煙臺市九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷
數(shù)學(xué)成績的提高是同學(xué)們提高總體學(xué)習(xí)成績的重要途徑，下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于煙臺市九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
煙臺市九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷：
一、選擇題(每小題有且只有一個正確答案，請把正確答案的字母代號涂在答題紙上)
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=4，則sinA的值為( )
A. B. C. D.
【考點】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，可得答案.
【解答】解：sinA= = ，
故選：C.
【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.
2.已知⊙O的半徑是4，OP=3，則點P與⊙O的位置關(guān)系是( )
A.點P在圓內(nèi) B.點P在圓上 C.點P在圓外 D.不能確定
【考點】點與圓的位置關(guān)系.
【分析】點在圓上，則d=r;點在圓外，d>r;點在圓內(nèi)，d
【解答】解：∵OP=3<4，故點P與⊙O的位置關(guān)系是點在圓內(nèi).
故選A.
【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，注意掌握點和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
3.桌面上放著1個長方體和1個圓柱體，按如圖所示的方式擺放在一起，不是其三視圖的是( )
【考點】簡單組合體的三視圖.
【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.
【解答】解：A、從正面看左邊是一個矩形，右邊是一個小正方形，故A正確;
B、從上面看左邊是一個圓，右邊是一個矩形，故B正確;
C、從左邊看第一層是三個小正方形，第二層是一個矩形，故C正確;
D、從哪個方向看都不會出現(xiàn)，故D錯誤;
故選：D.
【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.
4.將某拋物線向左平移1個單位，得到的拋物線解析式為y=x2，則該拋物線為( )
A.y=x2+1 B.y=x2﹣1 C.y=(x﹣1)2 D.y=(x+1)2
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】直接根據(jù)“左加右減”的原則進行解答即可.
【解答】解：將某拋物線向左平移1個單位，得到的拋物線解析式為y=x2，則該拋物線為y=﹣(x﹣1)2.
故選：C.
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵.
5.若反比例函數(shù)y= 的圖象位于第二、四象限，則k的取值可以是( )
A.0 B.2 C.3 D.以上都不是
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】反比例函數(shù)y= 的圖象位于第二、四象限，比例系數(shù)k﹣2<0，即k<2，根據(jù)k的取值范圍進行選擇.
【解答】解：∵反比例函數(shù)y= 的圖象位于第二、四象限，
∴k﹣2<0，
即k<2.
故選A.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì).對于反比例函數(shù)y= (k≠0)，(1)k>0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限;(2)k<0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi).
6.如圖中的幾何體是由3個大小相同的正方體拼成的，它的正投影不可能是( )
A. B. C. D.
【考點】簡單組合體的三視圖.
【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.
【解答】解：A、從左邊看上邊一個小正方形，下邊一個小正方形，故A正確;
B、從哪個方向看都不是并排的三個小正方形，故B錯誤;
C、從上面看是兩個并排的小正方形，故C正確;
D、從正面看第一層兩個小正方形，第二層左邊一個小正方形，故D正確;
故選：B.
【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.
7.如圖，點A、B、O是正方形網(wǎng)格上的三個格點，⊙O的半徑為OA，點P是優(yōu)弧 上的一點，則cos∠APB的值是( )
A.45° B.1 C. D.無法確定
【考點】圓周角定理;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)題意求出∠AOB=90°，根據(jù)圓周角定理求出∠APB的度數(shù)，運用特殊角的三角函數(shù)值計算即可.
【解答】解：由題意和正方形的性質(zhì)得，∠AOB=90°，
∴∠APB= ∠AOB=45°，
∴cos∠APB= .
故選：C.
【點評】本題考查的是圓周角定理和特殊角的三角函數(shù)值，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
8.如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC=5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為( )
A.12cm B.7cm
C.6cm D.隨直線MN的變化而變化
【考點】切線長定理.
【分析】利用切線長定理得出BC=BD+EC，DM=MF，F(xiàn)N=EN，AD=AE，進而得出答案.
【解答】解：設(shè)E、F分別是⊙O的切點，
∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC=17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點D是其中的一個切點，BC=5cm，
∴BD+CE=BC=5cm，則AD+AE=7cm，
故DM=MF，F(xiàn)N=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=7(cm).
故選：B.
【點評】此題主要考查了切線長定理，得出AM+AN+MN=AD+AE是解題關(guān)鍵.
9.點(a﹣2，y1)，(a+1，y2)在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上，若y1
A.a>﹣1 B.a<2 C.a>﹣1或a<2 D.﹣1
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出這兩個點，在反比例函數(shù)的兩個象限上，進而得出a的取值范圍.
