內江市九年級數(shù)學上冊期末試卷
內江市九年級數(shù)學上冊期末試卷
九年級是一個至關重要的學年，同學們一定要在期末考試即將到來之前準備好數(shù)學期末試卷來認真復習，下面是學習啦小編為大家?guī)淼年P于內江市九年級數(shù)學上冊期末試卷，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
內江市九年級數(shù)學上冊期末試卷：
一、選擇題(本大題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的A、B、C、D四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.下列計算正確的是( )
A. =2 B. ﹣ = C. × = D.( )=﹣3
【考點】二次根式的混合運算.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則對A、C進行判斷;根據(jù)二次根式的加減法對B進行判斷;根據(jù)二次根式的性質對D進行判斷.
【解答】解：A、原式=2 ，所以A選項錯誤;
B、原式=2﹣ ，所以B選項錯誤;
C、原式= = ，所以C選項正確;
D、原式=3，所以D選項錯誤.
故選C.
【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.
2.下列說法正確的是( )
A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間都在降雨
B.“拋一枚硬幣正面朝上的概率為 ”表示每拋2次就有一次正面朝上
C.“彩票中獎的概率為1%”表示買100張彩票肯定會中獎
D.“拋一枚正方體骰子，朝上的點數(shù)為2的概率為 ”表示隨著拋擲次數(shù)的增加，“拋出朝上的點數(shù)為2”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在 附近
【考點】概率的意義.
【分析】概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機會的大小，機會大也不一定發(fā)生.
【解答】解：A、“明天下雨的概率為80%”指的是明天下雨的可能性是80%，錯誤;
B、這是一個隨機事件，拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先無法預料，錯誤;
C、這是一個隨機事件，買這種彩票，中獎或者不中獎都有可能，但事先無法預料，錯誤.
D、正確
故選D.
【點評】正確理解概率的含義是解決本題的關鍵.
3.使 有意義的x的取值范圍是( )
A.x>2 B.x<﹣2 C.x≤2 D.x≥2
【考點】二次根式有意義的條件.
【分析】二次根式有意義，被開方數(shù)是非負數(shù).
【解答】解：依題意，得
x﹣2≥0，
解得，x≥2.
故選：D.
【點評】本題考查了二次根式有意義的條件.概念：式子 (a≥0)叫二次根式.性質：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義.
4.將一元二次方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到的結果是( )
A.(x+4)2=1 B.(x﹣4)2=3 C.(x+2)2=4 D.(x﹣2)2=5
【考點】解一元二次方程-配方法.
【分析】移項，配方，變形后即可得出選項.
【解答】解：x2﹣4x﹣1=0，
x2﹣4x=1，
x2﹣4x+4=1+4，
(x﹣2)2=5，
故選D.
【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，能正確配方是解此題的關鍵.
5.在四張完全相同的卡片上分別印有等邊三角形、平行四邊形、等腰梯形、圓的案，現(xiàn)將印有案的一面朝下，混合后從中隨機抽取一張，則抽到的卡片上印有的案是軸對稱形的概率為( )
A. B. C. D.
【考點】概率公式;軸對稱形.
【分析】先求出是軸對稱形的形的個數(shù)，再除以形總數(shù)即可得出結論.
【解答】解：∵等邊三角形、平行四邊形、等腰梯形、圓共有3個形是軸對稱形，
∴抽到的卡片上的案是軸對稱形的概率是 ，
故選D.
【點評】本題主要考查了概率的計算方法，在解題時根據(jù)題意列出式子是本題的關鍵.
6.2011年初中畢業(yè)生診斷考試)某校2016屆九年級學生畢業(yè)時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送了2450張相片，如果全班有x名學生，根據(jù)題意，列出方程為( )
A.x(x﹣1)=2450 B.x(x+1)=2450 C.2x(x+1)=2450 D.
