江蘇省九年級上學期期末數(shù)學試卷
同學們檢驗自己的數(shù)學學習成果最直接的方法便是通過試題，為即將到來的九年級數(shù)學期末考試，同學們要準備哪些期末試卷來復習呢?下面是學習啦小編為大家?guī)淼年P于江蘇省九年級上學期期末數(shù)學試卷，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
江蘇省九年級上學期期末數(shù)學試卷：
一、選擇題(本題共8小題，每小題3分，共24分)
1.△ABC中，D，E兩點分別在AB，AC邊上，且DE∥BC，如果 ，AC=6，那么AE的長為( )
A.3 B.4 C.9 D.12
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，又AC=6，
∴AE=4，
故選：B.
【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，正確運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.
2.下列說法正確的是( )
A.一個游戲中獎的概率是 ，則做100次這樣的游戲一定會中獎
B.為了了解全國中學生的心理健康狀況，應采用普查的方式
C.一組數(shù)據(jù)0，1，2，1，1的眾數(shù)和中位數(shù)都是1
D.若甲組數(shù)據(jù)的方差S甲2=0.2，乙組數(shù)據(jù)的方差S乙2=0.5，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
【考點】概率的意義;全面調查與抽樣調查;中位數(shù);眾數(shù);方差.
【分析】根據(jù)概率、方差、眾數(shù)、中位數(shù)的定義對各選項進行判斷即可.
【解答】A、一個游戲中獎的概率是 ，則做100次這樣的游戲有可能中獎一次，該說法錯誤，故本選項錯誤;
B、為了了解全國中學生的心理健康狀況，應采用抽樣調查的方式，該說法錯誤，故本選項錯誤;
C、這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1，中位數(shù)是1，故本選項正確;
D、方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小，則甲組數(shù)據(jù)比乙組穩(wěn)定，故本選項錯誤;
故選C.
【點評】本題考查了概率、方差、眾數(shù)、中位數(shù)等知識，屬于基礎題，掌握各知識點是解題的關鍵.
3.某種藥品原價為36元/盒，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為25元/盒.設平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是( )
A.36(1﹣x)2=36﹣25 B.36(1﹣2x)=25 C.36(1﹣x)2=25 D.36(1﹣x2)=25
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【專題】增長率問題.
【分析】可先表示出第一次降價后的價格，那么第一次降價后的價格×(1﹣降低的百分率)=25，把相應數(shù)值代入即可求解.
【解答】解：第一次降價后的價格為36×(1﹣x)，兩次連續(xù)降價后售價在第一次降價后的價格的基礎上降低x，
為36×(1﹣x)×(1﹣x)，
則列出的方程是36×(1﹣x)2=25.
故選：C.
【點評】考查由實際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法.若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a(1±x)2=b.
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，則BC的長為( )
A.4 B.2 C. D.
【考點】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)cosB= ，可得 = ，再把AB的長代入可以計算出CB的長.
【解答】解：∵cosB= ，
∴ = ，
∵AB=6，
∴CB= ×6=4，
故選：A.
【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦.
5.兩個相似三角形的面積比為1：4，那么它們的周長比為( )
A.1： B.2：1 C.1：4 D.1：2
【考點】相似三角形的性質.
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形周長的比等于相似比解答即可.
【解答】解：∵兩個相似三角形的面積比為1：4，
∴它們的相似比為1：2，
∴它們的周長比為1：2.
故選：D.
【點評】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形周長的比等于相似比是解題的關鍵.
6.已知二次函數(shù)y=﹣(x+h)2，當x<﹣3時，y隨x的增大而增大，當x>﹣3時，y隨x的增大而減小，當x=0時，y的值為( )
A.﹣1 B.﹣9 C.1 D.9
【考點】二次函數(shù)的性質.
【分析】根據(jù)題意可得二次函數(shù)的對稱軸x=﹣3，進而可得h的值，從而可得函數(shù)解析式y(tǒng)=﹣(x﹣3)2，再把x=0代入函數(shù)解析式可得y的值.
