泰興市九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷
經(jīng)歷了九年級的一學(xué)期的努力奮戰(zhàn),同學(xué)們檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果的時刻就要到了,同學(xué)們要準(zhǔn)備哪些數(shù)學(xué)期末試題來練習(xí)呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于泰興市九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷,希望會給大家?guī)韼椭?/p>
泰興市九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷:
一、選擇題(每題3分,共18分)
1.數(shù)據(jù):2,3,3,5,7的極差是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點(diǎn)】極差.
【專題】計(jì)算題;壓軸題.
【分析】根據(jù)極差的定義解答,即用7減去2即可.
【解答】解:數(shù)據(jù)2,3,3,5,7的極差是7﹣2=5.
故選D.
【點(diǎn)評】極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小,求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.
2.在平面直角坐標(biāo)系中,直線OA過點(diǎn)(2,1),則tanα的值是( )
A.2 B. C. D.
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義;坐標(biāo)與形性質(zhì).
【分析】根據(jù)在直角三角形中,銳角的正切為對邊比鄰邊,可得答案.
【解答】解:如: ,
tanα= = .
故選:B.
【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用:在直角三角形中,銳角的正弦為對邊比斜邊,余弦為鄰邊比斜邊,正切為對邊比鄰邊.
3.在比例尺是1:46000的城市交通游覽上,某條道路的上距離長約8cm,則這條道路的實(shí)際長度約為( )
A.368×103cm B.36.8×104cm C.3.68×105cm D.3.68×106cm
【考點(diǎn)】比例線段;科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】根據(jù)比例尺=上距離:實(shí)際距離,依題意列比例式直接求解即可.
【解答】解:設(shè)這條道路的實(shí)際長度為xcm,則:
= ,
解得x=368000.
368000cm=3.68×105cm.
所以這條道路的實(shí)際長度為3.68×105cm.
故選C.
【點(diǎn)評】本題主要考查了比例線段,比例尺的意義,能夠根據(jù)比例尺正確進(jìn)行計(jì)算.也考查了科學(xué)記數(shù)法.
4.關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有兩個實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是( )
A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1且m≠0 D.m≥﹣1且m≠0
【考點(diǎn)】根的判別式.
【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根,得出△≥0,建立關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍即可.
【解答】解:由題意知,△=4+4m≥0,
∴m≥﹣1,
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))根的判別式.當(dāng)△>0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.以及一元二次方程的意義.
5.⊙O是△ABC的外接圓,已知∠OAB=40°,則∠ACB的度數(shù)為( )
A.45° B.40° C.80° D.50°
【考點(diǎn)】圓周角定理.
【分析】由OA=OB,可求得∠OBA=∠OAB=40°,繼而求得∠AOB的度數(shù),然后由圓周角定理,求得答案.
【解答】解:∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=40°,
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=100°,
∴∠ACB= ∠AOB=50°.
故選:D.
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
6.關(guān)于二次函數(shù) 的象與性質(zhì),下列結(jié)論錯誤的是( )
A.拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)
B.當(dāng)x=1時,函數(shù)有最大值
C.拋物線可由 經(jīng)過平移得到
D.當(dāng)﹣1
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得求解.
【解答】解:A、∵a=﹣ <0,頂點(diǎn)(1,2),
∴拋物線與x軸有兩個交點(diǎn);
B、∵拋物線開口向下,頂點(diǎn)(1,2)∴當(dāng)x=1時,函數(shù)有最大值2;
C、拋物線可由 向右平移1個單位,向上平移2個單位得到;
D、∵當(dāng)﹣1
綜上所述,結(jié)論錯誤的是D.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),主要利用了拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo),以及二次函數(shù)的增減性.
二、填空題(每題3分,共30分)
7.若x=0是關(guān)于x的方程x2﹣x﹣a2+9=0的一個根,則a的值為±3.
【考點(diǎn)】一元二次方程的解.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義,把x=0代入原方程得到關(guān)于a的一元二次方程,然后解此方程即可.
【解答】解:把x=0代入x2﹣x﹣a2+9=0得﹣a2+9=0,解得a=±3.
故答案為±3.
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根,所以,一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.
8.人數(shù)相同的九年級甲、乙兩班學(xué)生在同一次數(shù)學(xué)單元測試中,班級平均分和方差如下: =90,S甲2=1.234,S乙2=2.001,則成績較為穩(wěn)定的班級是甲班(填甲班或乙班).