【解答】解：∵點(a﹣2，y1)，(a+1，y2)在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上，且y1
再由a﹣2
由k>0時，每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增減小，且圖象分布在一、三象限，
∴這兩個點，在反比例函數(shù)的兩個象限上，
∴a﹣2<0，a+1>0，
∴﹣1
故選：D.
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練應(yīng)用反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
10.如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=12，點C、D是 的三等分點，M是AB上一動點，則CM+DM的最小值是( )
A.16 B.12 C.8 D.6
【考點】軸對稱-最短路線問題;勾股定理;垂徑定理.
【分析】作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接C′D與AB相交于點M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點M為CM+DM的最小值時的位置，根據(jù)垂徑定理可得 = ，然后求出C′D為直徑，從而得解.
【解答】解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接C′D與AB相交于點M，
此時，點M為CM+DM的最小值時的位置，
由垂徑定理， = ，
∴ = ，
∵ = = ，AB為直徑，
∴C′D為直徑.
故選B.
【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理，熟記定理并作出圖形，判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關(guān)鍵.
11.如圖，由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格，正六邊形的頂點稱為格點，已知每個正六邊形的邊長為1，△ABC的頂點都在格點上，則△ABC的面積是( )
A. B.2 C.3 D.3
【考點】正多邊形和圓.
【分析】延長AB，然后作出過點C與格點所在的直線，一定交于格點E，根據(jù)S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解.
【解答】解：延長AB，然后作出過點C與格點所在的直線，一定交于格點E.如圖所示：
正六邊形的邊長為1，則半徑是1，則CE=4，
兩平行的邊之間距離是： ，
則△BCE的邊EC上的高是： ，
△ACE邊EC上的高是： ，
則S△ABC=S△AEC﹣S△BEC= ×4×( ﹣ )=3 .
故選：D.
【點評】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、正多邊形的計算;正確理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是關(guān)鍵.
12.如圖，動點P從點A出發(fā)，沿線段AB運動至點B后，立即按原路返回.點P在運動過程中速度大小不變.則以點A為圓心，線段AP長為半徑的圓的面積S與點P的運動時間t之間的函數(shù)圖象大致為( )
【考點】動點問題的函數(shù)圖象.
【專題】壓軸題;動點型.
【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象.
【解答】解：設(shè)點P的速度是1，則AP=t，那么s=πt2，為二次函數(shù)形式;
但動點P從點A出發(fā)，沿線段AB運動至點B后，立即按原路返回.
說明t是先大后小，所以s也是先大后小.
故選A.
【點評】可設(shè)必須的量為1，再根據(jù)所給的條件求得函數(shù)形式，進而求解.
二、填空題(請把正確答案填在答題紙的相應(yīng)位置上)
13.函數(shù)y= 中自變量x的取值范圍是 x≥0 .
【考點】函數(shù)自變量的取值范圍.
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍.
【解答】解：由題意，得x≥0且x+1≠0，
解得x≥0，
故答案為：x≥0.
【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù);當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0;當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負.
14.若3tan(α﹣20°)= ，則銳角α的度數(shù)是 50° .
【考點】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得(α﹣20)的度數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案.
【解答】解：由3tan(α﹣20°)= ，得
α﹣20=30.
解得α=50，
故答案為：50°
【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)知識解題關(guān)鍵.
15.如圖，A是反比例函數(shù)圖象上的一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，△ABP的面積為4，則這個反比例函數(shù)的關(guān)系式為 y= .
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】由于同底等高的兩個三角形面積相等，所以△AOB的面積=△ABP的面積=4，然后根據(jù)反比例函數(shù)y= 中k的幾何意義，知△AOB的面積= |k|，從而確定k的值，求出反比例函數(shù)的解析式.
【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= .
∵△AOB的面積=△ABP的面積=4，△AOB的面積= |k|，
∴ |k|=4，
∴k=±8;
又∵反比例函數(shù)的圖象的一支位于第一象限，
∴k>0.
∴k=8.
∴這個反比例函數(shù)的解析式為y= .
故答案為y= .
【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y= 中k的幾何意義.這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義.
16.如圖，身高1.6米的小明站在距離燈的底部(點O)20米的A處，經(jīng)測量小明的影子AM長為5米，則路燈的高度為 8 米.
【考點】相似三角形的應(yīng)用;中心投影.
