高一年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題
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高一數(shù)學(xué)下期末試題帶答案
第Ⅰ卷(選擇題)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為
A. 100 B. 150 C. 200 D.250
2.已知變量 與 正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)為 ，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)得到的回歸直線(xiàn)方程可能是
A. B. C. D.
3.設(shè)集合 ，則
A. B. C. D.
4.已知點(diǎn) 落在角 的終邊上，且 ，則 的值為
A. B. C. D.
5.函數(shù) 的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是
A. B. C. D.
6.右圖是求樣本 平均數(shù) 的程序框圖，圖中空白框應(yīng)填入的內(nèi)容是
A. B. C. D.
7.已知直線(xiàn) ，平面 ，且 ，給出下列四個(gè)命題：
?、偃?，則 ;②若 ，則 ;
?、廴?，則 ;④ ，則 .
其中正確命題的個(gè)數(shù)是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.光線(xiàn)沿直線(xiàn) 射到直線(xiàn) 上，被 反射后的光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為
A. B . C. D.
9.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的值是
A. 2 B. C. D. 3
10.已知P是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的BC上的動(dòng)點(diǎn)，則
A. 有最大值8 B. 有最小值2 C. 是定值6 D.與P點(diǎn)的位置有關(guān)
11.已知函數(shù) 的圖象的一部分如左圖，則右圖的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為
A. B.
C. D.
12.函數(shù) 的定義域?yàn)?，其圖象上任意一點(diǎn) 滿(mǎn)足 ，給出以下四個(gè)命題：①函數(shù) 一定是偶函數(shù);②函數(shù) 可能是奇函數(shù);③函數(shù) 在 上單調(diào)遞增;④若函數(shù) 是偶函數(shù)，則其值域?yàn)?，其中正確的命題個(gè)數(shù)為
A.1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D.4個(gè)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出S的值為 .
14.在如圖所示的方格紙上，向量 的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))上，若 與 ( 為非零實(shí)數(shù))共線(xiàn)，則 的值為 .
15.已知直線(xiàn) 與圓心為C的圓 相交于A,B兩點(diǎn)， 為等邊三角形，則實(shí)數(shù) .
16.已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使 的最大邊是AB” 發(fā)生的概率為 ，則 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過(guò)程.
17.(本題滿(mǎn)分10分)已知函數(shù)
(1)求函數(shù) 的定義域;
(2)討論函數(shù) 的奇偶性.
18.(本題滿(mǎn)分12分)
某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位： )隨時(shí)間(單位： )的變化近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：
(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差;
(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不低于 ，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫?
19.(本題滿(mǎn)分12分)
某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為 ，用綜合指標(biāo) 評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí).若 ，則該產(chǎn)品為一等品，現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：
(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率;
(2)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品.
?、儆卯a(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;
?、谠O(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率.
20.(本題滿(mǎn)分12分)已知向量
(1)若 ，求證： ;
(2)設(shè) ，若 ，求 的值.
21.(本題滿(mǎn)分12分)如圖，在四棱錐 中， 平面 ，
(1)求證： ;
(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.
22.(本題滿(mǎn)分12分)
已知圓 上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng).
(1)求實(shí)數(shù) 的值;
(2)若直線(xiàn) 與圓C交于A,B兩點(diǎn)， (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求圓C的方程.
參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一.選擇題(每小題5分，共60分)
1-5 ABCDB 6-10 ACBDC 11-12 BA
二.填空題(每小題5分，共20分)
13. -3; 14. ; 15. ; 16. .
三.解答題(17小題10分，其余每小題12分，共70分)
17.(本小題滿(mǎn)分10分)
解：(Ⅰ)
∴定義域是 .--------------------------------------3分
(Ⅱ)∵
∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴ 是偶函數(shù) ----------------------10分
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
解：(Ⅰ)因?yàn)?，-----3分
又 ，所以 ， .
當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， ;
于是 在 上取得最大值12，取得最小值8.
故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為 ，最低溫度為 ，最大溫差為 .---------7分
(Ⅱ)依題意，當(dāng) 時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.
