泰興市九年級數(shù)學上冊期末試卷
經歷了九年級的一學期的努力奮戰(zhàn),同學們檢驗學習成果的時刻就要到了,同學們要準備哪些數(shù)學期末試題來練習呢?下面是學習啦小編為大家?guī)淼年P于泰興市九年級數(shù)學上冊期末試卷,希望會給大家?guī)韼椭?/p>
泰興市九年級數(shù)學上冊期末試卷:
一、選擇題(每題3分,共18分)
1.數(shù)據(jù):2,3,3,5,7的極差是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】極差.
【專題】計算題;壓軸題.
【分析】根據(jù)極差的定義解答,即用7減去2即可.
【解答】解:數(shù)據(jù)2,3,3,5,7的極差是7﹣2=5.
故選D.
【點評】極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小,求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.
2.在平面直角坐標系中,直線OA過點(2,1),則tanα的值是( )
A.2 B. C. D.
【考點】銳角三角函數(shù)的定義;坐標與形性質.
【分析】根據(jù)在直角三角形中,銳角的正切為對邊比鄰邊,可得答案.
【解答】解:如: ,
tanα= = .
故選:B.
【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用:在直角三角形中,銳角的正弦為對邊比斜邊,余弦為鄰邊比斜邊,正切為對邊比鄰邊.
3.在比例尺是1:46000的城市交通游覽上,某條道路的上距離長約8cm,則這條道路的實際長度約為( )
A.368×103cm B.36.8×104cm C.3.68×105cm D.3.68×106cm
【考點】比例線段;科學記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】根據(jù)比例尺=上距離:實際距離,依題意列比例式直接求解即可.
【解答】解:設這條道路的實際長度為xcm,則:
= ,
解得x=368000.
368000cm=3.68×105cm.
所以這條道路的實際長度為3.68×105cm.
故選C.
【點評】本題主要考查了比例線段,比例尺的意義,能夠根據(jù)比例尺正確進行計算.也考查了科學記數(shù)法.
4.關于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有兩個實數(shù)根,則m的取值范圍是( )
A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1且m≠0 D.m≥﹣1且m≠0
【考點】根的判別式.
【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根,得出△≥0,建立關于m的不等式,求出m的取值范圍即可.
【解答】解:由題意知,△=4+4m≥0,
∴m≥﹣1,
故選A.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))根的判別式.當△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0,方程沒有實數(shù)根.以及一元二次方程的意義.
5.⊙O是△ABC的外接圓,已知∠OAB=40°,則∠ACB的度數(shù)為( )
A.45° B.40° C.80° D.50°
【考點】圓周角定理.
【分析】由OA=OB,可求得∠OBA=∠OAB=40°,繼而求得∠AOB的度數(shù),然后由圓周角定理,求得答案.
【解答】解:∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=40°,
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=100°,
∴∠ACB= ∠AOB=50°.
故選:D.
【點評】本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質.此題難度不大,注意掌握數(shù)形結合思想的應用.
6.關于二次函數(shù) 的象與性質,下列結論錯誤的是( )
A.拋物線與x軸有兩個交點
B.當x=1時,函數(shù)有最大值
C.拋物線可由 經過平移得到
D.當﹣1
【考點】二次函數(shù)的性質.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質對各小題分析判斷即可得求解.
【解答】解:A、∵a=﹣ <0,頂點(1,2),
∴拋物線與x軸有兩個交點;
B、∵拋物線開口向下,頂點(1,2)∴當x=1時,函數(shù)有最大值2;
C、拋物線可由 向右平移1個單位,向上平移2個單位得到;
D、∵當﹣1
綜上所述,結論錯誤的是D.
故選D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質,主要利用了拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標,以及二次函數(shù)的增減性.
二、填空題(每題3分,共30分)
7.若x=0是關于x的方程x2﹣x﹣a2+9=0的一個根,則a的值為±3.
【考點】一元二次方程的解.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義,把x=0代入原方程得到關于a的一元二次方程,然后解此方程即可.
【解答】解:把x=0代入x2﹣x﹣a2+9=0得﹣a2+9=0,解得a=±3.
故答案為±3.
【點評】本題考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根,所以,一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.
8.人數(shù)相同的九年級甲、乙兩班學生在同一次數(shù)學單元測試中,班級平均分和方差如下: =90,S甲2=1.234,S乙2=2.001,則成績較為穩(wěn)定的班級是甲班(填甲班或乙班).
【考點】方差.