【考點(diǎn)】方差.
【分析】由于S甲2
【解答】解:∵ =90,S甲2=1.234,S乙2=2.001,
∴S甲2
∴甲班的成績較為穩(wěn)定.
故答案為甲班.
【點(diǎn)評】本題考查了方差:一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù),叫做這組數(shù)據(jù)的方差,計(jì)算公式是:s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2];方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大,則平均值的離散程度越大,穩(wěn)定性也越小;反之,則它與其平均值的離散程度越小,穩(wěn)定性越好.
9.已知⊙O的半徑為5cm,點(diǎn)O到直線MN的距離為4,則⊙O與直線MN的位置關(guān)系為相交.
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.
【分析】根據(jù)圓心O到直線MN的距離小于半徑即可判定直線MN與⊙O的位置關(guān)系為相交.
【解答】解:∵圓心O到直線MN的距離是4cm,小于⊙O的半徑為5cm,
∴直線MN與⊙O相交.
故答案為:相交.
【點(diǎn)評】此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系,根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系解答.若d
10.一個圓形轉(zhuǎn)盤被分成6個圓心角都為60°的扇形,任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤1次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,指針指向陰影區(qū)域的概率是 .
【考點(diǎn)】幾何概率.
【分析】設(shè)圓的面積為6,易得到陰影區(qū)域的面積為4,然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可.
【解答】解:設(shè)圓的面積為6,
∵圓被分成6個相同扇形,
∴每個扇形的面積為1,
∴陰影區(qū)域的面積為4,
∴指針指向陰影區(qū)域的概率 = ;
故答案為: .
【點(diǎn)評】本題考查了求幾何概率的方法:先利用幾何性質(zhì)求出整個幾何形的面積n,再計(jì)算出其中某個區(qū)域的幾何形的面積m,然后根據(jù)概率的定義計(jì)算出落在這個幾何區(qū)域的事件的概率= .
11.已知△ABC∽△DEF,且 ,則 = .
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì),面積比等于相似比的平方進(jìn)而得出答案.
【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且 ,
∴ = .
故答案為: .
【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì),正確掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cosB= ,則AC的長為6.
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理.
【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)值計(jì)算出BC長,再利用勾股定理可計(jì)算出AC長.
【解答】解:∵AB=10,cosB= ,
∴BC=10× =8,
∴AC= =6,
故答案為:6.
【點(diǎn)評】此題主要考查了三角函數(shù),以及勾股定理,關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)定義.
13.一個圓錐的底面半徑為1厘米,母線長為2厘米,則該圓錐的側(cè)面積是2π厘米2(結(jié)果保留π).
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積的求法:S側(cè)= •2πr•l=πrl,把r=1厘米,l=2厘米代入圓錐的側(cè)面積公式,求出該圓錐的側(cè)面積是多少即可.
【解答】解:該圓錐的側(cè)面積是:
S側(cè)= •2πr•l=πrl=π×1×2=2π(厘米2).
故答案為:2π.
【點(diǎn)評】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積的計(jì)算,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:S側(cè)= •2πr•l=πrl.
14.四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,若∠DAB=60°,則∠BCD的度數(shù)是120°.
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)解答即可.
【解答】解:∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠BCD+∠DAB=180°,又∠DAB=60°,
∴∠BCD=120°,
故答案為:120°.
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.
15.正方形OABC與正方形ODEF是位似形,O為位似中心,相似比為1: ,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),則E點(diǎn)的坐標(biāo)為( , ).
【考點(diǎn)】位似變換;坐標(biāo)與形性質(zhì).
【分析】由題意可得OA:OD=1: ,又由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),即可求得OD的長,又由正方形的性質(zhì),即可求得E點(diǎn)的坐標(biāo).
【解答】解:∵正方形OABC與正方形ODEF是位似形,O為位似中心,相似比為1: ,
∴OA:OD=1: ,
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),
即OA=1,
∴OD= ,
∵四邊形ODEF是正方形,
∴DE=OD= .
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為:( , ).
故答案為:( , ).
【點(diǎn)評】此題考查了位似變換的性質(zhì)與正方形的性質(zhì).此題比較簡單,注意理解位似變換與相似比的定義是解此題的關(guān)鍵.