【解答】解：由題意得：二次函數(shù)y=﹣(x+h)2的對稱軸為x=﹣3，
故h=﹣3，
把h=﹣3代入二次函數(shù)y=﹣(x+h)2可得y=﹣(x﹣3)2，
當x=0時，y=﹣9，
故選：B.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質，關鍵是掌握二次函數(shù)定點式y(tǒng)=a(x﹣h)2+k，對稱軸為x=h.
7.線段AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于( )
A.20° B.30° C.35° D.70°
【考點】圓周角定理;垂徑定理.
【專題】計算題.
【分析】先根據(jù)垂徑定理得到 = ，然后根據(jù)圓周角定理得∠BAD= ∠BOC=35°.
【解答】解：∵弦CD⊥直徑AB，
∴ = ，
∴∠BAD= ∠BOC= ×70°=35°.
故選C.
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.也考查了垂徑定理.
8.小明為了研究關于x的方程x2﹣|x|﹣k=0的根的個數(shù)問題，先將該等式轉化為x2=|x|+k，再分別畫出函數(shù)y=x2的象與函數(shù)y=|x|+k的象(如)，當方程有且只有四個根時，k的取值范圍是( )
A.k>0 B.﹣
【考點】二次函數(shù)的象;一次函數(shù)的象.
【分析】直接利用根的判別式，進而結合函數(shù)象得出k的取值范圍.
【解答】解：當x>0時，y=x+k，y=x2，
則x2﹣x﹣k=0，
b2﹣4ac=1+4k>0，
解得：k>﹣ ，
當x<0時，y=﹣x+k，y=x2，
則x2+x﹣k=0，
b2﹣4ac=1+4k>0，
解得：k>﹣ ，
如所示一次函數(shù)一部分要與二次函數(shù)有兩個交點，則k<0，
故k的取值范圍是：﹣
故選：B.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)象與一次函數(shù)象綜合應用，正確利用數(shù)形結合得出是解題關鍵.
二、填空題(本題共有10小題，每小題3分，共30分)
9.已知 = ，則 = ﹣ .
【考點】比例的性質.
【專題】計算題.
【分析】直接利用分比性質計算即可.
【解答】解：∵ = ，
∴ = =﹣ .
故答案為﹣ .
【點評】本題考查了比例的性質：內項之積等于外項之積;合比性質;分比性質;合分比性質;等比性質.
10.已知圓錐的底面半徑為3，側面積為15π，則這個圓錐的高為 4 .
【考點】圓錐的計算;勾股定理.
【分析】圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2，把相應數(shù)值代入即可求得母線長，利用勾股定理即可求得圓錐的高.
【解答】解：設圓錐的母線長為R，則15π=2π×3×R÷2，解得R=5，
∴圓錐的高= =4.
【點評】用到的知識點為：圓錐側面積的求法;圓錐的高，母線長，底面半徑組成直角三角形.
11.已知關于x的一元二次方程 有兩個不相等的根，則k的值為 k>﹣3 .
【考點】根的判別式.
【分析】方程有兩個不相等的實數(shù)根，則△>0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍.
【解答】解：由題意知，△=12+4k>0，
解得：k>﹣3.
故答案為：k>﹣3.
【點評】本題考查了根的判別式的知識，總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;
(3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.
12.小明把如所示的平行四邊形紙板掛在墻上，完飛鏢游戲(每次飛鏢均落在紙板上，且落在紙板的任何一個點的機會都相等)，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是 .
【考點】中心對稱形;平行四邊形的性質.
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質求出平行四邊形對角線所分的四個三角形面積相等，再求出S1=S2即可.
【解答】解：根據(jù)平行四邊形的性質可得：平行四邊形的對角線把平行四邊形分成的四個面積相等的三角形，
根據(jù)平行線的性質可得S1=S2，
則陰影部分的面積占 ，
則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是 .
故答案為： .
【點評】此題主要考查了幾何概率，以及中心對稱形，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比，關鍵是根據(jù)平行線的性質求出陰影部分的面積與總面積的比.
13.過圓O內一點P的最長的弦，最短弦的長度分別是8cm，6cm，則OP= cm .
【考點】垂徑定理;勾股定理.
【分析】根據(jù)直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑是8cm;最短弦即是過點P且垂直于過點P的直徑的弦;根據(jù)垂徑定理即可求得CP的長，再進一步根據(jù)勾股定理，可以求得OP的長.