【分析】由于S甲2
【解答】解:∵ =90,S甲2=1.234,S乙2=2.001,
∴S甲2
∴甲班的成績較為穩(wěn)定.
故答案為甲班.
【點評】本題考查了方差:一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù),叫做這組數(shù)據(jù)的方差,計算公式是:s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2];方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大,則平均值的離散程度越大,穩(wěn)定性也越小;反之,則它與其平均值的離散程度越小,穩(wěn)定性越好.
9.已知⊙O的半徑為5cm,點O到直線MN的距離為4,則⊙O與直線MN的位置關系為相交.
【考點】直線與圓的位置關系.
【分析】根據(jù)圓心O到直線MN的距離小于半徑即可判定直線MN與⊙O的位置關系為相交.
【解答】解:∵圓心O到直線MN的距離是4cm,小于⊙O的半徑為5cm,
∴直線MN與⊙O相交.
故答案為:相交.
【點評】此題考查的是直線與圓的位置關系,根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系解答.若d
10.一個圓形轉盤被分成6個圓心角都為60°的扇形,任意轉動這個轉盤1次,當轉盤停止轉動時,指針指向陰影區(qū)域的概率是 .
【考點】幾何概率.
【分析】設圓的面積為6,易得到陰影區(qū)域的面積為4,然后根據(jù)概率公式計算即可.
【解答】解:設圓的面積為6,
∵圓被分成6個相同扇形,
∴每個扇形的面積為1,
∴陰影區(qū)域的面積為4,
∴指針指向陰影區(qū)域的概率 = ;
故答案為: .
【點評】本題考查了求幾何概率的方法:先利用幾何性質求出整個幾何形的面積n,再計算出其中某個區(qū)域的幾何形的面積m,然后根據(jù)概率的定義計算出落在這個幾何區(qū)域的事件的概率= .
11.已知△ABC∽△DEF,且 ,則 = .
【考點】相似三角形的性質.
【分析】直接利用相似三角形的性質,面積比等于相似比的平方進而得出答案.
【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且 ,
∴ = .
故答案為: .
【點評】此題主要考查了相似三角形的性質,正確掌握相似三角形的性質是解題關鍵.
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cosB= ,則AC的長為6.
【考點】銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理.
【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)值計算出BC長,再利用勾股定理可計算出AC長.
【解答】解:∵AB=10,cosB= ,
∴BC=10× =8,
∴AC= =6,
故答案為:6.
【點評】此題主要考查了三角函數(shù),以及勾股定理,關鍵是掌握銳角三角函數(shù)定義.
13.一個圓錐的底面半徑為1厘米,母線長為2厘米,則該圓錐的側面積是2π厘米2(結果保留π).
【考點】圓錐的計算.
【分析】根據(jù)圓錐側面積的求法:S側= •2πr•l=πrl,把r=1厘米,l=2厘米代入圓錐的側面積公式,求出該圓錐的側面積是多少即可.
【解答】解:該圓錐的側面積是:
S側= •2πr•l=πrl=π×1×2=2π(厘米2).
故答案為:2π.
【點評】此題主要考查了圓錐的側面積的計算,要熟練掌握,解答此題的關鍵是要明確:S側= •2πr•l=πrl.
14.四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,若∠DAB=60°,則∠BCD的度數(shù)是120°.
【考點】圓內接四邊形的性質.
【分析】根據(jù)圓內接四邊形的對角互補解答即可.
【解答】解:∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,
∴∠BCD+∠DAB=180°,又∠DAB=60°,
∴∠BCD=120°,
故答案為:120°.
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質,掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵.
15.正方形OABC與正方形ODEF是位似形,O為位似中心,相似比為1: ,點A的坐標為(1,0),則E點的坐標為( , ).
【考點】位似變換;坐標與形性質.
【分析】由題意可得OA:OD=1: ,又由點A的坐標為(1,0),即可求得OD的長,又由正方形的性質,即可求得E點的坐標.
【解答】解:∵正方形OABC與正方形ODEF是位似形,O為位似中心,相似比為1: ,
∴OA:OD=1: ,
∵點A的坐標為(1,0),
即OA=1,
∴OD= ,
∵四邊形ODEF是正方形,
∴DE=OD= .
∴E點的坐標為:( , ).
故答案為:( , ).
【點評】此題考查了位似變換的性質與正方形的性質.此題比較簡單,注意理解位似變換與相似比的定義是解此題的關鍵.