16.在直角坐標(biāo)系xOy中,若拋物線y= +2x交x軸的負(fù)半軸于A,以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心,將線段OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤360°),再沿水平方向向右或向左平移若干個單位長度,對應(yīng)線段的一個端點(diǎn)正好落在拋物線的頂點(diǎn)處,請直接寫出所有符合題意的α的值是30°或150°.
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);坐標(biāo)與形變化-平移;坐標(biāo)與形變化-旋轉(zhuǎn).
【分析】首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及AO的長,再利用平移的性質(zhì)結(jié)合AO只是左右平移,進(jìn)而得出旋轉(zhuǎn)的角度.
【解答】解:由題意可得:y= +2x= (x+2)2﹣2,
故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(2,﹣2),
當(dāng)y=0時,0= (x+2)2﹣2
解得:x1=0,x2=4,
故AO=4,
∵將線段OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤360°),再沿水平方向向右或向左平移若干個單位長度,對應(yīng)線段的一個端點(diǎn)正好落在拋物線的頂點(diǎn)處,
∴旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點(diǎn)A′到x軸的距離為:2,
過點(diǎn)A′作A′C⊥x軸于點(diǎn)C,
當(dāng)∠COA′=30°,
則CA′= A′O=2,
故α為30°時符合題意,
同理可得:α為150°時也符合題意,
綜上所述:所有符合題意的α的值是30°或150°.
故答案為:30°或150°.
【點(diǎn)評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及旋轉(zhuǎn)與平移變換,正確得出對應(yīng)點(diǎn)的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
三、解答題(共102分)
17.計(jì)算或解方程:
(1)|2﹣tan60°|﹣(π﹣3.14)0+ + .
(2)x2﹣6x+5=0(配方法)
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;解一元二次方程-配方法;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】計(jì)算題;實(shí)數(shù).
【分析】(1)原式第一項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算,第二項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算,第三項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算,最后一項(xiàng)化為最簡二次根式,計(jì)算即可得到結(jié)果;
(2)方程利用完全平方公式變形,開方即可求出解.
【解答】解:(1)原式=2﹣ ﹣1+4+ =5;
(2)方程整理得:x2﹣6x=﹣5,
配方得:x2﹣6x+9=4,即(x﹣3)2=4,
開方得:x﹣3=2或x﹣3=﹣2,
解得:x1=5,x2=1.
【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
18.前不久,我校初一、初二兩個年級舉行作文競賽,根據(jù)初賽成績,每個年級各選出5名選手分別組成初一代表隊(duì)和初二代表隊(duì)參加學(xué)校決賽.兩個隊(duì)各選出的5名選手的決賽成績?nèi)缢?
(1)根據(jù)示填寫下表;
平均數(shù)(分) 中位數(shù)(分) 眾數(shù)(分)
初一 85 85 85
初二 85 80 100
(2)結(jié)合兩隊(duì)成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個隊(duì)的決賽成績較好.
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì);加權(quán)平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù).
【分析】(1)根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的定義即可解答;
(2)首先比較平均數(shù),然后根據(jù)中位數(shù)的大小判斷.
【解答】解:(1)初一隊(duì)的成績的平均數(shù)是: (75+80+85+85+100)=85,
初一隊(duì)成績的眾數(shù)是85分;
初二隊(duì)的成績從小到大排列是:70,75,80,100,100.則中位數(shù)是80分.
平均數(shù)(分) 中位數(shù)(分) 眾數(shù)(分)
初一 85 85 85
初二 85 80 100
(2)兩隊(duì)的平均成績相同,而初一隊(duì)的中位數(shù)較大,因而初一隊(duì)成績較好.
【點(diǎn)評】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì),從統(tǒng)計(jì)中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)能清楚地表示出每個項(xiàng)目的數(shù)據(jù).
19.有5張形狀、大小和質(zhì)地都相同的卡片,正面分別寫有字母:A,B,C,D,E和一個等式,背面完全一致.現(xiàn)將5張卡片分成兩堆,第一堆:A,B,C;第二堆:D,E,并從第一堆中抽出第一張卡片,再從第二堆中抽出第二張卡片.
(1)請用畫樹狀或列表法表示出所有可能結(jié)果;(卡片可用A,B,C,D,E表示)
(2)將“第一張卡片上x的值是第二張卡片中方程的解”記作事件M,求事件M的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀法.