【解答】解：如所示，直徑AB⊥弦CD于點P，
根據(jù)題意，得AB=8cm，CD=6cm，OC= AB=4cm，
∵CD⊥AB，
∴CP= CD=3cm.
根據(jù)勾股定理，得OP= = = (cm)，
故答案為： cm.
【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用，能根據(jù)垂徑定理得出CP= CD是解此題的關鍵.
14.在Rt△ABC中，∠C=90°，中線AD，CE相交于G，且CG=3，則AB= 9 .
【考點】三角形的重心;直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據(jù)重心的概念得到點G是△ABC的重心，根據(jù)重心的性質求出GE，得到CE，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.
【解答】解：∵中線AD，CE相交于G，
∴點G是△ABC的重心，
∴GE= CG=1.5，
∴CE=CG+GE=4.5，
∵∠C=90°，CE是中線，
∴AB=2CE=9.
故答案為：9.
【點評】本題考查的是三角形的重心的概念和性質、直角三角形的性質，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.
15.若函數(shù)y=mx2﹣6x+2的象與x軸只有一個公共點，則m= 0或 .
【考點】拋物線與x軸的交點.
【專題】計算題;分類討論.
【分析】根據(jù)函數(shù)y=mx2﹣6x+2的象與x軸只有一個公共點，函數(shù)y=mx2﹣6x+2為一次函數(shù)或二次函數(shù)，若為一次函數(shù)則m=0，若為二次函數(shù)則(﹣6)2﹣4×2m=0，從而求得m的值.
【解答】解：分兩種情況：
?、偃魕=mx2﹣6x+2為一次函數(shù)，則m=0;
?、谌魕=mx2﹣6x+2為二次函數(shù)，則(﹣6)2﹣4×2m=0，
∴36﹣8m=0，解得m= ，
故答案為0或 .
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，當不確定是什么函數(shù)時，要分類討論.
16.已知(﹣3，m)、(1，m)是拋物線y=2x2+bx+3的兩點，則b= 4 .
【考點】二次函數(shù)象上點的坐標特征.
【專題】計算題.
【分析】由于兩點(﹣3，m)、(1，m)的縱坐標相等，可得到它們是拋物線上的對稱點，于是得到拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，再根據(jù)二次函數(shù)的性質得到﹣ =﹣1，然后解方程即可.
【解答】解：∵(﹣3，m)、(1，m)是拋物線y=2x2+bx+3的兩點，
∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，
而拋物線的對稱軸為直線=﹣ ，
∴﹣ =﹣1，
∴b=4.
故答案為4.
【點評】本題考查了二次函數(shù)象上點的坐標特征：二次函數(shù)象上點的坐標滿足其解析式也考查了二次函數(shù)的性質.
17.菱形OCBA的頂點B，C在以點O為圓心的弧 上，若∠FOC=∠AOE，OA=1，則扇形OEF的面積為 .
【考點】扇形面積的計算;菱形的性質.
【分析】首先算出扇形OEF的圓心角，然后根據(jù)扇形面積公式S= 進行計算.
【解答】解：連接OB，
∵四邊形OABC為菱形，點B、C在以點O為圓心的 上，若OA=1，∠FOC=∠AOE，
∵OA=OB=AB，
∴三角形ABO為正三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠EOF=120°，
∴S扇形= = .
故答案為： .
【點評】本題主要考查扇形面積的計算和菱形的性質，關鍵是掌握菱形四邊相等和扇形面積計算公式.
18.已知一次函數(shù)y=kx+b的象過點(1，﹣1)且不經(jīng)過第一象限，設m=k2﹣ b，則m的取值范圍是 ≤m< .
【考點】一次函數(shù)的性質.
【分析】根據(jù)題意得出﹣1=k+b，k<0，b<0，進而得出m=k2+ k+ =(k+ )2+ ，根據(jù)k的取值，即可求得m的取值范圍.
【解答】解：∵一次函數(shù)y=kx+b的象過點(1，﹣1)且不經(jīng)過第一象限，
∴﹣1=k+b，k<0，b<0，
∴b=﹣1﹣k，
∵m=k2﹣ b，
∴m=k2+ k+ =(k+ )2+ ，
∴k=﹣ 時，m有最小值為 ，
∵k=0時，m= ，
∴ ≤m< .
