
C.至少有2個球是黑球 D.至少有2個球是白球
【考點】隨機事件.
【分析】由于只有2個白球，則從中任意摸出3個球中至少有1個球是黑球，于是根據(jù)必然事件的定義可判斷A選項正確.
【解答】解：一只不透明的袋子中裝有4個黑球、2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出3個球，至少有1個球是黑球是必然事件;至少有1個球是白球、至少有2個球是黑球和至少有2個球是白球都是隨機事件.
故選A.
【點評】本題考查了隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件.事件分為確定事件和不確定事件(隨機事件)，確定事件又分為必然事件和不可能事件，
9.若點A(3，﹣4)、B(﹣2，m)在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則m的值為( )
A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣12
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】反比例函數(shù)的解析式為y= ，把A(3，﹣4)代入求出k=﹣12，得出解析式，把B的坐標代入解析式即可.
【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ，
把A(3，﹣4)代入得：k=﹣12，
即y=﹣ ，
把B(﹣2，m)代入得：m=﹣ =6，
故選A.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)的解析式，難度適中.
10.如圖，已知關(guān)于x的函數(shù)y=k(x﹣1)和y= (k≠0)，它們在同一坐標系內(nèi)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限判斷出k的符號;然后由k的符號判定一次函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限，圖象一致的選項即為正確選項.
【解答】解：A、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過第一、三象限，則k>0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸交于負半軸.故本選項錯誤;
B、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過第二、四象限，則k<0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經(jīng)過第二、四象限，且與y軸交于正半軸.故本選項正確;
C、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過第一、三象限，則k>0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸交于負半軸.故本選項錯誤;
D、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過第二、四象限，則k<0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸交于正半軸.故本選項錯誤;
故選：B.
【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象特點：
?、俜幢壤瘮?shù)y= 的圖象是雙曲線;
?、诋?dāng)k>0時，它的兩個分支分別位于第一、三象限;
?、郛?dāng)k<0時，它的兩個分支分別位于第二、四象限.
11.若拋物線y=(x﹣m)2+(m﹣1)的頂點在第四象限，則m的取值范圍( )
A.0
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)頂點式得出點的坐標，再由第四象限點的符號得出m的取值范圍.
【解答】解：∵拋物線y=(x﹣m)2+(m﹣1)的頂點(m，m﹣1)在第四象限，
∴ ，
解得0
故選A.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及求拋物線的頂點坐標的方法，掌握每個象限內(nèi)點的符號是解題的關(guān)鍵.
12.對于二次函數(shù)y=﹣x2+4x，有下列四個結(jié)論：①它的對稱軸是直線x=2;②設(shè)y1=﹣x12+4x1，y2=﹣x22+4x2，則當(dāng)x2>x1時，有y2>y1;③它的圖象與x軸的兩個交點是(0，0)和(4，0);④當(dāng)0
其中正確的結(jié)論的個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】利用配方法求出二次函數(shù)對稱軸，再求出圖象與x軸交點坐標，進而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得出答案.
【解答】解：y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4，故①它的對稱軸是直線x=2，正確;
?、凇咧本€x=2兩旁部分增減性不一樣，∴設(shè)y1=﹣x12+4x1，y2=﹣x22+4x2，則當(dāng)x2>x1時，有y2>y1或y2
③當(dāng)y=0，則x(﹣x+4)=0，解得：x1=0，x2=4，
故它的圖象與x軸的兩個交點是(0，0)和(4，0)，正確;
?、堋遖=﹣1<0，
∴拋物線開口向下，
∵它的圖象與x軸的兩個交點是(0，0)和(4，0)，
∴當(dāng)0
故選：C.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的解法，得出拋物線的對稱軸和其交點坐標是解題關(guān)鍵.
二、填空題(本題有6個小題，每小題3分，計15)
13.方程x2=5的解是 x=± .
【考點】解一元二次方程-直接開平方法.
【分析】利用直接開平方法求解即可.
【解答】解：x2=5，
直接開平方得，x=± ，
故答案為x=± .
【點評】本題考查了用直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a(a≥0)的形式，利用數(shù)的開方直接求解.
(1)用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a(a≥0);ax2=b(a，b同號且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a，c同號且a≠0).法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”.
(2)用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點.
14.二次函數(shù)y=﹣x2+2x+7的最大值為 8 .
【考點】二次函數(shù)的最值.
【專題】計算題.
【分析】先利用配方法把一般式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
【解答】解：原式=﹣x2+2x+7
=﹣(x﹣1)2+8，
因為拋物線開口向下，
所以當(dāng)x=1時，y有最大值8.
故答案為8.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值：二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)a>0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少;在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=﹣ 時，y= ;(2)當(dāng)a<0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大;在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=﹣ 時，y= .
15.某十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當(dāng)你抬頭看信號燈時，是綠燈的概率為 .
【考點】概率公式.
【分析】隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，據(jù)此用黃燈亮的時間除以三種燈亮的總時間，求出抬頭看信號燈時，是綠燈的概率為多少即可.
【解答】解：抬頭看信號燈時，是綠燈的概率為 .
故答案為： .