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【分析】根據(jù)題意得：每人要贈送(x﹣1)張相片，有x個人，然后根據(jù)題意可列出方程：(x﹣1)x=2450.
【解答】解：根據(jù)題意得：每人要贈送(x﹣1)張相片，有x個人，
∴全班共送：(x﹣1)x=2450，
故選：A.
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，本題要注意讀清題意，弄清楚每人要贈送x﹣1張相片，有x個人是解決問題的關鍵.
7.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，下列各式成立的是( )
A.b=a•sinB B.a=b•cosB C.a=b•tanB D.b=a•tanB
【考點】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷.
【解答】解：A、∵sinB= ，∴b=c•sinB，故選項錯誤;
B、∵cosB= ，∴a=c•cosB，故選項錯誤;
C、∵tanB= ，∴a= ，故選項錯誤;
D、∵tanB= ，∴b=a•tanB，故選項正確.
故選D.
【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.
8.小正方形的邊長均為1，則下列中的三角形與△ABC相似的是( )
【考點】相似三角形的判定.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應成比例的兩三角形相似判斷即可.
【解答】解：根據(jù)題意得：AB= = ，AC= ，BC=2，
∴AC：BC：AB= ：2： =1： ： ，
A、三邊之比為1： ：2 ，中的三角形與△ABC不相似;
B、三邊之比為 ： ：3，中的三角形與△ABC不相似;
C、三邊之比為1： ： ，中的三角形與△ABC相似;
D、三邊之比為2： ： ，中的三角形與△ABC不相似.
故選C.
【點評】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關鍵.
9.如果y= + +2，那么2x+y=( )
A.4 B.5 C.6 D.無法確定
【考點】二次根式有意義的條件.
【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)列出不等式，解不等式求出x的值，代入已知式子求出y的值，計算即可.
【解答】解：由題意得，2x﹣3≥0，3﹣2x≥0，
解得，x= ，
則y=2，
∴2x+y=5，
故選：B.
【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)是解題的關鍵.
10.如所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則DF：FC=( )
A.1：4 B.1：3 C.2：3 D.1：2
【考點】相似三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.
【分析】首先證明△DFE∽△BAE，然后利用對應邊成比例，E為OD的中點，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值.
【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，
則△DFE∽△BAE，
∴ = ，
∵O為對角線的交點，
∴DO=BO，
又∵E為OD的中點，
∴DE= DB，
則DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2.
故選D.
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質，難度適中，解答本題的關鍵是根據(jù)平行證明△DFE∽△BAE，然后根據(jù)對應邊成比例求值.
11.若關于x的一元二次方程(a﹣1)x2+2x+3=0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是( )
A.2 B.1 C.0 D.﹣1
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】由關于x的一元二次方程(a﹣1)x2+2x+3=0有實數(shù)根，則a﹣1≠0，且△≥0，即△=22﹣4(a﹣1)×3=16﹣12a≥0，解不等式得到a的取值范圍，最后確定整數(shù)a的最大值.
【解答】解：∵關于x的一元二次方程(a﹣1)x2+2x+3=0有實數(shù)根，
∴a﹣1≠0，且△≥0，即△=22﹣4(a﹣1)×3=16﹣12a≥0，解得a≤ ，
∴a的取值范圍為a≤ 且a≠1，
所以整數(shù)a的最大值是0.
故選C.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c為常數(shù))根的判別式△=b2﹣4ac.當△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0，方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義和不等式的特殊解.