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)畫出樹狀展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù);
(2)根據(jù)方程解得定義,找出第一張卡片上x的值是第二張卡片中方程的解的結(jié)果數(shù),然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解:(1)畫樹狀為:
共有6種等可能的結(jié)果數(shù);
(2)因?yàn)榈谝粡埧ㄆ蟲的值是第二張卡片中方程的解的結(jié)果數(shù)為2,
所以事件M的概率= = .
【點(diǎn)評】本題考查了列表法或樹狀法:通過列表法或樹狀法展示所有等可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.
20.某商店6月份的利潤是2000元,要使8月份的利潤達(dá)到3380元,平均每月利潤增長的百分率是多少?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】增長率問題.
【分析】如果設(shè)平均每月增長的百分率是x,那么7月份的利潤是2000(1+x)元,8月份的利潤是2000(1+x)2元,而此時利潤是3380元,根據(jù)8月份的利潤不變,列出方程.
【解答】解:設(shè)平均每月增長的百分率是x,依題意,得
2000(1+x)2=3380,
解得x1=0.3,x2=﹣2.3(不合題意,舍去).
答:平均每月增長的百分率應(yīng)該是30%.
【點(diǎn)評】本題考查的是平均增長率問題.明確增長前的量×(1+平均增長率)增長的次數(shù)=增長后的量是解題的關(guān)鍵.
21.為了弘揚(yáng)“社會主義核心價值觀”,市政府在廣場樹立公益廣告牌,如所示,為固定廣告牌,在兩側(cè)加固鋼纜,已知鋼纜底端D距廣告牌立柱距離CD為3米,從D點(diǎn)測得廣告牌頂端A點(diǎn)和底端B點(diǎn)的仰角分別是60°和45°.
(1)求公益廣告牌的高度AB;
(2)求加固鋼纜AD和BD的長.(注意:本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】(1)根據(jù)已知和tan∠ADC= ,求出AC,根據(jù)∠BDC=45°,求出BC,根據(jù)AB=AC﹣BC求出AB;
(2)根據(jù)cos∠ADC= ,求出AD,根據(jù)cos∠BDC= ,求出BD.
【解答】解:(1)在Rt△ADC中,∵∠ADC=60°,CD=3,
∵tan∠ADC= ,
∴AC=3•tan60°=3 ,
在Rt△BDC中,∵∠BDC=45°,
∴BC=CD=3,
∴AB=AC﹣BC=(3 ﹣3)米.
(2)在Rt△ADC中,∵cos∠ADC= ,
∴AD= = =6米,
在Rt△BDC中,∵cos∠BDC= ,
∴BD= = =3 米.
【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的知識,掌握仰角的概念和銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.
22.△ABC中,AC=BC,以BC上一點(diǎn)O為圓心,OB為半徑作⊙O交AB于點(diǎn)D.已知經(jīng)過點(diǎn)D的⊙O切線恰好經(jīng)過點(diǎn)C.
(1)試判斷CD與AC的位置關(guān)系,并證明;
(2)若△ACB∽△CDB,且AC=3,求中陰影部分的面積.
【考點(diǎn)】切線的判定;扇形面積的計(jì)算;相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)連結(jié)OD,由OD=OB得∠ODB=∠B,由AC=CB得∠A=∠B,則∠A=∠ODB,于是可判斷OD∥AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ACD=∠ODC,再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ODC=90°,則∠DCA=90°,所以CD⊥AC;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),由△ACB∽△CDB得到∠BCD=∠A,理由三角形外角性質(zhì)易得∠ADC=2∠B,則∠ADC=2∠A,再利用三角形內(nèi)角和定理得∠A+∠ADC=90°,可計(jì)算出∠A=30°,則∠CDB=∠B=30°,∠COD=60°,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系,在Rt△ACD中可計(jì)算出CD= AC= ,再在Rt△ODC中計(jì)算出OD= CD=1,然后利用三角形的面積減去扇形的面積可得到中陰影部分的面積.
【解答】解:(1)CD⊥AC.理由如下:
連結(jié)OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠B,
∵AC=CB,
∴∠A=∠B,
∴∠A=∠ODB,
∴OD∥AC,
∴∠ACD=∠ODC,
∵CD是⊙O切線,
∴∠ODC=90°,
∴∠DCA=90°,
∴CD⊥AC;
(2)∵△ACB∽△CDB,
∴∠BCD=∠A,
∴∠ADC=2∠B,
而∠A=∠B,
∴∠ADC=2∠A,
∵∠A+∠ADC=90°,
∴∠A=30°,
∴∠CDB=∠B=30°,
∴∠COD=60°,
在Rt△ACD中,CD= AC= ,
在Rt△ODC中,OD= CD=1,
∴中陰影部分的面積= ×1× ﹣ = ﹣ .
