九年級數(shù)學(xué)上期末試題(2)
九年級數(shù)學(xué)上期末試題
九年級數(shù)學(xué)上期末試題參考答案
一、選擇題(每小題3分，滿分27分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的)
1.﹣2的絕對值等于( )
A.2 B.﹣2 C. D.±2
【考點(diǎn)】絕對值.
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它本身a;即可解答.
【解答】解：根據(jù)絕對值的性質(zhì)，
|﹣2|=2.
故選A.
2.下列交通標(biāo)志圖案是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐個(gè)判斷即可.
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確;
C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選B.
3.如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、45°，如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是( )
A.200米 B.200 米 C.220 米 D.100( )米
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】圖中兩個(gè)直角三角形中，都是知道已知角和對邊，根據(jù)正切函數(shù)求出鄰邊后，相加求和即可.
【解答】解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，
∵CD⊥AB于點(diǎn)D.
∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA= ，
∴AD= = =100
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°
∴DB=CD=100米，
∴AB=AD+DB=100 +100=100( +1)米.
故選D.
4.下列運(yùn)算正確的是( )
A.3a+2a=5a2 B.x2﹣4=(x+2)(x﹣2) C.(x+1)2=x2+1 D.(2a)3=6a3
【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方;合并同類項(xiàng);完全平方公式.
【分析】A選項(xiàng)利用合并同類項(xiàng)得到結(jié)果，即可做出判斷;B選項(xiàng)利用平方差公式計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷;C選項(xiàng)利用完全平方公式計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷;D選項(xiàng)利用積的乘方與冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷.
【解答】解：A、3a+2a=5a，故原題計(jì)算錯(cuò)誤;
B、x2﹣4=(x+2)(x﹣2)，故原題分解正確;
C、(x+1)2=x2+2x+1，故原題計(jì)算錯(cuò)誤;
D、(2a)3=8a3，故原題計(jì)算錯(cuò)誤.
故選B.
5.已知圓錐的底面周長為58cm，母線長為30cm，求得圓錐的側(cè)面積為( )
A.870cm2 B.908cm2 C.1125cm2 D.1740cm2
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2.
【解答】解：圓錐的側(cè)面積= ×58×30=870cm2，故選A.
6.已知三角形的三邊分別為4，a，8，那么該三角形的周長c的取值范圍是( )
A.4
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可求得a的范圍，進(jìn)一步可求得周長的范圍.
【解答】解：∵三角形的三邊分別為4，a，8，
∴8﹣4
∴4+4+8<4+a+8<4+8+12，即16
故選D.
7.反比例函數(shù)y= 的圖象，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是( )
A.k<3 B.k≤3 C.k>3 D.k≥3
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解題.
【解答】解：∵當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴函數(shù)圖象必在第四象限，
∴k﹣3<0，
∴k<3.
故選A.
8.下列命題中正確的是( )
?、偃厡?yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似
?、诙厡?yīng)成比例且一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似
③一個(gè)銳角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似
?、芤粋€(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似.
A.①③ B.①④ C.①②④ D.①③④
【考點(diǎn)】命題與定理;相似三角形的判定.
【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法分別對命題進(jìn)行判斷.
【解答】解：三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，所以①正確;
二邊對應(yīng)成比例且它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，所以②錯(cuò)誤;
一個(gè)銳角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似，所以③正確;
頂角或底角對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似，所以④錯(cuò)誤.
故選A.
9.函數(shù)y=ax2+1與函數(shù)y= (a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的圖象.
【分析】分a>0和a<0兩種情況討論二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象所在的象限，然后選擇答案即可.
【解答】解：a>0時(shí)，y=ax2+1開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，
y= 位于第一、三象限，沒有選項(xiàng)圖象符合，
a<0時(shí)，y=ax2+1開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，
y= 位于第二、四象限，D選項(xiàng)圖象符合.
故選：D.
二、填空題(每小題3分，共18分)
10.要使式子 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 x≥2 .
【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.
【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得答案.
【解答】解：由題意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案為：x≥2.
11.月球是距離地球最近的天體，它與地球的平均距離約為384400千米.將384400用科學(xué)記數(shù)法可表示為 3.844×105 .
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時(shí)，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù).
【解答】解：將384400用科學(xué)記數(shù)法表示為3.844×105.
故答案為：3.844×105.
12.分解因式：ab2﹣4a= a(b﹣2)(b+2) .
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】先提取公因式a，再對余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解.
【解答】解：ab2﹣4a
=a(b2﹣4)
=a(b﹣2)(b+2).
故答案為：a(b﹣2)(b+2).
13.若x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的兩根，則x1+x2= ﹣2 .
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣ 直接代入計(jì)算即可.
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的兩根，
∴x1+x2=﹣2;
故答案為：﹣2.
