九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末考試題(2)
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末考試題
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末考試題參考答案
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.方程x2﹣4=0的解是( )
A.x=±2 B.x=±4 C.x=2 D.x=﹣2
【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開平方法.
【分析】直接開平方法求解可得.
【解答】解：∵x2﹣4=0，
∴x2=4，
∴x=±2，
故選：A.
2.反比例函數(shù)y= 的圖象位于( )
A.第一、三象限 B.第三、四象限 C.第一、二象限 D.第二、四象限
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】直接根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵反比例函數(shù)y= 中，k=﹣4<0，
∴此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二四象限.
故選D.
3.如圖是由6個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體，那么這個(gè)幾何體的俯視圖是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.
【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形判定則可.
【解答】解：從上面可看到第一橫行左下角有一個(gè)正方形，
第二橫行有3個(gè)正方形，
第三橫行中間有一個(gè)正方形.
故選C.
4.準(zhǔn)備兩組相同的牌，每組兩張且大小相同，兩張牌的牌面數(shù)字分別是0，1，從每組牌中各摸出一張牌，兩張牌的牌面數(shù)字和為1的概率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【分析】根據(jù)題意列出表格，得到所有的可能情況，找到兩張牌的牌面數(shù)字和為1的情況個(gè)數(shù)，即可求出所求的概率.
【解答】解：根據(jù)題意列得：
1 0
1 2 1
0 1 0
所有的情況有4種，其中兩張牌的牌面數(shù)字和為1的有2種，
所以兩張牌的牌面數(shù)字和為1的概率= = ，
故選C.
5.矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示大致為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;反比例函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)矩形的面積得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)x的范圍以及函數(shù)類型即可作出判斷.
【解答】解：矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y= (x>0).
是反比例函數(shù)，且圖象只在第一象限.
故選C.
6.某種型號(hào)的電視機(jī)經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，每臺(tái)售價(jià)由原來(lái)的1500元，降到了980元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下列方程中正確的是( )
A.1500(1﹣x)2=980 B.1500(1+x)2=980 C.980(1﹣x)2=1500 D.980(1+x)2=1500
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.
【分析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意可得，原價(jià)×(1﹣降價(jià)百分率)2=現(xiàn)價(jià)，據(jù)此列方程即可.
【解答】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，
由題意得，1500(1﹣x)2=980.
故選A.
7.當(dāng)k>0時(shí)，反比例函數(shù)y= 和一次函數(shù)y=kx+2的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)k>0，判斷出反比例函數(shù)y= 經(jīng)過(guò)一三象限，一次函數(shù)y=kx+2經(jīng)過(guò)一二三象限，結(jié)合選項(xiàng)所給圖象判斷即可.
【解答】解：∵k>0，
∴反比例函數(shù)y= 經(jīng)過(guò)一三象限，一次函數(shù)y=kx+2經(jīng)過(guò)一二三象限.
故選C.
8.已知關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+3x+k2﹣1=0有一根為0，則k=( )
A.1 B.﹣1 C.±1 D.0
【考點(diǎn)】一元二次方程的解;一元二次方程的定義.
【分析】一元二次方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立;將x=0代入原方程即可求得k的值.
【解答】解：把x=0代入一元二次方程(k﹣1)x2+3x+k2﹣1=0，
得k2﹣1=0，
解得k=﹣1或1;
又k﹣1≠0，
即k≠1;
所以k=﹣1.
故選B.
9.如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;③ .其中正確的有( )
A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)
【考點(diǎn)】三角形中位線定理;相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】若D、E是AB、AC的中點(diǎn)，則DE是△ABC的中位線，可根據(jù)三角形中位線定理得出的等量條件進(jìn)行判斷.
【解答】解：∵D、E是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線;
∴DE∥BC，BC=2DE;(故①正確)
∴△ADE∽△ABC;(故②正確)
∴ ，即 ;(故③正確)
因此本題的三個(gè)結(jié)論都正確，故選A.
10.如圖，在正方形ABCD中，E位DC邊上的點(diǎn)，連結(jié)BE，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△DCF，連結(jié)EF，若∠BEC=60°，則∠EFD的度數(shù)為( )
A.15° B.10° C.20° D.25°
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【分析】由旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)角相等可知，∠DFC=∠BEC=60°;一個(gè)特殊三角形△ECF為等腰直角三角形，可知∠EFC=45°，把這兩個(gè)角作差即可.
【解答】解：∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△DCF，
∴CE=CF，∠DFC=∠BEC=60°，∠EFC=45°，
∴∠EFD=60°﹣45°=15°.
故選：A.
二、填空題(每題4分，共40分)
11.隨機(jī)擲一枚均勻的正方體骰子，骰子停止后朝上的點(diǎn)數(shù)小于3的概率是 .
【考點(diǎn)】概率公式.
【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：
?、偃壳闆r的總數(shù);
?、诜蠗l件的情況數(shù)目;二者的比值就是其發(fā)生的概率.