【點評】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：(1)隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).(2)P(必然事件)=1.(3)P(不可能事件)=0.
16.如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，半徑OA=2，∠COD=120°，則圖中陰影部分的面積等于 π .
【考點】扇形面積的計算.
【分析】圖中陰影部分的面積=半圓的面積﹣圓心角是120°的扇形的面積，根據(jù)扇形面積的計算公式計算即可求解.
【解答】解：圖中陰影部分的面積= π×22﹣
=2π﹣ π
= π.
答：圖中陰影部分的面積等于 π.
故答案為： π.
【點評】本題考查了扇形面積的計算，求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.
17.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設(shè)點P(1，t)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP.若反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點Q，則k= 2+2 或2﹣2 .
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征;勾股定理.
【專題】分類討論.
【分析】把P點代入y= 求得P的坐標，進而求得OP的長，即可求得Q的坐標，從而求得k的值.
【解答】解：∵點P(1，t)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴t= =2，
∴P(1.2)，
∴OP= = ，
∵過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP.
∴Q(1+ ，2)或(1﹣ ，2)
∵反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點Q，
∴2= 或2= ，解得k=2+2 或2﹣2
故答案為2+2 或2﹣2 .
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理的應(yīng)用，求得Q點的坐標是解題的關(guān)鍵.
三、解答題：共69分.
18.已知：關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0.
(1)不解方程：判斷方程根的情況;
(2)若方程有一個根為﹣3，求m的值.
【考點】根的判別式;一元二次方程的解.
【分析】(1)首先找出方程中a=1，b=﹣2m，c=m2﹣1，然后求△=b2﹣4ac的值即可;
(2)把x=﹣3代入方程中列出m的一元二次方程并求出m的值即可.
【解答】解：(1)∵關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0，
∴a=1，b=﹣2m，c=m2﹣1，
∴△=b2﹣4ac=(﹣2m)2﹣4×1×(m2﹣1)=4>0，
∴方程x2﹣2mx+m2﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)∵方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的一根為﹣3，
∴9+6m+m2﹣1=0，即m2+6m+8=0，
∴m=﹣4或﹣2.
【點評】本題主要考查了根的判別式以及一元二次方程解的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式的意義以及因式分解法解方程的知識.
19.某種植物的主干長出若干個數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是111，每個支干長出的小分支是多少?
【考點】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】由題意設(shè)每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個，每個小分支又長出x個分支，則又長出x2個分支，則共有x2+x+1個分支，即可列方程求得x的值.
【解答】解：設(shè)主干長出x個支干，由題意得
1+x+x•x=111，
即x2+x﹣110=0，
解得：x1=10，x2=﹣11(舍去)
答：每個支干長出的小分支是10.
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題時，要根據(jù)題意分別表示主干、支干、小分支的數(shù)目，列方程求解，注意能夠熟練運用因式分解法解方程.
20.如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°.
(1)判斷△ABC的形狀： △ABC是等邊三角形 ;
(2)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
【考點】圓周角定理;全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀;
(2)在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得.
【解答】證明：(1)△ABC是等邊三角形.
證明如下：在⊙O中，
∵∠BAC與∠CPB是 對的圓周角，∠ABC與∠APC是 所對的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形;
故答案為：△ABC是等邊三角形;
(2)在PC上截取PD=AP，如圖1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC(AAS)，
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP.
【點評】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明△APB≌△ADC是關(guān)鍵.
21.一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為 .
(1)布袋里紅球有多少個?
(2)先從布袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，請用列表或樹狀圖燈方法求出兩次摸到的球是1個紅球和1個白球的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【專題】計算題.
【分析】(1)設(shè)紅球的個數(shù)為x個，根據(jù)概率公式得到 = ，然后解方程即可;
(2)先畫樹狀圖展示所有12種等可能結(jié)果，再找出兩次摸到的球是1個紅球1個白球的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算.
【解答】解：(1)設(shè)紅球的個數(shù)為x個，
根據(jù)題意得 = ，
解得x=1(檢驗合適)，
所以布袋里紅球有1個;
(2)畫樹狀圖如下：
共有12種等可能結(jié)果，其中兩次摸到的球是1個紅球1個白球的結(jié)果數(shù)為4種，
所以兩次摸到的球都是白球的概率= = .
【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.
22.已知反比例函數(shù)y= 的圖象的一支位于第一象限.
(1)判斷該函數(shù)圖象的另一支所在的象限，并求m的取值范圍;
(2)如圖，O為坐標原點，點A在該反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，點B與點A關(guān)于x軸對稱，若△OAB的面積為10，求m的值.
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì);反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征;關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標.
【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.當(dāng)k>0時，則圖象在一、三象限，且雙曲線是關(guān)于原點對稱的;
(2)由對稱性得到△OAC的面積為5.設(shè)A(x、 )，則利用三角形的面積公式得到關(guān)于m的方程，借助于方程來求m的值.
【解答】解：(1)根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱知，該函數(shù)圖象的另一支在第三象限，且m﹣3>0，則m>3;
(2)∵點B與點A關(guān)于x軸對稱，若△OAB的面積為10，
∴△OAC的面積為5.