16.在直角坐標系xOy中,若拋物線y= +2x交x軸的負半軸于A,以O為旋轉中心,將線段OA按逆時針方向旋轉α(0°<α≤360°),再沿水平方向向右或向左平移若干個單位長度,對應線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處,請直接寫出所有符合題意的α的值是30°或150°.
【考點】拋物線與x軸的交點;坐標與形變化-平移;坐標與形變化-旋轉.
【分析】首先求出拋物線的頂點坐標以及AO的長,再利用平移的性質結合AO只是左右平移,進而得出旋轉的角度.
【解答】解:由題意可得:y= +2x= (x+2)2﹣2,
故拋物線的頂點坐標為:(2,﹣2),
當y=0時,0= (x+2)2﹣2
解得:x1=0,x2=4,
故AO=4,
∵將線段OA按逆時針方向旋轉α(0°<α≤360°),再沿水平方向向右或向左平移若干個單位長度,對應線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處,
∴旋轉后對應點A′到x軸的距離為:2,
過點A′作A′C⊥x軸于點C,
當∠COA′=30°,
則CA′= A′O=2,
故α為30°時符合題意,
同理可得:α為150°時也符合題意,
綜上所述:所有符合題意的α的值是30°或150°.
故答案為:30°或150°.
【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點以及旋轉與平移變換,正確得出對應點的特點是解題關鍵.
三、解答題(共102分)
17.計算或解方程:
(1)|2﹣tan60°|﹣(π﹣3.14)0+ + .
(2)x2﹣6x+5=0(配方法)
【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負整數(shù)指數(shù)冪;解一元二次方程-配方法;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】計算題;實數(shù).
【分析】(1)原式第一項利用特殊角的三角函數(shù)值計算,第二項利用零指數(shù)冪法則計算,第三項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算,最后一項化為最簡二次根式,計算即可得到結果;
(2)方程利用完全平方公式變形,開方即可求出解.
【解答】解:(1)原式=2﹣ ﹣1+4+ =5;
(2)方程整理得:x2﹣6x=﹣5,
配方得:x2﹣6x+9=4,即(x﹣3)2=4,
開方得:x﹣3=2或x﹣3=﹣2,
解得:x1=5,x2=1.
【點評】此題考查了實數(shù)的運算,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
18.前不久,我校初一、初二兩個年級舉行作文競賽,根據(jù)初賽成績,每個年級各選出5名選手分別組成初一代表隊和初二代表隊參加學校決賽.兩個隊各選出的5名選手的決賽成績如所示.
(1)根據(jù)示填寫下表;
平均數(shù)(分) 中位數(shù)(分) 眾數(shù)(分)
初一 85 85 85
初二 85 80 100
(2)結合兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個隊的決賽成績較好.
【考點】條形統(tǒng)計;加權平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù).
【分析】(1)根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的定義即可解答;
(2)首先比較平均數(shù),然后根據(jù)中位數(shù)的大小判斷.
【解答】解:(1)初一隊的成績的平均數(shù)是: (75+80+85+85+100)=85,
初一隊成績的眾數(shù)是85分;
初二隊的成績從小到大排列是:70,75,80,100,100.則中位數(shù)是80分.
平均數(shù)(分) 中位數(shù)(分) 眾數(shù)(分)
初一 85 85 85
初二 85 80 100
(2)兩隊的平均成績相同,而初一隊的中位數(shù)較大,因而初一隊成績較好.
【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計的綜合運用.讀懂統(tǒng)計,從統(tǒng)計中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù).
19.有5張形狀、大小和質地都相同的卡片,正面分別寫有字母:A,B,C,D,E和一個等式,背面完全一致.現(xiàn)將5張卡片分成兩堆,第一堆:A,B,C;第二堆:D,E,并從第一堆中抽出第一張卡片,再從第二堆中抽出第二張卡片.
(1)請用畫樹狀或列表法表示出所有可能結果;(卡片可用A,B,C,D,E表示)
(2)將“第一張卡片上x的值是第二張卡片中方程的解”記作事件M,求事件M的概率.
【考點】列表法與樹狀法.
【專題】計算題.
【分析】(1)畫出樹狀展示所有6種等可能的結果數(shù);
(2)根據(jù)方程解得定義,找出第一張卡片上x的值是第二張卡片中方程的解的結果數(shù),然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解:(1)畫樹狀為:
共有6種等可能的結果數(shù);
(2)因為第一張卡片上x的值是第二張卡片中方程的解的結果數(shù)為2,
所以事件M的概率= = .