由(Ⅰ)得 ，
所以 ，即 .
又 ，因此 ，即 ，
故在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫. -------------------------12分
19.(本小題滿(mǎn)分12分)
解：(Ⅰ)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表:
產(chǎn)品編號(hào)
4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中S≤4的有 ， ， ， ， ， ，共6件，
故該樣本的一等品率為 ，
從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為 . ----------------------------------6分
(Ⅱ)①在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15種. ------------8分
②在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號(hào)分別為 ， ， ， ，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為 ， ， ， ， ， 共6種。
所以 . -----------------------------------12分
---------------------------12分
21.(本小題滿(mǎn)分12分)
解：(Ⅰ)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC.----------------2分
由∠BCD=90°，得BC⊥DC，
又PD DC=D，PD 平面PCD，
DC 平面PCD，所以BC⊥平面PCD.
因?yàn)镻C 平面PCD，所以PC⊥BC.-------------------------6分
(Ⅱ)連結(jié)AC.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.
因?yàn)锳B∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°.
從而由AB=2，BC=1，得 的面積 .
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積 .----------8分
因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，所以PD⊥DC.
又PD=DC=1，所以 .
由PC⊥BC，BC=1，得 的面積 . ------------------------10分
由 ，得 ，
因此，點(diǎn)A到平面PBC的距離為 . ------------------------------------12分
22.(本小題滿(mǎn)分12分)
解：(Ⅰ)圓C的方程為 圓心C(-1，0).
∵圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，
∴直線(xiàn) 過(guò)圓心C. -------------------------------------3分
∴ 解得 =1. -------------------------------------5分
(Ⅱ)聯(lián)立 消去 ，得
.
設(shè) ，
. ----------------------------------------7分
由 得
. -----------------9分
∴OA→•OB→= .
∴圓C的方程為 . ------------------------------12分
高一數(shù)學(xué)下期末聯(lián)考考試試題
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
(1) 已知兩直線(xiàn)m、n和平面α，若m⊥α，n∥α，則直線(xiàn)m、n的關(guān)系一定成立的是
(A)m與n是異面直線(xiàn) (B)m⊥n
(C)m與n是相交直線(xiàn) (D)m∥n
(2) 已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn是普通職工n(n≥3，n∈N*)個(gè)人的年收入，設(shè)這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，則這n+1個(gè)數(shù)據(jù)中，下列說(shuō)法正確的是
(A)年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變
(B)年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大
(C)年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變
(D)年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變
(3) 若直線(xiàn)l1：mx﹣3y﹣2=0與直線(xiàn)l2：(2﹣m)x﹣3y+5=0互相平行，則實(shí)數(shù)m的值為
(A) 2 (B)﹣1
(C)1 (D)0
(4) 利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間( ，2)內(nèi)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)a，則不等式ln(3a﹣1)<0成立的概率是
(A) (B) (C) (D)
(5) 函數(shù)y=2cos2(x+ )-1是
(A)最小正周期為π的奇函數(shù)
(B)最小正周期為 的奇函數(shù)
(C)最小正周期為 的偶函數(shù)
(D)最小正周期為π的偶函數(shù)
(6) 已知程序框圖如圖所示，如果上述程序運(yùn)行的結(jié)果為S=132，那么
判斷框中應(yīng)填入
(A)k<11? (B)k<12?
(C)k<13? (D)k<14?