【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質，根據(jù)性質得出k的取值是解題的關鍵.
三、解答題(本題共10小題，共96分，請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19.(1)計算：﹣ +20160+|﹣3|+4cos30°
(2)解方程：x2+2x﹣8=0.
【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;解一元二次方程-因式分解法;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)直接利用二次根式的性質以及零指數(shù)冪的性質和絕對值的性質以及特殊角的三角函數(shù)值化簡各數(shù)進而得出答案;
(2)直接利用因式分解法解方程得出答案.
【解答】解：(1)﹣ +20160+|﹣3|+4cos30°
=﹣2 +1+3+4×
=4;
(2)x2+2x﹣8=0
(x﹣4)(x+2)=0，
解得：x1=﹣2，x2=4.
【點評】此題主要考查了因式分解法解方程以及實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵.
20.某校為了更好的開展“學校特色體育教育”，從全校2015～2016學年度八年級各組隨機抽取了60名學生，進行各項體育項目的測試，了解他們的身體素質情況.下表是整理樣本數(shù)據(jù)，得到的關于每個個體的測試成績的部分統(tǒng)計表、：某校60名學生體育測試成績頻數(shù)分布表
成績 劃記 頻數(shù) 百分比
優(yōu)秀 正正正
a 0.3
良好 正正正正正正 30 b
合格 正
9 0.15
不合格 c d
合計
(說明：40﹣﹣﹣55分為不合格，55﹣﹣﹣70分為合格，70﹣﹣﹣85分為良好，85﹣﹣﹣100分為優(yōu)秀)請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)表中的a= 18 ，b= 0.5 ;c= 3 ;d= 0.05
(2)請根據(jù)頻數(shù)分布表，畫出相應的頻數(shù)分布直方.
【考點】頻數(shù)(率)分布直方;頻數(shù)(率)分布表.
【分析】(1)根據(jù)中的劃記即可確定a的值，然后根據(jù)頻率的計算公式求解;
(2)根據(jù)(1)的結果即可作出.
【解答】解：(1)a=18，
b= =0.5，
c=60﹣18﹣30﹣9=3，
d= =0.05.
故答案是：18，0.5，3，0.05;
(2)畫出的直方如所示
【點評】本題考查讀頻數(shù)分布直方的能力和利用統(tǒng)計獲取信息的能力;利用統(tǒng)計獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計，才能作出正確的判斷和解決問題.
21.AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF、EO，若DE=2 ，∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半徑;
(2)求中陰影部分的面積.
【考點】扇形面積的計算;線段垂直平分線的性質;解直角三角形.
【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得CE的長，再根據(jù)已知DE平分AO得CO= AO= OE，解直角三角形求解.
(2)先求出扇形的圓心角，再根據(jù)扇形面積和三角形的面積公式計算即可.
【解答】解：(1)∵直徑AB⊥DE，
∴CE= DE= .
∵DE平分AO，
∴CO= AO= OE.
又∵∠OCE=90°，
∴sin∠CEO= = ，
∴∠CEO=30°.
在Rt△COE中，
OE= = =2.
∴⊙O的半徑為2.
(2)連接OF.
在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45°，
∴∠D=90°﹣45°=45°.
∴∠EOF=2∠D=90°.
∴S扇形OEF= ×π×22=π.
∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，
∴SRt△OEF= ×OE×OF=2.
∴S陰影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣2.
【點評】此題綜合考查了垂徑定理和解直角三角形及扇形的面積公式.
22.在一個黑色的布口袋里裝著白、紅、黑三種顏色的小球，它們除了顏色之外沒有其它區(qū)別，其中白球2只、紅球1只、黑球1只.袋中的球已經(jīng)攪勻.
(1)隨機地從袋中摸出1只球，則摸出白球的概率是多少?
(2)隨機地從袋中摸出1只球，放回攪勻再摸出第二個球.請你用畫樹狀或列表的方法表示所有等可能的結果，并求兩次都摸出白球的概率.
【考點】列表法與樹狀法.
【分析】(1)讓白球的個數(shù)除以球的總數(shù)即可;
(2)2次實驗，每次都是4種結果，列舉出所有情況即可.