【分析】根據(jù)題意得出：△COM∽△BAM，進而利用相似三角形的性質(zhì)得出路燈的高度.
【解答】解：由題意可得：△COM∽△BAM，
則 = ，
故 = ，
解得：CO=8.
故答案為：8.
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用;在運用相似三角形的知識解決實際問題時，要能夠從實際問題中抽象出簡單的數(shù)學(xué)模型是解決問題的關(guān)鍵.
17.如圖，AB是半圓的直徑，將半圓繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，點A旋轉(zhuǎn)到A′的位置，已知圖中陰影部分的面積為4π，則點A旋轉(zhuǎn)的路徑長為 .
【考點】弧長的計算;扇形面積的計算;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)圖形得到S陰影=S半圓+S扇形﹣S半圓=4π，求得AB=4 ，然后根據(jù)弧長的計算公式即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵S陰影=S半圓+S扇形﹣S半圓=4π，
∴ =4π，
∴AB=4 ，
∴點A旋轉(zhuǎn)的路徑長= = ，
故答案為： .
【點評】本題考查了弧長的計算，扇形的面積的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵.
18.如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為(2，0)，若拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是 ﹣2
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求出有一個公共點時的k值，即為一個交點時的最大值，再求出拋物線經(jīng)過點B時的k的值，即為一個交點時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可.
【解答】解：由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯(lián)立 消掉y得，
x2﹣2x+2k=0，
△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×2k=0，
即k= 時，拋物線與OA有一個交點，
此交點的橫坐標為1，
∵點B的坐標為(2，0)，
∴OA=2，
∴點A的坐標為( ， )，
∴交點在線段AO上;
當拋物線經(jīng)過點B(2，0)時， ×4+k=0，
解得k=﹣2，
∴要使拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數(shù)k的取值范圍是﹣2
故答案為：﹣2
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式確定交點個數(shù)的方法，根據(jù)圖形求出有一個交點時的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(請把每題的解答過程寫在答題紙的相應(yīng)位置上)
19.計算：sin60°•cos230°﹣ .
【考點】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而代入求出答案.
【解答】解：原式= ×( )2﹣
【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.
20.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=20，∠A=60°，解這個直角三角形.
【考點】解直角三角形.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】先利用互余計算出∠B的度數(shù)，根據(jù)正弦的定義分別計算b、a的長.
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=90°﹣∠A=30°，
∵sinB= ，
∴b=20sin30°=10，
∵sinA= ，
∴a=20sin60°=10 .
【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.
21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A，B兩點，AC⊥x軸于點C，OC=3，連接BC.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點P是反比例函數(shù)y= 圖象上的一點，且滿足△OPC與△ABC的面積相等，請直接寫出點B、P的坐標.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)把A點橫坐標代入正比例函數(shù)可求得A點坐標，代入反比例函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式;
(2)由條件可求得B、C的坐標，可先求得△ABC的面積，再結(jié)合△OPC與△ABC的面積相等求得P點坐標.
【解答】解：(1)設(shè)A(3，a)，
把x=3代入y=2x中，得y=2×3=6，
∴點A坐標為(3，6)，
∵點A在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴k=3×6=18，
∴反比例函數(shù)的解析式為y= ;
(2)∵AC⊥OC，
∴OC=3，
∵A、B關(guān)于原點對稱，
∴B點坐標為(﹣3，﹣6)，
∴B到OC的距離為6，
∴S△ABC=2S△ACO=2× ×3×6=18，
∴S△OPC=18，
設(shè)P點坐標為(x， )，則P到OC的距離為| |，
∴ ×| |×3=18，解得x= 或﹣ ，
∴P點坐標為( ，12)或(﹣ ，﹣12).
【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點問題，在(1)中求得A點坐標、在(2)中求得P點到OC的距離是解題的關(guān)鍵.
22.下表給出了二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c中兩個變量y與x的一些對應(yīng)值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 …
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，確定b，c，n的值;
(2)直接寫出拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點坐標和對稱軸;
(3)當y>0時，求自變量x的取值范圍.
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】(1)把(﹣2，5)和(1，2)點代入y=﹣x2+bx+c可得關(guān)于b、c的二元一次方程組，再解方程組可得b、c的值，進而可得解析式，再求當x=﹣1時，n的值即可;
(2)根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標公式進行計算即可;
(3)首先根據(jù)解析式計算出與x軸的交點，再根據(jù)二次函數(shù)開口方向和y的取值范圍確定自變量x的取值范圍.