【點評】本題考查了列表法或樹狀法:通過列表法或樹狀法展示所有等可能的結果求出n,再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.
20.某商店6月份的利潤是2000元,要使8月份的利潤達到3380元,平均每月利潤增長的百分率是多少?
【考點】一元二次方程的應用.
【專題】增長率問題.
【分析】如果設平均每月增長的百分率是x,那么7月份的利潤是2000(1+x)元,8月份的利潤是2000(1+x)2元,而此時利潤是3380元,根據(jù)8月份的利潤不變,列出方程.
【解答】解:設平均每月增長的百分率是x,依題意,得
2000(1+x)2=3380,
解得x1=0.3,x2=﹣2.3(不合題意,舍去).
答:平均每月增長的百分率應該是30%.
【點評】本題考查的是平均增長率問題.明確增長前的量×(1+平均增長率)增長的次數(shù)=增長后的量是解題的關鍵.
21.為了弘揚“社會主義核心價值觀”,市政府在廣場樹立公益廣告牌,如所示,為固定廣告牌,在兩側加固鋼纜,已知鋼纜底端D距廣告牌立柱距離CD為3米,從D點測得廣告牌頂端A點和底端B點的仰角分別是60°和45°.
(1)求公益廣告牌的高度AB;
(2)求加固鋼纜AD和BD的長.(注意:本題中的計算過程和結果均保留根號)
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.
【分析】(1)根據(jù)已知和tan∠ADC= ,求出AC,根據(jù)∠BDC=45°,求出BC,根據(jù)AB=AC﹣BC求出AB;
(2)根據(jù)cos∠ADC= ,求出AD,根據(jù)cos∠BDC= ,求出BD.
【解答】解:(1)在Rt△ADC中,∵∠ADC=60°,CD=3,
∵tan∠ADC= ,
∴AC=3•tan60°=3 ,
在Rt△BDC中,∵∠BDC=45°,
∴BC=CD=3,
∴AB=AC﹣BC=(3 ﹣3)米.
(2)在Rt△ADC中,∵cos∠ADC= ,
∴AD= = =6米,
在Rt△BDC中,∵cos∠BDC= ,
∴BD= = =3 米.
【點評】本題考查的是解直角三角形的知識,掌握仰角的概念和銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵.
22.△ABC中,AC=BC,以BC上一點O為圓心,OB為半徑作⊙O交AB于點D.已知經過點D的⊙O切線恰好經過點C.
(1)試判斷CD與AC的位置關系,并證明;
(2)若△ACB∽△CDB,且AC=3,求中陰影部分的面積.
【考點】切線的判定;扇形面積的計算;相似三角形的判定與性質.
【專題】計算題.
【分析】(1)連結OD,由OD=OB得∠ODB=∠B,由AC=CB得∠A=∠B,則∠A=∠ODB,于是可判斷OD∥AC,根據(jù)平行線的性質得∠ACD=∠ODC,再根據(jù)切線的性質得∠ODC=90°,則∠DCA=90°,所以CD⊥AC;
(2)根據(jù)相似三角形的性質,由△ACB∽△CDB得到∠BCD=∠A,理由三角形外角性質易得∠ADC=2∠B,則∠ADC=2∠A,再利用三角形內角和定理得∠A+∠ADC=90°,可計算出∠A=30°,則∠CDB=∠B=30°,∠COD=60°,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系,在Rt△ACD中可計算出CD= AC= ,再在Rt△ODC中計算出OD= CD=1,然后利用三角形的面積減去扇形的面積可得到中陰影部分的面積.
【解答】解:(1)CD⊥AC.理由如下:
連結OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠B,
∵AC=CB,
∴∠A=∠B,
∴∠A=∠ODB,
∴OD∥AC,
∴∠ACD=∠ODC,
∵CD是⊙O切線,
∴∠ODC=90°,
∴∠DCA=90°,
∴CD⊥AC;
(2)∵△ACB∽△CDB,
∴∠BCD=∠A,
∴∠ADC=2∠B,
而∠A=∠B,
∴∠ADC=2∠A,
∵∠A+∠ADC=90°,
∴∠A=30°,
∴∠CDB=∠B=30°,
∴∠COD=60°,
在Rt△ACD中,CD= AC= ,
在Rt△ODC中,OD= CD=1,
∴中陰影部分的面積= ×1× ﹣ = ﹣ .