【解答】解：(1)摸出白球的概率是 ;
(2)列舉所有等可能的結果，畫樹狀：
∴兩次都摸出白球的概率為P(兩白)= = .
【點評】如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P(A)= .注意本題是放回實驗.
23.已知二次函數(shù)y=﹣ +bx+c的象經(jīng)過A(2，0)、B(0，﹣6)兩點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【專題】綜合題.
【分析】(1)二次函數(shù)象經(jīng)過A(2，0)、B(0，﹣6)兩點，兩點代入y=﹣ +bx+c，算出b和c，即可得解析式.(2)先求出對稱軸方程，寫出C點的坐標，計算出AC，然后由面積公式計算值.
【解答】解：(1)把A(2，0)、B(0，﹣6)代入y=﹣ +bx+c，
得：
解得 ，
∴這個二次函數(shù)的解析式為y=﹣ +4x﹣6.
(2)∵該拋物線對稱軸為直線x=﹣ =4，
∴點C的坐標為(4，0)，
∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，
∴S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6.
【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，要會求二次函數(shù)的對稱軸，會運用面積公式.
24.已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，交⊙O的切線BE于點E，過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F.
(1)求證：DF是⊙O的切線;
(2)若DF=3，DE=2.
?、偾?值;
?、谇?ang;FAB的度數(shù).
【考點】切線的判定;相似三角形的判定與性質.
【分析】(1)作輔助線，連接OD.根據(jù)切線的判定定理，只需證DF⊥OD即可;
(2)①連接BD.根據(jù)BE、DF兩切線的性質證明△BDE∽△ABE;又由角平分線的性質、等腰三角形的兩個底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD;最后由相似三角形的對應邊成比例求得 = = ;②連接OC，交AD于G，由①，設BE=2x，則AD=3x，由于△BDE∽△ABE，得到比例式求得AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到結果.
【解答】(1)證明：連結OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴AF∥OD，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線，
(2)解：①連接BD，
∵直徑AB，
∴∠ADB=90°，
∵圓O與BE相切，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，
∴∠DAB=∠DBE，
∴∠DBE=∠FAD，
∵∠BDE=∠AFD=90°，
∴△BDE∽△AFD，
∴ = = ;
?、谶B接OC，交AD于G，
由①，設BE=2x，則AD=3x，
∵△BDE∽△ABE，∴ ，∴ ，
解得：x1=2，x2=﹣ (不合題意，舍去)，
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，
∴sin∠EAB= ，
∴∠EAB=30°，
∴∠FAB=60°.
【點評】本題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理及扇形面積的計算.比較復雜，解答此題的關鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結合解答.
25.如是某貨站傳送貨物的平面示意.為了提高傳送過程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°. 已知原傳送帶AB長為4 米.
(1)求新傳送帶AC的長度.
(2)如果需要在貨物著地點C的左側留出2米的通道，試判斷距離B點5米的貨物MNQP是否需要挪走，并說明理由.
參考數(shù)據(jù)： .
【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
【分析】(1)在構建的直角三角形中，首先求出兩個直角三角形的公共直角邊，進而在Rt△ACD中，求出AC的長.
(2)通過解直角三角形，可求出BD、CD的長，進而可求出BC、PC的長.然后判斷PC的值是否大于2米即可.
【解答】解：(1)
在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4 × =4.
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=8.
即新傳送帶AC的長度約為8米;
(2)結論：貨物MNQP不用挪走.
解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4 × =4.
在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2 .
∴CB=CD﹣BD=2 ﹣4≈0.9.
∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1>2，
∴貨物MNQP不應挪走.
【點評】考查了坡度坡腳問題，應用問題盡管題型千變萬化，但關鍵是設法化歸為解直角三角形問題，必要時應添加輔助線，構造出直角三角形.在兩個直角三角形有公共直角邊時，先求出公共邊的長是解答此類題的基本思路.
26.科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節(jié)：科學家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一天后，測試出這種植物高度的增長情況(如下表)：
溫度x/℃ … ﹣4 ﹣2 0 2 4 4.5 …
植物每天高度增長量y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 …
由這些數(shù)據(jù)，科學家推測出植物每天高度增長量y是溫度x的函數(shù)，且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種.