【解答】解：(1)根據(jù)表格得： ，
解得： ，
∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，
把x=﹣1代入﹣x2﹣2x+5=6，
則：n=6;
(2)函數(shù)解析式為y=﹣x2﹣2x+5，
∵a=﹣1，b=﹣2，c=5，
∴﹣ =﹣ =﹣1，
= =6，
∴頂點坐標為(﹣1，6)，對稱軸為x=﹣1;
(3)令y=0，則0=﹣x2﹣2x+5，
解得：x1=﹣1﹣ ，x2=﹣1+ ，
拋物線與x軸的交點是(﹣1﹣ ，0)(﹣1+ ，0)，
∵拋物線開口向下，且y>0，
∴自變量x的取值范圍為﹣1﹣
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式，掌握二次函數(shù)一般式的頂點坐標公式(﹣ ， ).
23.如圖，大樓頂上有一根旗桿，桿高CD=3m，某人在點A處測得塔底C的仰角為20°，塔頂D的仰角為23°，求此人距BC的水平距離AB.
(參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424)
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形;本題涉及多個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進而可求出答案.
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠CAB=20°，
∴BC=AB•tan∠CAB=AB•tan20°.
在Rt△ABD中，
∵∠DAB=23°，
∴BD=AB•tan∠DAB=AB•tan23°.
∴CD=BD﹣BC=AB•tan23°﹣AB•tan20°=AB(tan23°﹣tan20°).
∴AB= ≈ =50(m).
答：此人距CD的水平距離AB約為50m.
【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.
24.如圖直角坐標系中，已知A(﹣8，0)，B(0，6)，點M在線段AB上.
(1)如圖1，如果點M是線段AB的中點，且⊙M的半徑為4，試判斷直線OB與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由;
(2)如圖2，⊙M與x軸、y軸都相切，切點分別是點E、F，試求出點M的坐標.
【考點】直線與圓的位置關(guān)系;坐標與圖形性質(zhì).
【分析】(1)設(shè)線段OB的中點為D，連結(jié)MD，根據(jù)三角形的中位線求出MD，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得出即可;
(2)求出過點A、B的一次函數(shù)關(guān)系式是y= x+6，設(shè)M(a，﹣a)，把x=a，y=﹣a代入y= x+6得出關(guān)于a的方程，求出即可.
【解答】解：(1)直線OB與⊙M相切，
理由：設(shè)線段OB的中點為D，連結(jié)MD，如圖1，
∵點M是線段AB的中點，所以MD∥AO，MD=4.
∴∠AOB=∠MDB=90°，
∴MD⊥OB，點D在⊙M上，
又∵點D在直線OB上，
∴直線OB與⊙M相切;
(2)解：連接ME，MF，如圖2，
∵A(﹣8，0)，B(0，6)，
∴設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
解得：k= ，b=6，
即直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y= x+6，
∵⊙M與x軸、y軸都相切，
∴點M到x軸、y軸的距離都相等，即ME=MF，
設(shè)M(a，﹣a)(﹣8
把x=a，y=﹣a代入y= x+6，
得﹣a= a+6，得a=﹣ ，
∴點M的坐標為(﹣ ， ).
【點評】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，注意：直線和圓有三種位置關(guān)系：已知⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離是，當d=r時，直線l和⊙O相切.
25.某旅行社為吸引市民組團去某景區(qū)旅游，推出如下收費標準：
人數(shù) 不超過30人 超過30人但不超過40人 超過40人
人均旅游費 1000元 每增加1人，人均旅游費降低20元 800元
某單位組織員工去該風(fēng)景區(qū)旅游，設(shè)有x人參加，應(yīng)付旅游費y元.
(1)請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若該單位現(xiàn)有36人，本次旅游至少去31人，則該單位最多應(yīng)付旅游費多少元?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)分0≤x≤30，3040三種情況，根據(jù)推行標準列式整理即可得解;
(2)先選擇函數(shù)關(guān)系式，然后配方得到頂點式解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答.
【解答】解：(1)由題意可知：
當0≤x≤30時，y=1000x，
當30
即y=﹣20x2+1600x，
當x>40時，y=800x;
(2)由題意，得31≤x≤36，
所以選擇函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣20x2+1600x，
配方，得y=﹣20(x﹣40)2+32000，
∵a=﹣20<0，所以拋物線開口向下.又因為對稱軸是直線x=40，
∴當x=36時，y有最大值，
即y最大值=﹣20×(36﹣40)2+32000=31680(元)
因此，該單位最多應(yīng)付旅游費31680元.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要涉及利用二次函數(shù)頂點式解析式求最大值和利用二次函數(shù)的增減性求解最值問題，難點在于(1)要分情況討論，(2)根據(jù)優(yōu)惠情況列出付費函數(shù)關(guān)系式.