【點評】本題考查了切線的性質:圓的切線垂直于過切點的半徑.也考查了扇形的面積計算和相似三角形的性質.
23.在△ABC中,∠ACB=90°,點G是△ABC的重心,且AG⊥CG,CG的延長
線交AB于H.
(1)求證:△CAG∽△ABC;
(2)求S△AGH:S△ABC的值.
【考點】相似三角形的判定與性質;三角形的重心.
【分析】(1)證明:CG交AB于D,設GD=a,根據(jù)重心的性質得CG=2DG=2a,根據(jù)重心的定義得CD為AB邊上的中線,接著根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得到CD=AD=BD=3a,則∠1=∠3,再利用等角的余角相等得∠1=∠3,所以∠B=∠3,加上∠ACB=∠AGC=90°,于是根據(jù)相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC;
(2)由點G是△ABC的重心,得到CG=2HG,于是得到HG= CH,求得S△AHG= S△ACH,根據(jù)CH為AB邊上的中線,于是得到S△ACH= S△ABC,推出S△AHG= S△ABC,即可得到結論.
【解答】(1)證明:設GH=a,
∵點G是△ABC的重心,
∴CG=2HG=2a,CH為AB邊上的中線,
∴CH=AH=BH=3a,
∴∠1=∠3,
∵AG⊥CG,
∴∠2+∠3=90°,
而∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠3,
∴∠B=∠3,
而∠ACB=∠AGC=90°,
∴△CAG∽△ABC;
(2)∵點G是△ABC的重心,
∴CG=2HG,
∴HG= CH,
∴S△AHG= S△ACH,
∵CH為AB邊上的中線,
∴S△ACH= S△ABC,
∴S△AHG= S△ABC,
∴S△AGH:S△ABC=1:6.
【點評】本題考查了三角形的重心:三角形的重心是三角形三邊中線的交點;重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1.也考查相似三角形的判定與性質.
24.某水果店出售某種水果,已知該水果的進價為6元/千克,若以9元/千克的價格銷售,則每天可售出200千克;若以11元/千克的價格銷售,則每天可售出120千克.通過調查驗證,我發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(千克)與銷售單價x(元)之間存在一次函數(shù)關系.
(1)求y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關系式;
(2)當銷售單價為何值時,該水果店銷售這種水果每天獲取的利潤達到280元?(利潤=銷售量×(銷售單價﹣進價))
(3)該水果店在進貨成本不超過720元時,銷售單價定為多少元可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
【考點】二次函數(shù)的應用.
【分析】(1)以9元/千克的價格銷售,那么每天可售出200千克;以11元/千克的價格銷售,那么每天可售出120千克,就相當于直線過點(9,200),(11,120),然后列方程組解答即可;
(2)根據(jù)利潤=銷售量×(銷售單價﹣進價)寫出方程求出即可;
(3)根據(jù)利潤=銷售量×(銷售單價﹣進價)寫出解析式,然后利用配方法求最大值,再結合二次函數(shù)性質得出答案.
【解答】解:(1)設y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關系式為:y=kx+b,
根據(jù)題意可得: ,
解得: .
故y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關系式為:y=﹣40x+560;
(2)∵W=280元,
∴280=(﹣40x+560)×(x﹣6)
解得:x1=7,x2=13.
答:當銷售單價為7元或13元時,每天可獲得的利潤達到W=280元;
(3)∵利潤=銷售量×(銷售單價﹣進價)
∴W=(﹣40x+560)(x﹣6)
=﹣40x2+800x﹣3360
=﹣40(x﹣10)2+640,
當售價為10元,則y=560﹣400=160,
160×6=960(元)>720元,
則當(﹣40x+560)×6=720,
解得:x=11.
即當銷售單價為11元時,每天可獲得的利潤最大,最大利潤是600元.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用,在解答時理清題意設出一次函數(shù)的解析式建立方程組是關鍵.
25.在平面直角坐標系中,O是坐標原點,點A的坐標是(﹣8,0),點B的坐標是(0,n)(n>0).P是直線AB上的一個動點,作PC⊥x軸,垂足為C.記點P關于y軸的對稱點為P′(點P′不在y軸上),連接PP′,P′A,P′C.設點P的橫坐標為m.
(1)若點P在第一象限,記直線AB與P′C的交點為D.當P′D:DC=5:13時,求m的值;
(2)若∠ACP′=60°,試用m的代數(shù)式表示n;
(3)若點P在第一象限,是否同時存在m,n,使△P′CA為等腰直角三角形?若存在,請求出所有滿足要求的m,n的值;若不存在,請說明理由.