(7) 已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)的對(duì)應(yīng)表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) -8 2 ﹣3 5 6 8
則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間有
(A)區(qū)間[2，3]和[3，4] (B)區(qū)間[3，4]、[4，5]和[5，6]
(C)區(qū)間[2，3]、[3，4]和[4，5] (D)區(qū)間[1，2]、[2，3]和[3,4]
(8) 函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是
(A)(1，+∞) (B)(﹣1，1]
(C)[1，3) (D)(﹣∞，1)
(9) 若函數(shù)f(x)=3ax﹣k+1(a>0，且a≠1)過(guò)定點(diǎn)(2，4)，且f(x)在定義域R內(nèi)是增函數(shù)，則函數(shù)
g(x)=loga(x-k)的圖象是
(A) (B) (C) (D)
(10) 如果圓x2+y2+2m(x+y)+2 m2-8=0上總存在到點(diǎn)(0,0)的距離為 的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
(A)[﹣1，1] (B)(﹣3，3)
(C)(﹣3，﹣1)∪(1，3) (D)[﹣3，﹣1]∪[1，3]
(11) 同時(shí)具有性質(zhì)：①圖象的一個(gè)零點(diǎn)和其相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離是 ;②在區(qū)間[﹣ ， ]上是增函數(shù)
的一個(gè)函數(shù)為
(A)y=cos( + ) (B)y=sin( + )
(C)y=sin(2x﹣ ) (D)y=cos(2x﹣ )
(12) 定義在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：
?、賹?duì)任意的x∈(1，+∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立;
②當(dāng)x∈(1，2]時(shí)，f(x)=2﹣x.
已知函數(shù)y=f(x)的圖象與直線(xiàn)mx-y-m=0恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
(A)[1，2) (B)(1，2]
(C) (D)
第Ⅱ卷
二、填空題：本題共4小題，每小題5分。
(13) 設(shè)某總體是由編號(hào)為01，02，…，39，40的40個(gè)個(gè)體組成的，利用下面的隨機(jī)數(shù)表依次選取4個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第一行的第三列數(shù)字開(kāi)始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第4個(gè)個(gè)體的編號(hào)為 .
0618 0765 4544 1816 5809 7983 8619
7606 8350 0310 5923 4605 0526 6238
(14) 設(shè)m∈R，向量 =(m+1，3)， =(2，﹣m)，且 ⊥ ，則| + |= .
(15) 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 .
(16) 已知 ，則 = .
三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
(17)(本小題滿(mǎn)分10分)
如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE.
(Ⅰ)用向量 ， 表示 ;
(Ⅱ)設(shè)AB=6，AC=4，A=60°，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng).
(18)(本小題滿(mǎn)分12分)
某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”，全校學(xué)生都參加了這次競(jìng)賽.為了了解本次競(jìng)賽的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分取正整數(shù)，滿(mǎn)分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問(wèn)題：
頻率分布表
組別 分組 頻數(shù) 頻率
第1組 [50，60) 8 0.16
第2組 [60，70) a ▓
第3組 [70，80) 20 0.40
第4組 [80，90) ▓ 0.08
第5組 [90，100] 2 b
合計(jì) ▓ ▓
(Ⅰ)寫(xiě)出a，b，x，y的值;
(Ⅱ)在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)到廣場(chǎng)參加環(huán)保知識(shí)的志愿宣傳活動(dòng).
(i)求所抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來(lái)自第5組的概率;
(ii)求所抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的概率.
(19)(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)與射線(xiàn)y= x(x≥0)交于點(diǎn)Q，與x軸交于點(diǎn)M.記∠MOP=α，且α∈(﹣ ， ).
(Ⅰ)若sinα= ，求cos∠POQ;
(Ⅱ)求△OPQ面積的最大值.
(20)(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證：AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A﹣DF﹣B的大小.
(21)(本小題滿(mǎn)分12分)
已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)，B(2，2)，并且直線(xiàn)m：3x﹣2y=0平分圓C.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)D(0，1)，且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N.
(i)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(ii)若 • =12，求k的值.
(22)(本小題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù)f(x)=( )x.
(Ⅰ)當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，求函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值g(a);
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)m>n>3，使得g(x)的定義域?yàn)閇n，m]，值域?yàn)閇n2，m2]?若存在，求出m、n的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案及解析
一、選擇題
(1)B (2)B (3)C (4)D (5)A (6)A (7)D (8)C (9)A (10)D (11)C (12)C
二、填空題
(13)09 (14) (15) (16)
三、解答題
(17)解：(Ⅰ)△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE,
∴
∴ . (5分)
(Ⅱ)若AB=6，AC=4，A=60°，
則
= ×62+ ×6×4×cos60°+ ×42=7，
∴ ，
即線(xiàn)段DE的長(zhǎng)為 . (10分)
(18)解：(Ⅰ)由題意可知，a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004. (4分)
(Ⅱ)由題意可知，第4組共有4人，記為A，B，C，D，第5組共有2人，記為X，Y.