12.Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，點D是BC的中點，點F在線段AD上，DF=CD，BF交CA于E點，過點A作DA的垂線交CF的延長線于點G，下列結論：①CF2=EF•BF;②AG=2DC;③AE=EF;④AF•EC=EF•EB.其中正確的結論有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【考點】相似三角形的判定與性質;等腰直角三角形.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)等邊對等角的性質求出∠DCF=∠DFC，然后求出DF=DB，根據(jù)等邊對等角求出∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，根據(jù)直角三角形的性質求出△BCF和△CEF相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式整理即可得到①正確;根據(jù)互余關系求出∠G=∠ACG，再根據(jù)等角對等邊的性質求出AG=AC，然后求出AG=BC，然后利用“角角邊”證明△BCE和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AG=BC，從而判斷②正確;根據(jù)角的互余關系可以求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°再根據(jù)∠ADC的正切值為2可知∠ADC≠60°，然后求出∠FDC≠∠DFC，然后求出∠EAF≠∠EFA，從而得到AE≠EF，判斷出③錯誤;根據(jù)根據(jù)直角三角形的性質求出△CEF和△BCE相似，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例列式求出EC2=EF•EB，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=CE，從而判斷出④正確.
【解答】解：∵DF=CD，
∴∠DCF=∠DFC，
∵AC=BC，點D是BC的中點，
∴DF=DB=DC，
∴∠DBF=∠DFB，
又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，
∴∠BFC= ×180°=90°，
∴CF⊥BE，
∴Rt△BCF∽Rt△CEF，
∴ = ，
∴CF2=EF•BF，故①正確;
∵AG⊥AD，
∴∠G+∠AFG=90°，
又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵AC=BC，
∴AG=BC，
又∵∠CBE=∠ACG，
∴∠CBE=∠G，
在△BCE和△AGF中，
∵ ，
∴△BCE≌△AGF(AAS)，
∴AG=BC，
∵點D是BC的中點，
∴BC=2DC，
∴AG=2DC，故②正確;
根據(jù)角的互余關系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，
∵tan∠ADC=2，
∴∠ADC≠60°，
∵∠DCF=∠DFC，
∴∠FDC≠∠DFC，
∴∠EAF≠∠EFA，
∴AE≠EF，故③錯誤;
∵∠ACB=90°，CF⊥BE，
∴△CEF∽△BCE，
∴ = ，
∴EC2=EF•EB，
∵△BCE≌△AGF(已證)，
∴AF=EC，
∴AF•EC=EF•EB，故④正確;
所以，正確的結論有①②④.
故選B.
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，根據(jù)等角對等邊以及等邊對等角的性質求出AG=AC，然后證明△BCE和△AGF全等是證明的關鍵，也是本題的難點.
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，請將最后答案直接填在題中橫線上)
13.化簡 = .
【考點】分母有理化.
【分析】直接利用二次根式的性質化簡求出答案.
【解答】解： = = .
故答案為： .
【點評】此題主要考查了分母有理化，正確找出有理化因式是解題關鍵.
14.有5張撲克牌，牌面朝下，隨機抽出一張記下花色后放回，洗牌后再這樣抽，經歷多次試驗后，得到隨機抽出一張牌是紅桃的頻率是0.2，則紅桃大約有 1 張.
【考點】利用頻率估計概率.
【專題】計算題;概率及其應用.
【分析】根據(jù)概率的頻率定義可知，由于抽到紅桃的概率為0.2，根據(jù)概率公式即可求出紅桃的張數(shù).
【解答】解：由題意可得，紅桃大約有：5×0.2=1(張)
故答案為：1.
【點評】本題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是了解部分的具體數(shù)目=總體數(shù)目×相應頻率，屬基礎題.
15.若x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，則(x1﹣1)(x2﹣1)= 3 .
【考點】根與系數(shù)的關系.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系，得出x1+x2，x1x2，再整體代入即可得出答案.
【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1，
∴(x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1=﹣1+3+1=3，
故答案為3.
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.
16.放置的△OA1B1、△B1A2B2、△B2A3B3，…，都是邊長為1的等邊三角形，點A在x軸上，點O，B1，B2，B3，…都在直線l上，則點A2015的坐標為 (1008，1007 ) .
【考點】一次函數(shù)象上點的坐標特征;等邊三角形的性質.
【專題】規(guī)律型.