14.某文具店二月份銷售各種水筆320支，三月份銷售各種水筆的支數(shù)比二月份增長了10%，那么該文具店三月份銷售各種水筆 352 支.
【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算.
【分析】三月份銷售各種水筆的支數(shù)比二月份增長了10%，是把二月份銷售的數(shù)量看作單位“1”，增加的量是二月份的10%，即三月份生產(chǎn)的是二月份的(1+10%)，由此得出答案.
【解答】解：320×(1+10%)
=320×1.1
=352(支).
答：該文具店三月份銷售各種水筆352支.
故答案為：352.
15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是M(﹣4，﹣1)、N(0，1)，將線段MN平移后得到線段M′N′(點(diǎn)M、N分別平移到點(diǎn)M′、N′的位置)，若點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(﹣2，2)，則點(diǎn)N′的坐標(biāo)為 (2，4) .
【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-平移.
【分析】比較M(﹣4，﹣1)與M′(﹣2，2)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，可知平移后橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)加3，由于點(diǎn)M、N平移規(guī)律相同，坐標(biāo)變化也相同，即可得N′的坐標(biāo).
【解答】解：由于圖形平移過程中，對應(yīng)點(diǎn)的平移規(guī)律相同，
由點(diǎn)M到點(diǎn)M′可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)加3，
故點(diǎn)N′的坐標(biāo)為(0+2，1+3)，即(2，4).
故答案填：(2，4).
三、解答題(本題共10題，共75分)
16.計(jì)算：2tan60°﹣|1﹣ |+0﹣( )﹣1.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】本題涉及零指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等考點(diǎn).針對每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果.
【解答】解：原式=2× ﹣( ﹣1)+1﹣2
=2 ﹣ +1+1﹣2
= .
17.先化簡，再求值： ，其中x滿足x2﹣2x﹣3=0.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值.
【分析】首先運(yùn)用乘法分配律將所求的代數(shù)式去括號，然后再合并化簡，最后代值求解即可.
【解答】解：原式=
=
=x2﹣3﹣2x+2
=x2﹣2x﹣1
由x2﹣2x﹣3=0，得x2﹣2x=3
∴原式=3﹣1=2.
18.如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度數(shù).
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)同一個(gè)三角形中等邊對等角的性質(zhì)，設(shè)∠ABD=x，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，則可用x的代數(shù)式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和為180°，可求∠A的度數(shù).
【解答】解：∵DE=EB
∴設(shè)∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°，
∴∠A=2x=22.5°×2=45°.
19.如圖，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6， ，∠A=30°
(1)求AD和BC;
(2)求sin∠C.
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【分析】(1)在Rt△ABD中，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BD= AB=3，AD= BD=3 ;
(2)先求出CD=AC﹣AD=2 ，然后在Rt△CBD中，利用勾股定理求出BC= = ，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出sin∠C的值.
【解答】解：(1)在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=6，∠A=30°，
∴BD= AB=3，AD= BD=3 ;
(2)∵ ，AD=3 ，
∴CD=AC﹣AD=2 .
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，BD=3，CD=2 ，
∴BC= = ，
∴sin∠C= = = .
20.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E.
(1)若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù);
(2)若AB=4，AC=3，求DE的長.
【考點(diǎn)】圓周角定理;平行線的性質(zhì);三角形中位線定理.
【分析】(1)根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，則∠CAB的度數(shù)即可求得，在等腰△AOD中，根據(jù)等邊對等角求得∠DAO的度數(shù)，則∠CAD即可求得;
(2)易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求得.
【解答】解：(1)∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°.
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO= = =55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°;
(2)在直角△ABC中，BC= = = .
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE= BC= .
又∵OD= AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣ .
21.中考體育測試滿分為40分，某校九年級進(jìn)行了中考體育模擬測試，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的考試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并把分析結(jié)果繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖.試根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的數(shù)據(jù)，回答下列問題：
(1)抽取的樣本中，成績?yōu)?9分的人數(shù)有 14 人;
(2)抽取的樣本中，考試成績的中位數(shù)是 39 分，眾數(shù)是 40 分;
(3)若該校九年級共有500名學(xué)生，試根據(jù)這次模擬測試成績估計(jì)該校九年級將有多少名學(xué)生能得到滿分?
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖;用樣本估計(jì)總體;扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)先通過38分的人數(shù)和所占的百分比求出樣本總數(shù)，再減去其他得分人數(shù)，即可得到成績?yōu)?9分的人數(shù);
(2)數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，最中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))即為中位數(shù)，眾數(shù)指數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù);
(3)用九年級學(xué)生數(shù)乘以這次模擬測試成績滿分所占百分比即可.
