初三數(shù)學(xué)第一次月考試卷(2)
初三數(shù)學(xué)第一次月考試卷
三、解答題(共11題，共88分)
17.解方程：
(1)2x2﹣5x+2=0.
(2)2(x+3)2=x+3.
考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法.
分析：(1)利用因式分解法求得方程的解即可;
(2)移項(xiàng)，利用提取公因式法分解因式解方程即可.
解答： 解：(1)2x2﹣5x+2=0
(2x﹣1)(x﹣2)=0
x﹣2=0，2x﹣1=0，
解得x1=2，x2= ;
(2)2(x+3)2=x+3
2(x+3)2﹣(x+3)=0
(x+3)(2x+6﹣1)=0
x+3=0，2x+5=0，
解得x1=﹣3;x2=﹣ .
點(diǎn)評(píng)：此題考查用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步驟與方法是解決問題的關(guān)鍵.
18.(1)化簡(jiǎn)：( )2+|1﹣ |﹣( )﹣1
(2)解不等式組： .
考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;解一元一次不等式組.
專題：計(jì)算題.
分析：(1)原式第一項(xiàng)利用算術(shù)平方根定義計(jì)算，第二項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，最后一項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果;
(2)分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可.
解答： 解：(1)原式=3+ ﹣1﹣2= …
(2) ，
由①得：x≤3;由②得：x>1，
則不等式組的解集為1
點(diǎn)評(píng)：此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
19.計(jì)算或化簡(jiǎn)：
(1) ﹣ + ;
(2)先化簡(jiǎn)( ﹣ )÷ ，然后從 ，0，1，﹣1中選取一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為x的值代入求值.
考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值;二次根式的加減法.
專題：計(jì)算題.
分析：(1)原式各項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式，合并即可得到結(jié)果;
(2)原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將x= 代入計(jì)算即可得到結(jié)果.
解答： 解：(1)原式=3 ﹣2 +3 = +3 ;
(2)原式= • = ，
當(dāng)x= 時(shí)，原式= =2 .
點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，以及二次根式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
20.在平面直角坐標(biāo)系中，一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A、B、C.
(1)請(qǐng)寫出該圓弧所在圓的圓心O的坐標(biāo)(2，﹣1);
(2)⊙O的半徑為2 (結(jié)果保留根號(hào));
(3)求 的長(zhǎng)(結(jié)果保留π).
考點(diǎn)：垂徑定理;坐標(biāo)與形性質(zhì);勾股定理;弧長(zhǎng)的計(jì)算.
專題：計(jì)算題.
分析：(1)連接AB，BC，分別作出這兩條弦的垂直平分線，兩垂直平分線交于點(diǎn)D，即為所求圓心，由形即可得到D的坐標(biāo);
(2)由FD=CG，AF=DG，且夾角為直角相等，利用SAS可得出三角形ADF與三角形DCG全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，再由同角的余角相等得到∠ADC為直角，利用弧長(zhǎng)公式即可求出 的長(zhǎng).
解答： 解：(1)連接AB，BC，分別作出AB與BC的垂直平分線，交于點(diǎn)D，即為圓心，由形可得出D(2，﹣1);
(2)在Rt△AED中，AE=2，ED=4，
根據(jù)勾股定理得：AD= =2 ;
(3)∵DF=CG=2，∠AFD=∠DGC=90°，AF=DG=4，
∴△AFD≌△D GC(SAS)，
∴∠ADF=∠DCG，
∵∠DCG+∠CDG=90°，
∴∠ADF+∠CDG=90°，即∠ADC=90°，
則 的長(zhǎng)l= = π.
故答案為：(1)(2，﹣1);(2)2
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，勾股定理，坐標(biāo)與形性質(zhì)，以及弧長(zhǎng)公式，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵.
21.已知方程5x2+mx﹣10=0的一根是﹣5，求方程的另一根及m的值.
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系;一元二次方程的解.
分析：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，先利用兩根之積為﹣2求出t，然后利用兩根之和為﹣ 可計(jì)算出m的值.
解答： 解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，
根據(jù)題意得﹣5+t=﹣ ，﹣5t=﹣2，
解得t= ，
則m=﹣25+5t=﹣23，
即m的值為﹣23，方程的另一根為 .
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí)，x1+x2=﹣ ，x1x2= .也考查了一元二次方程解的定義.
22. AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°，求∠DEB的度數(shù);
(2)若OC=3，OA=5，求AB的長(zhǎng).
考點(diǎn)：垂徑定理;勾股定理;圓周角定理.
分析：(1)根據(jù)垂徑定理，得到 = ，再根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系，得知∠E= ∠O，據(jù)此即可求出∠DEB的度數(shù);
(2)由垂徑定理可知，AB=2AC，在Rt△AOC中，OC=3，OA=5，由勾股定理求AC即可.
解答： 解：(1)∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，
∴ = ，∴ ∠DEB= ∠AOD= ×52°=26°;
(2)∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，
∴AC=BC，即AB=2AC，
在Rt△AOC中，AC= = =4，
則AB=2AC=8.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，勾股定理及圓周角定理.關(guān)鍵是由垂徑定理得出相等的弧，相等的線段，由垂直關(guān)系得出直角三角形，運(yùn)用勾股定理.
23.把長(zhǎng)為40cm，寬30cm的長(zhǎng)方形硬紙板，剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長(zhǎng)方形(陰影部分即剪掉的部分)，將剩余的部分拆成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長(zhǎng)為xcm(紙板的厚度忽略不計(jì))
(1)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為多少?(單位：cm)
(2)若折成的一個(gè)長(zhǎng)方體盒于表面積是950cm2，求此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的體積.
考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用.
專題：幾何形問題.
分析：(1)根據(jù)所給出的形可直接得出長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高;
(2)根據(jù)示，可得2( x2+20x)=30×40﹣950，求出x的 值，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式列出算式，即可求出答案.
解答： 解：(1)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)是：(30﹣2x)cm;
長(zhǎng)方體盒子的寬是(40﹣2x)÷2=20﹣x(cm)
長(zhǎng)方體盒子的高是xcm;
(2)根據(jù)示，可得2(x2+20x)=30×40﹣950，
解得x1=5，x2=﹣25(不合題意，舍去)，
長(zhǎng)方體盒子的體積V=(30﹣2×5)×5×=20×5×15=1500(cm3).
答：此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的體積為1500cm3.
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是長(zhǎng)方體的表面積和體積公式，關(guān)鍵是根據(jù)形找出等量關(guān)系列出方程，要注意把不合題意的解舍去.
24.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°.
(1)求作⊙O，使：圓心O在AB上，且⊙O經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C(尺規(guī)作，保留作痕跡，不寫作法)
(2)判斷BC與⊙O的位置關(guān)系， 并說(shuō)明理由.
考 點(diǎn)：作—復(fù)雜作;直線與圓的位置關(guān)系.
專題：作題.
分析：(1)作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，再以O(shè)A為圓心作⊙O即可;
(2)連結(jié)OC，先利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠A=∠B=30°，則∠OCA=∠A=30°，于是可 得到∠OCB=∠ACB﹣∠OCA=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷BC與⊙O相切.
解答： 解：(1)⊙O為所求作;
(2)BC與⊙O相切.理由如下：
連接BC，
∵AC=BC，∠ACB=120°
∴∠A=∠B=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCB=∠ACB﹣∠OCA=120°﹣30°=90°，
∴OC⊥BC，
∵OC是半徑
∴BC與⊙O相切.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了作﹣復(fù)雜作：復(fù)雜作是在五種基本作的基礎(chǔ)上進(jìn)行作，一般是結(jié)合了幾何形的性質(zhì)和基本作方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何形的性質(zhì)，結(jié)合幾何形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作拆解成基本作，逐步操作.也考查了直線與圓的位置關(guān)系.
25.某商場(chǎng)以每件280元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)每件商品售價(jià)為360元時(shí)，每月可售出60件，為了擴(kuò)大銷售，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價(jià)1元，那么商場(chǎng)每月就可以多售出5件.
(1)降價(jià)前商場(chǎng)每月銷售該商品的利潤(rùn)是多少元?
(2)要使商場(chǎng)每月銷售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到7200元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元?
考點(diǎn)：一元 二次方程的應(yīng)用.
專題：銷售問題.
分析：(1)先求出每件的利潤(rùn).在乘以每月銷售的數(shù)量就可以得出每月的總利潤(rùn);(2)設(shè)要使商場(chǎng)每月銷售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到7200元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)x元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可.