【分析】根據(jù)題意得出直線B2B1的解析式為：y= x，進而得出B1，B2，B3坐標，進而得出坐標變化規(guī)律，進而得出答案.
【解答】解：過B1向x軸作垂線B1C，垂足為C，
由題意可得：A(1，0)，AO∥A1B1，∠B1OC=30°，
∴CB1=OB1cos30°= ，
∴B1的橫坐標為： ，則B1的縱坐標為： ，
∴點B1，B2，B3，…都在直線y= x上，
∴B1( ， )，
同理可得出：A1的橫坐標為：1，
∴y= ，
∴A1(2， )，
…
An(1+ ， ).
∴A2015(1008，1007 ).
故答案為(1008，1007 ).
【點評】此題主要考查了一次函數(shù)象上點的坐標特征以及數(shù)字變化類，得出A點橫縱坐標變化規(guī)律是解題關鍵.
三、解答題(本大題共6小題，共56分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟
17.(1)計算：4cos30°﹣ ﹣ +(﹣ )﹣2
(2)解方程：x2﹣2x﹣1=0.
【考點】二次根式的混合運算;負整數(shù)指數(shù)冪;解一元二次方程-配方法;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】計算題.
【分析】(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和負整數(shù)指數(shù)得意義得到原式=4× ﹣(2﹣ )﹣3 +9，然后合并即可;
(2)利用配方法解方程.
【解答】解：(1)原式=4× ﹣(2﹣ )﹣3 +9
=2 ﹣2+ ﹣3 +9
=7;
(2)x2﹣2x=1，
x2﹣2x+1=2，
(x﹣1)2=2，
x﹣1= ，
所以x1=1+ ，x2=1﹣ .
【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.也考查了配方法解一元二次方程.
18.小明與小亮玩游戲：他們將牌面數(shù)字分別是2，3，4的三張撲克牌充分洗勻后，背面朝上放在桌面上，規(guī)定游戲規(guī)則如下：先從中隨機抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后將該牌放回并重新洗勻，再從中隨機抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為個位上的數(shù)字.如果組成的兩位數(shù)是2的倍數(shù)，則小明勝;否則，小亮勝.
(1)請用樹狀或列表法表示能組成哪些兩位數(shù)?
(2)這個游戲對雙方公平嗎?請說明理由.
【考點】游戲公平性;列表法與樹狀法.
【分析】(1)根據(jù)題意直接列出樹形或列表即可;
(2)游戲是否公平，關鍵要看是否游戲雙方贏的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等.
【解答】解：(1)列表得：
第一次 第二次 2 3 4
2 (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，2) (4，3) (4，4)
由表格可以看出，所有可能出現(xiàn)的結果共有9種，分別是：22，23，24，32，33，34，42，43，44，而且每種結果出現(xiàn)的可能性都相同;
(2)這個游戲規(guī)則對雙方不公平
由(1)可知：P(小明獲勝)= ，P(小亮獲勝)= ，
，
所以游戲不公平.
【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀法求概率.列表法或畫樹狀法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件.游戲雙方獲勝的概率相同，游戲就公平，否則游戲不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
19.一數(shù)學興趣小組為了測量河對岸樹AB的高，在河岸邊選擇一點C，從C處測得樹梢A的仰角為45°，沿BC方向后退10米到點D，再次測得A的仰角為30°，求樹高.(結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： ≈1.414， ≈1.732)
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.
【分析】先設AB=x米，根據(jù)題意分析形：本題涉及到兩個直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，應利用其公共邊BA構造等量關系，解三角形可求得CB、DB的數(shù)值，再根據(jù)CD=BD﹣BC=10，進而可求出答案.
【解答】解：∵設AB=x米，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠D=30°，∠ACB=45°，CD=10，
∴CB=x，AD=2x，BD= = x，
∵CD=BD﹣BC=10，
x﹣x=10，
∴x=5( +1)≈13.7.