【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.也考查了扇形的面積計(jì)算和相似三角形的性質(zhì).
23.在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)G是△ABC的重心,且AG⊥CG,CG的延長
線交AB于H.
(1)求證:△CAG∽△ABC;
(2)求S△AGH:S△ABC的值.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);三角形的重心.
【分析】(1)證明:CG交AB于D,設(shè)GD=a,根據(jù)重心的性質(zhì)得CG=2DG=2a,根據(jù)重心的定義得CD為AB邊上的中線,接著根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CD=AD=BD=3a,則∠1=∠3,再利用等角的余角相等得∠1=∠3,所以∠B=∠3,加上∠ACB=∠AGC=90°,于是根據(jù)相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC;
(2)由點(diǎn)G是△ABC的重心,得到CG=2HG,于是得到HG= CH,求得S△AHG= S△ACH,根據(jù)CH為AB邊上的中線,于是得到S△ACH= S△ABC,推出S△AHG= S△ABC,即可得到結(jié)論.
【解答】(1)證明:設(shè)GH=a,
∵點(diǎn)G是△ABC的重心,
∴CG=2HG=2a,CH為AB邊上的中線,
∴CH=AH=BH=3a,
∴∠1=∠3,
∵AG⊥CG,
∴∠2+∠3=90°,
而∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠3,
∴∠B=∠3,
而∠ACB=∠AGC=90°,
∴△CAG∽△ABC;
(2)∵點(diǎn)G是△ABC的重心,
∴CG=2HG,
∴HG= CH,
∴S△AHG= S△ACH,
∵CH為AB邊上的中線,
∴S△ACH= S△ABC,
∴S△AHG= S△ABC,
∴S△AGH:S△ABC=1:6.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的重心:三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn);重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1.也考查相似三角形的判定與性質(zhì).
24.某水果店出售某種水果,已知該水果的進(jìn)價為6元/千克,若以9元/千克的價格銷售,則每天可售出200千克;若以11元/千克的價格銷售,則每天可售出120千克.通過調(diào)查驗(yàn)證,我發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(千克)與銷售單價x(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系.
(1)求y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)銷售單價為何值時,該水果店銷售這種水果每天獲取的利潤達(dá)到280元?(利潤=銷售量×(銷售單價﹣進(jìn)價))
(3)該水果店在進(jìn)貨成本不超過720元時,銷售單價定為多少元可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)以9元/千克的價格銷售,那么每天可售出200千克;以11元/千克的價格銷售,那么每天可售出120千克,就相當(dāng)于直線過點(diǎn)(9,200),(11,120),然后列方程組解答即可;
(2)根據(jù)利潤=銷售量×(銷售單價﹣進(jìn)價)寫出方程求出即可;
(3)根據(jù)利潤=銷售量×(銷售單價﹣進(jìn)價)寫出解析式,然后利用配方法求最大值,再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得出答案.
【解答】解:(1)設(shè)y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關(guān)系式為:y=kx+b,
根據(jù)題意可得: ,
解得: .
故y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣40x+560;
(2)∵W=280元,
∴280=(﹣40x+560)×(x﹣6)
解得:x1=7,x2=13.
答:當(dāng)銷售單價為7元或13元時,每天可獲得的利潤達(dá)到W=280元;
(3)∵利潤=銷售量×(銷售單價﹣進(jìn)價)
∴W=(﹣40x+560)(x﹣6)
=﹣40x2+800x﹣3360
=﹣40(x﹣10)2+640,
當(dāng)售價為10元,則y=560﹣400=160,
160×6=960(元)>720元,
則當(dāng)(﹣40x+560)×6=720,
解得:x=11.
即當(dāng)銷售單價為11元時,每天可獲得的利潤最大,最大利潤是600元.
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用,在解答時理清題意設(shè)出一次函數(shù)的解析式建立方程組是關(guān)鍵.