【考點】一次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)由條件可得△P′PD∽△CAD,利用相似三角形的性質可得到關于m的方程,可求得m的值;
(2)過P′H⊥AC于H,設直線AB的解析式為y=kx+n,把x=﹣8,y=0代入得:﹣8k+n=0,于是得到直線的解析式是:y= x+n,求得PC=P′H= +n,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到 = ,即可得到結論;
(3)分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分別為直角進行討論,由等腰三角形可先求得m的值,再根據(jù)相似三角形可得到關于n的方程,可求得n的值.
【解答】解:(1)∵PP′∥AC,
∴△P′PD∽△CAD,
∴ = = ,
∴ = ,
解得:m= ;
(2)過P′H⊥AC于H,設直線AB的解析式為y=kx+n,
把x=﹣8,y=0代入得:﹣8k+n=0,
∴k= ,
∴直線的解析式是:y= x+n,
把x=m代入得y= +n,
∴PC=P′H= +n,
∵∠ACP′=60°,
∴ = ,
∴ = ,
∴n= ;
(3)當點P在第一象限且△P′CA為等腰直角三角形時,分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分別為直角進行討論.
第一種情況:
若∠AP′C=90°,P′A=P′C,
過點P′作P′H⊥x軸于點H.
∴PP′=CH=AH=P′H= AC.
∴2m= (m+8),
∴m= ,P′H= ,
∵△AOB∽△ACP,
∴ ,
∴n=4;
第二種情況:
若∠P′AC=90°,P′A=AC,則PP′=AC,
∴2m=m+8,
∴m=8,
∵△P′AC為等腰直角三角形,
∴四邊形P′ACP為正方形,
∴PC=AC=16,
∵△AOB∽△ACP,
∴ ,即 = ,
∴n=8;
第三種情況:
若∠P′CA=90°,則點P′,P都在第一象限內,這與條件矛盾.
∴△P′CA不可能是以C為直角頂點的等腰直角三角形.
∴所有滿足條件的m= ,n=4或m=8,n=8.
【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質及等腰直角三角形的性質、坐標與形等知識點的綜合應用,在(1)中由條件證明三角形相似,利用相似三角形對應邊成比例得到關于m的方程是解題的關鍵;在(3)中分三種情況分別討論是解題的關鍵;屬于基礎知識的綜合考查,難度不大,注意對基礎知識的熟練應用.
26.(14分)已知點A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函數(shù)y=x2+mx+n的象上,當x1=1、x2=3時,y1=y2.
(1)①求m;②若拋物線與x軸只有一個公共點,求n的值.
(2)若P(a,b1),Q(3,b2)是函數(shù)象上的兩點,且b1>b2,求實數(shù)a的取值范圍.
(3)若對于任意實數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2,求n的范圍.
【考點】拋物線與x軸的交點;二次函數(shù)象上點的坐標特征.
【專題】計算題.
【分析】(1)①利用拋物線的對稱性可得拋物線的對稱軸為直線x=2,則根據(jù)拋物線對稱軸方程得到﹣ =2,然后解方程即可得到m的值;
?、诶谩?b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)得到△=m2﹣4n=0,然后解方程即可得到n的值;
(2)利用二次函數(shù)的性質,由于x1=1、x2=3時,y1=y2,點P到直線x=2的距離比點Q到直線x=2的距離要大,于是可得到a<1或a>3;
(3)由于對于任意實數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2,則判斷二次函數(shù)y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1,根據(jù)頂點坐標公式得到 ≥1,然后解不等式即可.
【解答】解:(1)①∵當x1=1、x2=3時,y1=y2,
∴點A與點B為拋物線上的對稱點,
∴拋物線的對稱軸為直線x=2,
即﹣ =2,
∴m=﹣4;
?、凇邟佄锞€與x軸只有一個公共點,
∴△=m2﹣4n=0,
而m=﹣4,
∴n=4;
(2)∵x1=1、x2=3時,y1=y2,
而拋物線開口向上,
∴當a>3時,b1>b2,或a<1時,b1>b2,
即實數(shù)a的取值范圍為a<1或a>3;
(3)∵對于任意實數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2,
∴二次函數(shù)y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1,
即 ≥1,
∴n≥5.
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點:把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點坐標轉化為解關于x的一元二次方程;△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).也考查了二次函數(shù)的性質.利用數(shù)形結合的思想是解決本題的關鍵.
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