(1)請你選擇一種適當?shù)暮瘮?shù)，求出它的函數(shù)關系式，并簡要說明不選擇另外兩種函數(shù)的理由;
(2)溫度為多少時，這種植物每天高度增長量最大?
(3)如果實驗室溫度保持不變，在10天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm，那么實驗室的溫度x應該在哪個范圍內選擇?請直接寫出結果.
【考點】二次函數(shù)的應用.
【分析】(1)選擇二次函數(shù)，設y=ax2+bx+c(a≠0)，然后選擇x=﹣2、0、2三組數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，再根據(jù)反比例函數(shù)的自變量x不能為0，一次函數(shù)的特點排除另兩種函數(shù);
(2)把二次函數(shù)解析式整理成頂點式形式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答;
(3)求出平均每天的高度增長量為25mm，然后根據(jù)y=25求出x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質寫出x的取值范圍.
【解答】解：(1)選擇二次函數(shù)，設y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵x=﹣2時，y=49，
x=0時，y=49，
x=2時，y=41，
∴ ，
解得 ，
所以，y關于x的函數(shù)關系式為y=﹣x2﹣2x+49;
不選另外兩個函數(shù)的理由：
∵點(0，49)不可能在反比例函數(shù)象上，
∴y不是x的反比例函數(shù);
∵點(﹣4，41)，(﹣2，49)，(2，41)不在同一直線上，
∴y不是x的一次函數(shù);
(2)由(1)得，y=﹣x2﹣2x+49=﹣(x+1)2+50，
∵a=﹣1<0，
∴當x=﹣1時，y有最大值為50，
即當溫度為﹣1℃時，這種作物每天高度增長量最大;
(3)∵10天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm，
∴平均每天該植物高度增長量超過25mm，
當y=25時，﹣x2﹣2x+49=25，
整理得，x2+2x﹣24=0，
解得x1=﹣6，x2=4，
∴在10天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm，實驗室的溫度應保持在﹣6℃
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，以及利用二次函數(shù)求不等式，仔細分析表數(shù)據(jù)并熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.
27.△ABC中，AB=AC，取BC邊的中點D，作DE⊥AC于點E，取DE的中點F，連接BE，AF交于點H.
(1)如1，如果∠BAC=90°，求證：AF⊥BE并求 的值;
(2)如2，如果∠BAC=a，求證：AF⊥BE并用含a的式子表示 .
【考點】相似三角形的判定與性質.
【分析】連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質可得∠ABC=∠C，∠BAD= ∠BAC，AD⊥BC，然后根據(jù)同角的余角相等可得∠ADE=∠C.易證△ADB∽△DEC，可得AD•CE=BD•DE.由此可得AD•CE= BC•2DF=BC•DF，即 ，由此可證到△AFD∽△BEC，則有 ，在Rt△ADB中根據(jù)三角函數(shù)的定義可得tan∠ABD=tan(90°﹣ ∠BAC)= = ，從而可得 = tan(90°﹣ ∠BAC).由△AFD∽△BEC可得∠DAF=∠CBE，即可得到∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，即可得到∠AHB=90°.利用以上結論即可解決題中的兩個問題.
【解答】解：如1，連接AD，
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC= ∠BAC，AD⊥BC，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠C.
又∵∠ADB=∠DEC=90°，
∴△ADB∽△DEC，
∴ ，
即AD•CE=BD•DE.
∵點D是BC的中點，點F是DE的中點，
∴BD= BC，DE=2DF，
∴AD•CE═ BC•2DF=BC•DF，
∴ ，
又∵∠ADE=∠C，
∴△AFD∽△BEC，
∴ ，
在Rt△ADB中，
∵∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣ ∠BAC，BD= BC，
∴tan∠ABD=tan(90°﹣ ∠BAC)= = ，
∴ = tan(90°﹣ ∠BAC).
∵△AFD∽△BEC，
∴∠DAF=∠CBE.
∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，
∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，
∴∠AHO=180°﹣90°=90°，即∠AHB=90°，
(1)如1，
根據(jù)以上結論可得：
∠AHB=90°， = tan(90°﹣ ×90°)= ;
∴AF⊥BE， = ;
(2)如2，
根據(jù)以上結論可得：∠AHB=90°， = tan(90°﹣ α);
∴AF⊥BE， = tan(90°﹣ α).