【解答】解：(1)樣本總數(shù)為10÷20%=50，成績?yōu)?9分的人數(shù)=50﹣20﹣10﹣4﹣2=14(人);
(2)數(shù)據(jù)總數(shù)為50，中位數(shù)為第25、26位數(shù)的平均數(shù)，所以中位數(shù)為(39+39)÷2=39，
數(shù)據(jù)40出現(xiàn)了20次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所經(jīng)眾數(shù)是40;
(3)滿分所占百分比為20÷50=40%
∴該校九年級能得到滿分人數(shù)為500×40%=200(人).
所以估計(jì)這次模擬測試成績該校九年級有200名學(xué)生能得到滿分.
22.如圖，在活動課上，小明和小紅合作用一副三角板來測量學(xué)校旗桿高度.已知小明的眼睛與地面的距離(AB)是1.7m，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使得三角板的一條直角邊保持水平，且斜邊與旗桿頂端M在同一條直線上，測得旗桿頂端M仰角為45°;小紅眼睛與地面的距離(CD)是1.5m，用同樣的方法測得旗桿頂端M的仰角為30°.兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)(點(diǎn)B、N、D在同一條直線上).求出旗桿MN的高度.(參考數(shù)據(jù)： ， ，結(jié)果保留整數(shù).)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】過點(diǎn)A作AE⊥MN于E，過點(diǎn)C作CF⊥MN于F，則EF=0.2m.由△AEM是等腰直角三角形得出AE=ME，設(shè)AE=ME=xm，則MF=(x+0.2)m，F(xiàn)C=(28﹣x)m.在Rt△MFC中，由tan∠MCF= ，得出 = ，解方程求出x的值，則MN=ME+EN.
【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥MN于E，過點(diǎn)C作CF⊥MN于F，
則EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2(m)，
在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，
∴AE=ME.
設(shè)AE=ME=xm，則MF=(x+0.2)m，F(xiàn)C=(28﹣x)m.
在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，
∴MF=CF•tan∠MCF，
∴x+0.2= (28﹣x)，
解得x≈9.7，
∴MN=ME+EN=9.7+1.7≈11米.
答：旗桿MN的高度約為11米.
23.如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F，連接CE.
(1)求證：∠DAE=∠DCE;
(2)當(dāng)AE=2EF時(shí)，判斷FG與EF有何等量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)四邊形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可證明;
(2)根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因?yàn)椤鰽BE≌△CBE AE=2EF，就能得出FG=3EF.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB;
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE.
(2)解：判斷FG=3EF.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
由題意知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
則∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴ ，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∵AE=2EF，
∴ = ，
∴EG=2AE=4EF，
∴FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF.
24.已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E.
(1)求證：DE是⊙O的切線;
(2)若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑.
【考點(diǎn)】切線的判定;平行線的判定與性質(zhì);圓周角定理;相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)連接OD，根據(jù)平行線的判斷方法與性質(zhì)可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切線.
(2)由直角三角形的特殊性質(zhì)，可得AD的長，又有△ACD∽△ADE.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑.
【解答】(1)證明：連接OD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE.
∴DO∥MN.
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°.
即OD⊥DE.
∵D在⊙O上，OD為⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線.
(2)解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴ .
連接CD.
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠AED=90°.
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE.
∴ .
∴ .
則AC=15(cm).
∴⊙O的半徑是7.5cm.
25.如圖，拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)、B(﹣1，0)，請解答下列問題：
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的另一交點(diǎn)為C，對稱軸交x軸于點(diǎn)E，連接BD，求cos∠DBE;
(3)在直線BD上是否存在點(diǎn)F，使由B、C、F三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△BDE相似?若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得解析式;
(2)先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出BE、DE、BD長度，cos∠DBE則可直接算出;
(3)由于B是公共點(diǎn)，不可能是直角頂點(diǎn)，所以就只剩下兩種情，即讓C和F分別為直角頂點(diǎn)，根據(jù)相似性質(zhì)，列出比例等式計(jì)算即可.
【解答】解：(1)將A(0，3)、B(﹣1，0)代入y=ax2+2x+c可得：
c=3，a=﹣1，
拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴D(1，4)，
∴BE=2，DE=4，
∴BD= =2 ，
∴cos∠DBE= = ;
(3)∵B(﹣1，0)，D(1，4)，
∴直線BD的解析式為y=2x+2，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣3)(x+1)，
∴C(3，0)，
∴BC=4，
?、偃簟鰾ED∽△BFC，如圖1，
則∠BED=∠BFC=90°，
作FG⊥BC于G，
∵cos∠CBF= ，
∴BF= ，
∴BG= = ，
∴OG= ，GF= ，
∴F(﹣ ， );
②若△BED∽△BCF，如圖2，
則∠BCF=90°，
∴F點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，
將3代入BD解析式得：y=8，
∴F(3，8);
綜上所述，滿足要求的F點(diǎn)的坐標(biāo)為：(﹣ ， )、(3，8).
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