高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法

　　函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里的重點(diǎn)內(nèi)容。下面是學(xué)習(xí)啦小編網(wǎng)絡(luò)收集整理的高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法以供大家學(xué)習(xí)。

　　高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之觀察法

　　通過對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。

　　例1求函數(shù)y=3+√(2-3x) 的值域。

　　點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2-3x) 的值域。

　　解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2-3x)≥0，

　　故3+√(2-3x)≥3。

　　點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：(1)被開方數(shù)的非負(fù)性，(2)值的非負(fù)性。

　　本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法，簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域?yàn)椋簕0，1，2，3，4，5｝)

　　高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之反函數(shù)法

　　當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

　　例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

　　解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閧y∣y≠1,y∈R｝。

　　點(diǎn)評(píng)：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數(shù)的值域?yàn)閧y∣y<-1或y>1｝)

　　高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之配方法

　　當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域

　　例3：求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。

　　點(diǎn)撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[-1，2]。此時(shí)-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]

　　點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域?yàn)閧y∣y≤3})

　　高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之判別式法

　　若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。

　　例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

　　解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

　　當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　當(dāng)y=2時(shí),方程(*)無解。∴函數(shù)的值域?yàn)?

　　點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域?yàn)閥≤-8或y>0)。

　　高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之最值法

　　對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。

　　點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。

　　當(dāng)x=-1時(shí)，z=-5;當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。

　　∴函數(shù)z的值域?yàn)閧z∣-5≤z≤15/4｝。

　　點(diǎn)評(píng)：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。

　　高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之圖象法

　　通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。

　　高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之單調(diào)法

　　利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。

　　例1求函數(shù)y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

　　點(diǎn)撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域?yàn)閤≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。

　　高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之換元法

　　以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。

　　例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1 的值域。

　　點(diǎn)撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。

　　高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之比例法

　　對(duì)于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。

　　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。

　　點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。

　　解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))

　　∴x=3+4k,y=1+3k,

　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

　　當(dāng)k=-3/5時(shí)，x=3/5,y=-4/5時(shí)，zmin=1。

　　函數(shù)的值域?yàn)閧z|z≥1｝.

　　有關(guān)高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法推薦：

　　函數(shù)把運(yùn)動(dòng)學(xué)帶進(jìn)了數(shù)學(xué).函數(shù)本身講的是數(shù)的互動(dòng)，而靜則是運(yùn)動(dòng)過程中的某一即時(shí)狀態(tài).動(dòng)以靜為參照，沒有參照物的運(yùn)動(dòng)是沒有意義的，同樣沒有“靜數(shù)”的函數(shù)也無意義.當(dāng)變量(動(dòng)數(shù))的個(gè)數(shù)較多時(shí)，我們先考慮一對(duì)互動(dòng)中的變數(shù)，而把其他變數(shù)暫視靜止(常數(shù)或參數(shù))。今天我們就來告訴大家高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)技巧。

　　例如，考慮二次函數(shù)y=ax2+bx+c時(shí)，是把x,y看作一對(duì)互動(dòng)的變數(shù)，而把a(bǔ),b,c看作“靜數(shù)”.其實(shí)，a,b,c也在變化，只是要等到需要考慮它們的變化時(shí)再把它們視作變數(shù).?

　　?●典例示范?

　　【例1】 設(shè)雙曲線 與直線x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A和B，求雙曲線離心率的取值范圍.?

　　【分析】 求取值范圍就是求離心率e的值域.為此，我們要尋求e的函數(shù)式.?

　　【解答】 按雙曲線離心率的關(guān)系式，有 ??

　　【插語(yǔ)】 公式e= 本來是“靜式”，現(xiàn)在讓其運(yùn)動(dòng)起來，成了函數(shù)式f (a).啟發(fā)我們求函數(shù)e=f (a)的定義域，即a的取值范圍.?

　　【續(xù)解】 由雙曲線與直線相交于兩點(diǎn)，得方程組?

　　【插語(yǔ)】 我們并非要從這個(gè)方程中解得x和y的值，而是要由“方程組有2個(gè)解”的條件求出a2的取值范圍.?

　　【續(xù)解】 消y后整理得?

　　函數(shù)e=f (a)= 在(0，1)和(1， )上都是減函數(shù)，故有f (a)> 且f (a)≠ .即所求范圍是 .?

　　【點(diǎn)評(píng)】 函數(shù)解題，動(dòng)靜相依，動(dòng)靜互控，從而實(shí)現(xiàn)由簡(jiǎn)單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的互動(dòng)，以及函數(shù)與方程，函數(shù)與不等式的互動(dòng).?

　　【附錄】 以下我們用函數(shù)性質(zhì)討論a2的取值范圍.?

　　由方程組解得：a2=h(x)= .由于 ≠0,所以a2≠1.因?yàn)?，所以a2≤2.?

　　由于相交的兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)著不同的x值，因此a2到x的對(duì)應(yīng)是1對(duì)2，因此在h (x)中x2,由此得到a2≠2. 故有a2<2.?

　　【例2】 解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0.?

　　【解答】 將原方程變形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x).?

　　由方程的特點(diǎn)，我們構(gòu)造函數(shù)f x)=x2003+x，知f (x)是x∈R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x，即x=-3.?

　　【點(diǎn)評(píng)】 此題從方程的特點(diǎn)入手，利用函數(shù)思想，構(gòu)造了函數(shù)f (x)=x2003+x，把解方程的問題變?yōu)橛懻摵瘮?shù)的性質(zhì)的問題，巧妙地求出了方程的解.??

　　【例3】 在xOy平面上給定一曲線y2-2x=0.?

　　(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為( ,0)，曲線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|.?

　　(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，a∈R，曲線上點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值.?

　　【解答】 (Ⅰ)設(shè)P(x,y)為曲線上任意一點(diǎn)，y2=2x(x≥0),。