從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，則有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15種情況. (6分)
(ⅰ)設(shè)“隨機(jī)抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來(lái)自第5組”為事件E，
則事件E包含AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共9種情況.所以隨機(jī)抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來(lái)自第5組的概率是P(E)= .(9分)
(ⅱ)設(shè)“隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組”為事件F，則事件F包含AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY,共7種情況.
所以P(F)= . (12分)
(19)解：(Ⅰ)因?yàn)?，且 所以 .
所以 . (5分)
(Ⅱ)由三角函數(shù)定義，得P(cosα，sinα)，從而 ，
所以
.
因?yàn)?所以當(dāng) 時(shí)，取等號(hào)，
所以△OPQ面積的最大值為 . (12分)
(20)解：(Ⅰ)記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE,如圖，
∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn),ACEF是矩形,
∴四邊形AOEM是平行四邊形.∴AM∥OE.
∵OE 平面BDE,AM 平面BDE,
∴AM∥平面BDE. (4分)
(Ⅱ)在平面AFD中，過(guò)A作AS⊥DF于S,連接BS,如圖，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF,
∴AS是BS在平面ADF上的射影,
由三垂線(xiàn)定理得BS⊥DF，
∴ 是二面角A-DF-B的平面角.
在Rt△ASB中,
∴tan = , =60°,
∴二面角A-DF-B的大小為60°. (12分)
(21)解：(Ⅰ)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2.
∵圓C被直線(xiàn)m：3x﹣2y=0平分，
∴圓心C(a，b)在直線(xiàn)m上，可得3a﹣2b=0. ①
又∵點(diǎn)A(1，3)，B(2，2)在圓C上，
∴ ②
將①②聯(lián)立，解得a=2，b=3，r=1.
∴圓C的方程是(x﹣2)2+(y﹣3)2=1. (4分)
(Ⅱ)(i) 過(guò)點(diǎn)D(0，1)且斜率為k的直線(xiàn)l的方程為y=kx+1，即kx﹣y+1=0.
∵直線(xiàn)l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，
∴點(diǎn)C(2，3)到直線(xiàn)l的距離小于半徑r，
即 ，解得 .
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是 . (8分)
(ii)由 消去y，得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.
設(shè)M(x1，y1)、N(x2，y2)，可得x1+x2= ，x1x2= ，
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1= + +1，
∴ =x1x2+y1y2= + + +1=12，解得k=1.
此時(shí)k∈ ，成立，∴k=1. (12分)
(22)解：(Ⅰ)∵x∈[﹣1，1]，∴f(x)=( )x∈[ ，3]， (1分)
y=[f(x)]2﹣2af(x)+3=[( )x]2﹣2a( )x+3
=[( )x﹣a]2+3﹣a2. . (3分)
由一元二次函數(shù)的性質(zhì)分三種情況：
若a< ，則當(dāng) 時(shí)，ymin=g(a)= ; (5分)
若 ≤a≤3，則當(dāng) 時(shí)，ymin=g(a)=3﹣a2; (6分)
若a>3，則當(dāng) 時(shí)，ymin=g(a)=12﹣6a. (7分)
∴g(a)= (8分)
(Ⅱ)假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的m、n，
∵m>n>3，且g(x)=12﹣6x在區(qū)間(3，+∞)內(nèi)是減函數(shù)， (9分)
又g(x)的定義域?yàn)閇n，m]，值域?yàn)閇n2，m2]，
∴ (10分)
兩式相減，得6(m﹣n)=(m+n)(m﹣n)，
∵m>n>3，∴m+n=6，但這與“m>n>3”矛盾， (11分)
∴滿(mǎn)足題意的m、n不存在. (12分)
高一數(shù)學(xué)下期末考試題帶答案
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
(1)已知集合P={x|﹣1
(A)(﹣1，2) (B)(0，1) (C)(﹣1，0) (D)(1，2)
(2)點(diǎn) 在直線(xiàn) ：ax﹣y+2=0上，則直線(xiàn) 的傾斜角為
(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°
(3)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件).若這兩組數(shù)據(jù)的
中位數(shù)相等，且平均值也相等，則 的值分別為
(A)3，5 (B)5，5 (C)3，7 (D)5，7
(4)若a= ，b=30.5，c=0.53，則a，b，c三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是
(A)a
(5)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為
(A)60 (B)30 (C)20 (D)10
(6)設(shè)α是一個(gè)平面，m，n是兩條直線(xiàn)，A是一個(gè)點(diǎn)，若 n⊂α，且A∈m，
A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是
(A)垂直 (B)相交 (C)異面 (D)平行
(7)某程序框圖如圖所示，若輸出的S=26，則判斷框內(nèi)應(yīng)填
(A)k>3? (B)k>4? (C)k>5? (D)k>6?