【解答】解：∵隨機(jī)擲一枚均勻的正方體骰子，骰子停止后朝上的點(diǎn)數(shù)有1，2，3，4，5，6共6種，
其中只有1和2小于3，
∴所求的概率為 = .
故答案為： .
12.已知兩個(gè)相似的三角形的面積之比是16：9，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之比是 4：3 .
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出相似比，根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比解答即可.
【解答】解：∵兩個(gè)相似的三角形的面積之比是16：9，
∴兩個(gè)相似的三角形的相似比是4：3，
∴兩個(gè)相似的三角形的周長(zhǎng)比是4：3，
故答案為：4：3.
13.菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，則此菱形的周長(zhǎng)為 20 ，面積為 24 .
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【分析】由菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線積的一半，可求得菱形的面積，由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，繼而求得周長(zhǎng).
【解答】解：如圖，AC=6，BD=8，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA= AC=3，OB= BD=4，
∴AB= =5，
∴菱形的周長(zhǎng)是：4AB=4×5=20，面積是： AC•BD= ×6×8=24.
故答案為：20，24.
14.在反比例函數(shù) 的圖象的每一條曲線上，y隨著x的增大而增大，則k的取值范圍是 k<1 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到k﹣1<0，然后解不等式即可.
【解答】解：∵反比例函數(shù) 的圖象的每一條曲線上，y隨著x的增大而增大，
∴k﹣1<0，
∴k<1.
故答案為k<1.
15.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，若AD：DB=1：3，AE=3，則AC= 12 .
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可以求得AC的長(zhǎng).
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∵AD：DB=1：3，AE=3，
∴EC=9，
∴AC=AE+EC=3+9=12，
故答案為：12
16.已知關(guān)于x的方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為 k≤2且k≠1 .
【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和△的意義得到k﹣1≠0，即k≠1，且△≥0，即(﹣2)2﹣4(k﹣1)≥0，然后求出這兩個(gè)不等式解的公共部分即為k的取值范圍.
【解答】解：∵關(guān)于x的方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴k﹣1≠0，即k≠1，且△≥0，即(﹣2)2﹣4(k﹣1)≥0，
解得k≤2，
∴k的取值范圍為k≤2且k≠1.
故答案為：k≤2且k≠1.
17.如圖，在△ABC中，添加一個(gè)條件： ∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP•AC ，使△ABP∽△ACB.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】相似三角形的判定，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，題中∠A為公共角，再有一對(duì)應(yīng)角相等即可.
【解答】解：在△ABP和△ACB中，
∵∠A=∠A，
∴當(dāng)∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或 = 即AB2=AP•AC時(shí)，
△ABP∽△ACB，
故答案為：∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP•AC.
18.如圖，點(diǎn)M是反比例函數(shù)y= (a≠0)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作x軸、y軸的平行線，若S陰影=5，則此反比例函數(shù)解析式為 y=﹣ .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得|a|=5，再根據(jù)圖象在二、四象限可確定a=﹣5，進(jìn)而得到解析式.
【解答】解：∵S陰影=5，
∴|a|=5，
∵圖象在二、四象限，
∴a<0，
∴a=﹣5，
∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ ，
故答案為：y=﹣ .
19.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD和BC于點(diǎn)E、F，AB=2，BC=3，則圖中陰影部分的面積為 3 .
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)矩形是中心對(duì)稱圖形尋找思路：△AOE≌△COF，圖中陰影部分的面積就是△BCD的面積.
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，∠AEO=∠CFO;
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∴圖中陰影部分的面積就是△BCD的面積.
S△BCD= BC×CD= ×2×3=3.
故答案為：3.
20.觀察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103= 552 .
【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類.
【分析】13=12
13+23=(1+2)2=32
13+23+33=(1+2+3)2=62
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102
13+23+33+…+103=(1+2+3…+10)2=552.
【解答】解：根據(jù)數(shù)據(jù)可分析出規(guī)律為從1開始，連續(xù)n個(gè)數(shù)的立方和=(1+2+…+n)2
所以13+23+33+…+103=(1+2+3…+10)2=552.
三、解答題(本大題8小題，共80分)
21.解方程：
(1)x(x﹣2)=3(x﹣2)
(2)3x2﹣2x﹣1=0.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】(1)先移項(xiàng)得到x(x﹣2)﹣3(x﹣2)=0，然后利用因式分解法解方程;
(2)利用因式分解法解方程.
【解答】解：(1)x(x﹣2)﹣3(x﹣2)=0，
(x﹣2)(x﹣3)=0，
x﹣2=0或x﹣3=0，
所以x1=2，x2=3;
(2)(3x﹣1)(x+1)=0，
3x﹣1=0或x+1=0，
所以x1= ，x2=﹣1.
22.已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時(shí)刻AB在陽(yáng)光下的投影BC=3m.
(1)請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí)DE在陽(yáng)光下的投影;
(2)在測(cè)量AB的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為6m，請(qǐng)你計(jì)算DE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】平行投影;相似三角形的性質(zhì);相似三角形的判定.
【分析】(1)根據(jù)投影的定義，作出投影即可;
(2)根據(jù)在同一時(shí)刻，不同物體的物高和影長(zhǎng)成比例;構(gòu)造比例關(guān)系 .計(jì)算可得DE=10(m).