25.在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣8,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,n)(n>0).P是直線AB上的一個動點(diǎn),作PC⊥x軸,垂足為C.記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P′(點(diǎn)P′不在y軸上),連接PP′,P′A,P′C.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)若點(diǎn)P在第一象限,記直線AB與P′C的交點(diǎn)為D.當(dāng)P′D:DC=5:13時,求m的值;
(2)若∠ACP′=60°,試用m的代數(shù)式表示n;
(3)若點(diǎn)P在第一象限,是否同時存在m,n,使△P′CA為等腰直角三角形?若存在,請求出所有滿足要求的m,n的值;若不存在,請說明理由.
【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)由條件可得△P′PD∽△CAD,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程,可求得m的值;
(2)過P′H⊥AC于H,設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n,把x=﹣8,y=0代入得:﹣8k+n=0,于是得到直線的解析式是:y= x+n,求得PC=P′H= +n,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到 = ,即可得到結(jié)論;
(3)分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分別為直角進(jìn)行討論,由等腰三角形可先求得m的值,再根據(jù)相似三角形可得到關(guān)于n的方程,可求得n的值.
【解答】解:(1)∵PP′∥AC,
∴△P′PD∽△CAD,
∴ = = ,
∴ = ,
解得:m= ;
(2)過P′H⊥AC于H,設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n,
把x=﹣8,y=0代入得:﹣8k+n=0,
∴k= ,
∴直線的解析式是:y= x+n,
把x=m代入得y= +n,
∴PC=P′H= +n,
∵∠ACP′=60°,
∴ = ,
∴ = ,
∴n= ;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限且△P′CA為等腰直角三角形時,分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分別為直角進(jìn)行討論.
第一種情況:
若∠AP′C=90°,P′A=P′C,
過點(diǎn)P′作P′H⊥x軸于點(diǎn)H.
∴PP′=CH=AH=P′H= AC.
∴2m= (m+8),
∴m= ,P′H= ,
∵△AOB∽△ACP,
∴ ,
∴n=4;
第二種情況:
若∠P′AC=90°,P′A=AC,則PP′=AC,
∴2m=m+8,
∴m=8,
∵△P′AC為等腰直角三角形,
∴四邊形P′ACP為正方形,
∴PC=AC=16,
∵△AOB∽△ACP,
∴ ,即 = ,
∴n=8;
第三種情況:
若∠P′CA=90°,則點(diǎn)P′,P都在第一象限內(nèi),這與條件矛盾.
∴△P′CA不可能是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.
∴所有滿足條件的m= ,n=4或m=8,n=8.
【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與形等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用,在(1)中由條件證明三角形相似,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵;在(3)中分三種情況分別討論是解題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)知識的綜合考查,難度不大,注意對基礎(chǔ)知識的熟練應(yīng)用.
26.(14分)已知點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函數(shù)y=x2+mx+n的象上,當(dāng)x1=1、x2=3時,y1=y2.
(1)①求m;②若拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn),求n的值.
(2)若P(a,b1),Q(3,b2)是函數(shù)象上的兩點(diǎn),且b1>b2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(3)若對于任意實(shí)數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2,求n的范圍.
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);二次函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)①利用拋物線的對稱性可得拋物線的對稱軸為直線x=2,則根據(jù)拋物線對稱軸方程得到﹣ =2,然后解方程即可得到m的值;
?、诶谩?b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)得到△=m2﹣4n=0,然后解方程即可得到n的值;
(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì),由于x1=1、x2=3時,y1=y2,點(diǎn)P到直線x=2的距離比點(diǎn)Q到直線x=2的距離要大,于是可得到a<1或a>3;
(3)由于對于任意實(shí)數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2,則判斷二次函數(shù)y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1,根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到 ≥1,然后解不等式即可.
【解答】解:(1)①∵當(dāng)x1=1、x2=3時,y1=y2,
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B為拋物線上的對稱點(diǎn),
∴拋物線的對稱軸為直線x=2,
即﹣ =2,
∴m=﹣4;
②∵拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn),
∴△=m2﹣4n=0,
而m=﹣4,
∴n=4;
(2)∵x1=1、x2=3時,y1=y2,
而拋物線開口向上,
∴當(dāng)a>3時,b1>b2,或a<1時,b1>b2,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<1或a>3;
(3)∵對于任意實(shí)數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2,
∴二次函數(shù)y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1,
即 ≥1,
∴n≥5.
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn):把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程;△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù).也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵.
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