【點評】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質、三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質、同角的余角相等等知識，證到△AFD∽△BEC是解決本題的關鍵.
28.二次函數(shù)y=ax2+bx﹣2的象交x軸于A(1，0)、B(﹣2，0)，交y軸于點C，連接直線AC.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點P在二次函數(shù)的象上，圓P與直線AC相切，切點為H.
?、偃鬚在y軸的左側，且△CHP∽△AOC，求點P的坐標;
?、谌魣AP的半徑為4，求點P的坐標.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式，得到關于a、b的二元一次方程組，從而可求得a、b的值;
(2)①由切線的性質可知PH⊥AC，當H在點C下方時，由△CHP∽△AOC可知∠PCH=∠CAO從而可證明CP∥x軸，于是得到y(tǒng)P=﹣2，yP=﹣2代入拋物線的解析式可求得x1=0(舍去)，x2=﹣1，從而可求得P(﹣1，﹣2);如1，當H′在點C上方時，由相似三角形的性質可知：∠P′CH′=∠CAO，故此QA=QC，設OQ=m，則QC=QA=m+1，在Rt△QOC中，由勾股定理可求得m的值，從而得到點Q的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得直線C P′的解析式為y=﹣ x﹣2，然后將CP′與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點P′的坐標為(﹣ ， ).
(3)在x軸上取一點D，如(2)，過點D作DE⊥AC于點E，使DE=4.在Rt△AOC中，由勾股定理可知AC= ，由題意可知證明△AED∽△AOC，由相似三角形的性質可求得AD=2 ，故此可得到點D的坐標為D(1﹣2 ，0)或D(1+2 ，0)，過點D作DP∥AC，交拋物線于P，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為y=2x﹣2，于是得到直線PD的解析式為y=2x+4 ﹣2或y=2x﹣4 ﹣2，將直線PD的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點P的坐標.
【解答】解：(1)∵將x=1，y=0，x=﹣2，y=0代入y=ax2+bx﹣2得 ，解得： ，
∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣2.
(2)解①∵圓P與直線AC相切，
∴PH⊥AC.
(i)如1，當H在點C下方時，
?、佟摺鰿HP∽△AOC，
∴∠PCH=∠CAO.
∴CP∥x軸.
∴yP=﹣2.
∴x2+x﹣2=﹣2.
解得x1=0(舍去)，x2=﹣1，
∴P(﹣1，﹣2).
(ii)如1，當H′在點C上方時.
∵∠P′CH′=∠CAO，
∴QA=QC，
設OQ=m，則QC=QA=m+1，
在Rt△QOC中，由勾股定理，得m2+22=(m+1)2，解得，m= ，即OQ= ;
設直線C P′的解析式為y=kx﹣2，
把Q(﹣ ，0)的坐標代入，得 k﹣2=0，解得k=﹣ ，∴y=﹣ x﹣2，
由﹣ x﹣2=x2+x﹣2，解得x1=0(舍去)，x2= ，此時y=﹣ ×(﹣ )﹣2= ，
∴P′(﹣ ， ).
∴點P的坐標為(﹣1，﹣2)或(﹣ ， )
?、谠趚軸上取一點D，如(2)，過點D作DE⊥AC于點E，使DE=4.
在Rt△AOC中，AC= = = ，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC.
∴ ，即 = ，解得AD=2 ，
∴D(1﹣2 ，0)或D(1+2 ，0).
過點D作DP∥AC，交拋物線于P，設直線AC的解析式為y=kx+b.
將點A、C的坐標代入拋物線的解析式得到： .
解得： .
∴直線AC的解析式為y=2x﹣2.
∴直線PD的解析式為y=2x+4 ﹣2或y=2x﹣4 ﹣2，
當2x+4 ﹣2=x2+x﹣2時，即x2﹣x﹣4 =0，解得x1= ，x2= ;
當2x﹣4 ﹣2=x2+x﹣2時，即x2﹣x+4 =0，方程無實數(shù)根.
∴點P的坐標為( ， ﹣1)或( ，﹣ ).
【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了切線的性質、相似三角形的性質和判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式、勾股定理等知識點，求得點Q的坐標和點D的坐標是解題的關鍵.
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