26.如圖，⊙O的直徑FD⊥弦AB于點H，E是 上一動點，連結(jié)FE并延長交AB的延長線于點C，AB=8，HD=2.
(1)求⊙O的直徑FD;
(2)在E點運動的過程中，EF•CF的值是否為定值?若是，求出其定值;若不是，請說明理由;
(3)當E點運動到 的中點時，連接AE交DF于點G，求△FEA的面積.
【考點】圓的綜合題.
【分析】(1)連接OA，由垂徑定理得到AH= AB=4，設(shè)OA=x，在Rt△OAH中，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)垂徑定理得到 ，根據(jù)圓周角定理得到∠BAF=∠AEF，推出△FAE∽△FCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，推出AF2=EF•CF，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論;
(3)連接OE，由E點是 的中點，得到∠FAE=45°，∠EOF=90°，于是得到∠EOH=∠AHG，推出△OGE∽△HGA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，求得OG= ，得到FG=OF+OG= ，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)連接OA，
∵直徑FD⊥弦AB于點H，
∴AH= AB=4，
設(shè)OA=x，
在Rt△OAH中，AO2=AH2+(x﹣2)2，
即x2=42+(x﹣2)2，
∴x=5，
∴DF=2OA=10;
(2)是，
∵直徑FD⊥弦AB于點H，
∴∠BAF=∠AEF，
∵∠AFE=∠CFA，
∴△FAE∽△FCA，
∴AF2=EF•CF，
在Rt△AFH中，
AF2=AH2+FH2=44+82=80，
∴EF•CF=80;
(3)連接OE，
∵E點是 的中點，
∴∠FAE=45°，∠EOF=90°，
∴∠EOH=∠AHG，
∵∠OGE=∠HGA，
∴△OGE∽△HGA，
即 = ，
∴OG= ，
∴FG=OF+OG= ，
∴S△FEA=S△EFG+S△AFG= FG•OE+ FG•AH= ×(4+5)=30.
【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
27.如圖，拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交于點A(﹣1，0)，B(3，0)，直線y=x+b與拋物線交于A、C兩點.
(1)求拋物線和直線AC的解析式;
(2)以AC為直徑的⊙D與x軸交于兩點A、E，與y軸交于兩點M、N，分別求出D、M、N三點的坐標;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△ACP的內(nèi)心也在對稱軸上?若存在，說出內(nèi)心在對稱軸上的理由，并求點P的坐標;若不存在，請說明原因.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求得即可;
(2)聯(lián)立方程求得C點的坐標，進而求得圓心D的坐標，然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求得;
(3)求得拋物線的對稱軸，然后作CG⊥y軸，交對稱軸與G，設(shè)對稱軸與x軸交于H，由題意可知∠APH=∠CPG，從而證得△APH∽△CPG，得出 = ，設(shè)P的坐標為(1，a)，則AH=2，PH=﹣a，CG=4，PG=6﹣a，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得a的值.
【解答】解：(1)∵拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交于點A(﹣1，0)、B(3，0)，
解得： ，
∴拋物線的解析式為y= x2﹣x﹣ ，
∵直線y=x+b經(jīng)過點A(﹣1，0)，
∴﹣1+b=0，解得：b=1，
∴直線AC的解析式為y=x+1;
(2)由題意可得：
解得： 或 ，
∴A(﹣1，0)，C(5，6)，
∴圓心D的坐標為(2，3)，AC= =6 ，
如圖1，作DE⊥y軸于E，則DE=2，連接DM，則DM=3 ，
∴DM= = ，
∴M(0，3+ )，N(0，3﹣ );
(3)如圖2，作CG⊥y軸，交對稱軸與G，設(shè)對稱軸與x軸交于H，
由題意可知∠APH=∠CPG，
∴△APH∽△CPG，
∴ = ，
∵拋物線的解析式為y= x2﹣x﹣ = (x﹣1)2﹣2
∴拋物線的對稱軸為y=1，
設(shè)P的坐標為(1，a)，
∴AH=2，PH=﹣a，CG=4，PG=6﹣a，
∴ = ，
解得a=﹣6，
∴P(1，﹣6).
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用、三角形相似的判定和性質(zhì)等知識，(3)根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得出∠APH=∠CPG是解題的關(guān)鍵.
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