答：該樹高是13.7米.
【點評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學生能借助俯角、仰角構造直角三角形并結合形利用三角函數(shù)解直角三角形.
20.四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E是AB的中點.
(1)求證：△ADC∽△ACB;
(2)求證：CE∥AD;
(3)若AB=6，AD=4，求 的值.
【考點】相似三角形的判定與性質.
【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定與性質，可得，根據(jù)比例的性質，可得答案;
(2)根據(jù)直角三角形的性質，可得CE與AE的關系，根據(jù)等腰三角形的性質，可得∠EAC=∠ECA，根據(jù)角平分線的定義，可得∠CAD=∠CAB，根據(jù)平行線的判定，可得答案;
(3)由(2)知CE∥AD，進而得到△AFD∽△CFE，AD：CE=AF：CF;求得CE=3，AD=4，即可解決問題.
【解答】證明：(1)∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB.
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB;
(2)∵E是AB的中點，
∴CE= AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA.
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠ECA，
∴CE∥AD;
(3)解：由(2)知CE∥AD;
∴△AFD∽△CFE，
∴ AD：CE=AF：CF;
∵CE= AB=3，AD=4，
，
∴ .
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，(1)利用了相似三角形的判定與性質，比例的性質;(2)利用了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定，牢固掌握直角三角形的性質、相似三角形的判定及其性質是解題的關鍵.
21.某超市準備進一批季節(jié)性小家電，每個進價是40元，經市場預測：銷售價定為50元，可售出400個，定價每增加1元，銷售量將減少10個.超市若要保證獲得利潤6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每個定價應該是多少元?
【考點】一元二次方程的應用.
【專題】銷售問題.
【分析】設每個定價增加x元，根據(jù)總利潤=每個的利潤×銷售量，銷售量為400﹣10x，列方程求解，根據(jù)題意取舍，即可得出答案.
【解答】解：設每個定價增加x元，根據(jù)題意得：
(x+10)(400﹣10x)=6000，
整理得：x2﹣30x+200=0
解得x1=10，x2=20，
∵顧客要實惠，
∴x=10，
∴x+50=60.
答：當定價為60元時利潤達到6000元;
【點評】考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是能夠表示每個的銷售利潤和所有的銷售量，從而列出方程求解即可.
22.在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上的一動點(不與B，C重合)，∠ADE=∠B=α，且cosα= ，DE交AC于點E.
(1)求證：△ABD∽△DCE;
(2)探究：在點D運動過程中，△ADE能否構成等腰三角形?若能，求出BD的長;若不能，請說明理由.
【考點】相似三角形的判定與性質;等腰三角形的判定;解直角三角形.
【專題】動點型.
【分析】(1)由AB=AC，易得∠B=∠C，又由∠ADE=∠B=α，根據(jù)三角形外角的性質，可證得∠BAD=∠EDC，繼而證得結論;
(2)分別從DE=AD與DE=AE去分析求解即可求得答案.
【解答】(1)證明：∵在△ABC中，AB=AC=10，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B=α，∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE;
(2)解：過點A作AF⊥BC于點F，
?、偃鬌E=AD，則△ABD≌△DCE，
∴CD=AB=10，
∵∠ADE=∠B=α，且cosα= ，
∴BF=AB•cosα=10× =8，
∵AB=AC，
∴BC=2BF=16，
∴BD=BC﹣CD=6;
?、谌鬌E=AE，則∠EAD=∠ADE，
∵∠B=∠C=∠ADE=α，
∴∠B=∠ADE，∠EAD=∠C，
∴△ABC∽△EAD，
∴ = = ，
∵△ABD∽△DCE，
∴ ，
∴CD= ，
∴BD= ;
綜上所述：△ADE能夠成等腰三角形，BD=6或 .
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及三角形外角的性質.注意準確作出輔助線，利用分類討論思想求解是解此題的關鍵.
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