設(shè)A(x， )，
則 x• =5，
解得：m=13.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、圖象，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點.根據(jù)題意得到△OAC的面積是解題的關(guān)鍵.
23.四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE=BF，連接AE、AF、EF.
(1)求證：△ADE≌△ABF;
(2)填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A 點，按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90 度得到;
(3)若BC=8，DE=6，求△AEF的面積.
【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF;
(2)由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，則∠BAF+∠BAE=90°，即∠FAE=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90 度得到;
(3)先利用勾股定理可計算出AE=10，再根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計算即可.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是CB的延長線上的點，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF(SAS);
(2)解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE，
而∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠BAF+∠EAB=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90 度得到;
故答案為A、90;
(3)解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE= =10，
∵△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面積= AE2= ×100=50(平方單位).
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等;對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.
24.某服裝店銷售一種內(nèi)衣，每件進價為40元.經(jīng)過市場調(diào)查，一周的銷售量y件與銷售單價x元/件的關(guān)系如表：
銷售單價x(元/件) … 55 60 70 75 …
一周的銷售量y(件) … 450 400 300 250 …
(1)試求出y與x的之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)銷售單價的什么范圍內(nèi)變化時，一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大?
(3)服裝店決定將一周的銷售內(nèi)衣的利潤全部捐給福利院，在服裝店購進該內(nèi)衣的貸款不超過8000元情況下，請求出該服裝店最大捐款數(shù)額是多少元?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)y=kx+b，把點的坐標代入解析式，求出k、b的值，即可得出函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)利潤=(售價﹣進價)×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，繼而確定銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大的銷售單價的范圍;
(3)根據(jù)購進該商品的貸款不超過8000元，求出進貨量，然后求最大銷售額即可.
【解答】解：(1)設(shè)y=kx+b，
由題意得， ，
解得： ，
則函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣10x+1000，(x≥50)
(2)由題意得，S=(x﹣40)y=(x﹣40)(﹣10x+1000)
=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10(x﹣70)2+9000，
∵﹣10<0，
∴函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線x=70，
∴當(dāng)40
(3)∵購進該商品的貨款不超過8000元，
∴y的最大值為 =200(件).
由(1)知y隨x的增大而減小，
∴x的最小值為：x=80，
由(2)知 當(dāng)x≥70時，S隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=80時，銷售利潤最大，
此時S=8000，即該商家最大捐款數(shù)額是8000元.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實際問題.
25.如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經(jīng)過點M，交BC于點G，交 AB于點F.
(1)求證：AE為⊙O的切線.
(2)當(dāng)BC=8，AC=12時，求⊙O的半徑.
(3)在(2)的條件下，求線段BG的長.
【考點】圓的綜合題.
【專題】證明題.
【分析】(1)連接OM.利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行線的性質(zhì)得到 = ，即可解得R=3，從而求得⊙O的半徑為3;
(3)過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，根據(jù)∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結(jié)論BG=2BH=2.
【解答】(1)證明：連接OM.
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE= BC=4，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O的半徑為R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴ = 即 = ，
解得R=3，
∴⊙O的半徑為3;
(3)過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，
∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，
∴四邊形OMEH是矩形，
∴HE=OM=3，
∴BH=1，
∴BG=2BH=2.
【點評】本題考查了圓的綜合知識，題目中還運用到了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度較大.
26.在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在AC上方的拋物線上有一動點P.
?、偃鐖D1，當(dāng)點P運動到某位置時，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點P的坐標;
?、谌鐖D2，過點O，P的直線y=kx交AC于點E，若PE：OE=3：8，求k的值.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)由直線的解析式y(tǒng)=x+4易求點A和點C的坐標，把A和C的坐標分別代入y=﹣ x2+bx+c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式;
(2)①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據(jù)拋物線的對稱軸可求出點P的橫坐標，由(1)中的拋物線解析式，進而可求出其縱坐標，問題得解;
?、谶^P點作PF∥OC交AC于點F，因為PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出PF的長，進而可設(shè)點點F(x，x+4)，利用 ，可求出x的值，解方程求出x的值可得點P的坐標，代入直線y=kx即可求出k的值.
【解答】解：(1)∵直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點，
∴A點坐標是(﹣4，0)，點C坐標是(0，4)，
又∵拋物線過A，C兩點，
∴ ，解得： ，
∴拋物線的解析式為 .
(2)①如圖1
∵ ，
∴拋物線的對稱軸是直線x=﹣1.
∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，
∴PQ∥AO，PQ=AO=4.
∵P，Q都在拋物線上，
∴P，Q關(guān)于直線x=﹣1對稱，
∴P點的橫坐標是﹣3，
∴當(dāng)x=﹣3時， ，
∴P點的坐標是 ;
②過P點作PF∥OC交AC于點F，
∵PF∥OC，
∴△PEF∽△OEC，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
設(shè)點F(x，x+4)，
∴ ，
化簡得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3.
當(dāng)x=﹣1時， ;當(dāng)x=﹣3時， ，
即P點坐標是 或 .
又∵點P在直線y=kx上，
∴ .
【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，題目綜合性較強，難度不大，是一道很好的中考題.
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