【解答】解：(1)連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交直線BC于點(diǎn)F，線段EF即為DE的投影.
(2)∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE.
∵∠ABC=∠DEF=90°
∴△ABC∽△DEF.
∴ ，
∴
∴DE=10(m).
說(shuō)明：畫圖時(shí)，不要求學(xué)生做文字說(shuō)明，只要畫出兩條平行線AC和DF，再連接EF即可.
23.已知：如圖中，AD是∠A的角平分線，DE∥AC，DF∥AB.求證：四邊形AEDF是菱形.
【考點(diǎn)】菱形的判定.
【分析】由已知易得四邊形AEDF是平行四邊形，由角平分線和平行線的定義可得∠FAD=∠FDA，根據(jù)AF=DF得到四邊形AEDF是菱形.
【解答】證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF，
∴四邊形AEDF是菱形.
24.一個(gè)不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地完全相同的3只球，球上分別標(biāo)有2，3，5三個(gè)數(shù)字.
(1)從這個(gè)袋子中任意摸一只球，所標(biāo)數(shù)字是奇數(shù)的概率是 ;
(2)從這個(gè)袋子中任意摸一只球，記下所標(biāo)數(shù)字，不放回，再?gòu)膹倪@個(gè)袋子中任意摸一只球，記下所標(biāo)數(shù)字.將第一次記下的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二次記下的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù).求所組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率.(請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”的方法寫出過(guò)程)
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)直接根據(jù)概率公式解答即可;
(2)首先畫出樹狀圖，可以直觀的得到共有6種情況，其中是5的倍數(shù)的有兩種情況，進(jìn)而算出概率即可.
【解答】解：(1)任意摸一只球，所標(biāo)數(shù)字是奇數(shù)的概率是： ;
(2)如圖所示：共有6種情況，其中是5的倍數(shù)的有25，35兩種情況，
概率為： = .
25.某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售量，增加利潤(rùn)，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價(jià)1元，那么商場(chǎng)平均每天可多售出2件，若商場(chǎng)想平均每天盈利達(dá)1200元，那么買件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)買件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，那么就多賣出2x件，根據(jù)擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，每天在銷售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解.
【解答】解：設(shè)買件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，
由題意得：(40﹣x)(20+2x)=1200，
即2x2﹣60x+400=0，
∴x2﹣30x+200=0，
∴(x﹣10)(x﹣20)=0，
解得：x=10或x=20
為了減少庫(kù)存，所以x=20.
故買件襯衫應(yīng)應(yīng)降價(jià)20元.
26.如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF.
(1)線段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形?并說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】矩形的判定;全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證;
(2)先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC.
【解答】解：(1)BD=CD.
理由如下：依題意得AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD;
(2)當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形.
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD(三線合一)，
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形.
27.如圖，已知直線y=﹣x+4與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于點(diǎn)A(﹣2，a)，并且與x軸相交于點(diǎn)B.
(1)求a的值;
(2)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(3)求△AOB的面積;
(4)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法把A(﹣2，a)代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=﹣x+4中即可求出a的值;
(2)由(1)得到A點(diǎn)坐標(biāo)后，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)= ，即可得到答案;
(3)根據(jù)題意畫出圖象，過(guò)A點(diǎn)作AD⊥x軸于D，根據(jù)A的坐標(biāo)求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)求出OB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式即可算出△AOB的面積;
(4)觀察圖象，一次函數(shù)在反比例函數(shù)圖象上方的部分對(duì)應(yīng)x的取值即為所求.
【解答】解：(1)∵點(diǎn)A(﹣2，a)在y=﹣x+4的圖象上，
∴a=2+4=6;
(2)將A(﹣2，6)代入y= ，得k=﹣12，
所以反比例函數(shù)的解析式為y=﹣ ;
(3)如圖：過(guò)A點(diǎn)作AD⊥x軸于D，
∵A(﹣2，6)，
∴AD=6，
在直線y=﹣x+4中，令y=0，得x=4，
∴B(4，0)，
∴OB=4，
∴△AOB的面積S= OB×AD= ×4×6=12.
△AOB的面積為12;
(4)設(shè)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)為C，
把y=﹣x+4代入y=﹣ ，
整理得x2﹣4x﹣12=0，
解得x=6或﹣2，
當(dāng)x=6時(shí)，y=﹣6+4=﹣2，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)(6，﹣2)，
由圖象知，要使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，x的取值范圍是：x<﹣2或0
28.如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，
(1)求證：AC2=AB•AD;
(2)求證：CE∥AD;
(3)若AD=4，AB=6，求 的值.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線.
【分析】(1)由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得AC2=AB•AD;
(2)由E為AB的中點(diǎn)，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE= AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD;
(3)易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得 的值.
【解答】(1)證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB•AD;
(2)證明：∵E為AB的中點(diǎn)，
∴CE= AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD;
(3)解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE= AB，
∴CE= ×6=3，
∵AD=4，
∴ ，
∴ .
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