解答： 解：(1)由題意，得60(360﹣280)=4800元.答：降價(jià)前商場(chǎng)每月銷售該商品的利潤(rùn)是4800元;(2)設(shè)要使商場(chǎng)每月銷售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到7200元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)x元，由題意，得(360﹣x﹣280)(5x+60)=7200，解得：x1=8，x2=60∵有利于減少庫(kù)存，
∴x=60.
答：要使商場(chǎng)每月銷售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到7200元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)60元.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系利潤(rùn)=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)的運(yùn)用，列一元 二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵.
26.已知，AB、AC是⊙O得切線，B、C是切點(diǎn)，過 上的任意一點(diǎn)P作⊙O的切線與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E
(1)連接OD和OE，若∠A=50°，求∠DOE的度數(shù).
(2)若AB=7，求△ADE的周長(zhǎng).
考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì);切線長(zhǎng)定理.
分析：(1)連接OB，OC，OD，OP，OE，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理得到OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，于是求得∠OBA=∠OCA=90°，由于∠A=50°，求出∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，根據(jù)OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，得到OD平分∠BOP，同理得OE平分∠POC，即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到DB=DP，EP=EC，AB=AC，由等量代換即可得到結(jié)果.
解答： 解：(1)連接OB，OC，OD，OP，OE，
∵AB，AC，DE分別與⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半徑，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，
∴∠OBA=∠OCA=90 °，
∵∠A=50°，
∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50° =130°，
∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，
∴OD平分∠BOP，
同理得：OE平分∠POC，
∴∠DOE=∠DOP+∠EOP= (∠ BOP+∠POC)= ∠BOC=65°，
(2)∵DB=DP，EP=EC，AB=AC，
∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE
=AD+DP+EP+AE
=AD+BD+AE+EC
=AB+AC
=2AB=14.
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線長(zhǎng)定理，切線長(zhǎng)定理提供了很多等線段，分析形時(shí)關(guān)鍵是要仔細(xì)探索，找出形的各對(duì)相等切線長(zhǎng).
27.配方法不僅可以用來(lái)解一元二次方程，還可以用來(lái)解決很多問題.
例如：因?yàn)?a2≥0，所以3a2﹣1≥﹣1，即：3a2﹣1就有最小值﹣1.只有當(dāng)a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最小值﹣1.同樣，因?yàn)椹?a2≤0.所以﹣3a2+1≤1，即：﹣3a2+1就有最大值1，只有當(dāng)a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最大值1.
(1)當(dāng)x=﹣1時(shí)，代數(shù)式﹣2(x+1)2﹣1有最大值(填“大”或“小”值為﹣1.
(2)當(dāng)x=﹣1時(shí)，代數(shù)式 2x2+4x+1有最小值(填“大”或“小”)值為﹣1.
(3)矩形自行車場(chǎng)地ABCD一邊靠墻(墻長(zhǎng)10m)，在AB和BC邊各開一個(gè)1米寬的小門(不用木板)，現(xiàn)有能圍成14m長(zhǎng)的木板，當(dāng)AD長(zhǎng)為多少時(shí)，自行車場(chǎng)地的面積最大?最大面積是多少?
考點(diǎn)：配方法的應(yīng)用.
專題：幾何形問題.
分析：(1)類比例子得出答案即可;
(2)根據(jù)題意利用配方法配成(1)中的類型，進(jìn)一步確定最值即可;
(3)根據(jù)題意利用長(zhǎng)方形的面積列出式子，利用(1)(2)的方法解決問題.
解答： 解：(1)因?yàn)?x+1)2≥0，
所以﹣2(x+1)2≤0，即﹣2(x+1)2﹣1就有最大值﹣1.
只有當(dāng)x=﹣1時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最大值﹣1.
故答案是：﹣1，大，﹣1;
(2)2x2+4x+1=2(x+1)2+1，
所以當(dāng)x=﹣1
時(shí)，代數(shù)式 2x2+4x+1有最小值為﹣1.
故答案是：﹣1，小，﹣1;
(3)設(shè)AD=x，
S=x(16﹣2x)=﹣2(x﹣4)2+32，
當(dāng)AD=4m時(shí)，面積最大值為32m2.
點(diǎn)評(píng)：此題考查配方法的運(yùn)用，理解題意，類比給出的方法得出答案即可，滲透二次函數(shù)的最值.
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