(8)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”問(wèn)題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1494石，檢
驗(yàn)發(fā)現(xiàn)米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得270粒內(nèi)夾谷30粒，則這批米內(nèi)夾谷約為
(A)17石 (B)166石 (C)387石 (D)1310石
(9)為了得到函數(shù)y=sin(2x﹣ )，x∈R的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x，x∈R的圖象上所有的點(diǎn)
(A)向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 (B)向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
(C)向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 (D)向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
(10)方程ex=2﹣x的根位于區(qū)間
(A)(﹣1，0)內(nèi) (B)(0，1)內(nèi) (C)(1，2) 內(nèi) (D)(2，3)內(nèi)
(11)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以(﹣2，0)為圓心且與直線(xiàn) ( ∈R)相切的
所有圓中，面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
(A)(x+2)2+y2=16 (B)(x+2)2+y2=20 (C)(x+2)2+y2=25 (D)(x+2)2+y2=36
(12)將函數(shù)f(x)=2sin2x的圖象向左平移 個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在
區(qū)間[0， ]和[2a， ]上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
(A) [ ， ] (B)[ ， ]
(C)[ ， ] (D)[ ， ]
第Ⅱ卷
二.填空題：本題共4小題，每小題5分。
(13)函數(shù)f(x)=ln(x2﹣2x﹣8)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
(14)已知 與 均為單位向量，它們的夾角為120°，那么| +3 |= .
(15) 某校高一(1)班有男生28人，女生21人，用分層抽樣的方法從全班學(xué)生中抽取一個(gè)調(diào)查小
組，調(diào)查該校學(xué)生對(duì)2017年1月1日起執(zhí)行的新交規(guī)的知曉情況，已知某男生被抽中的概率
為 ，則抽取的女生人數(shù)為 .
(16)已知 則 = .
三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
(17)(本小題滿(mǎn)分10分)
已知平面內(nèi)三個(gè)向量 =(3，2)， =(﹣1，2)， =(4，1).
(Ⅰ)若( +k )∥(2 ﹣ )，求實(shí)數(shù)k的值;
(Ⅱ)設(shè)向量 =(x，y)，且滿(mǎn)足( + )⊥( ﹣ )，| ﹣ |= ，求 .
(18)(本小題滿(mǎn)分12分)
某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，其中成績(jī)分組區(qū)間如下：
組號(hào) 第一組 第二組 第三組 第四組 第五組
分組 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
(Ⅰ)求圖中a的值;
(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分;
(Ⅲ)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生，將該樣本看成一個(gè)總體，從中隨機(jī)抽取2名，求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率.
(19)(本小題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期為π.
(Ⅰ)求f( )的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(20)(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD= ，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PB上一點(diǎn).
(Ⅰ)證明：平面EAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若PD∥平面EAC，求三棱錐P﹣EAD的體積.
(21)(本小題滿(mǎn)分12分)
已知點(diǎn)P(2，0)，且圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(Ⅰ)當(dāng)直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn)P且與圓心C的距離為1時(shí)，求直線(xiàn) 的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，求以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程.
(22)(本小題滿(mǎn)分12分)
某產(chǎn)品生產(chǎn)廠(chǎng)家根據(jù)以往銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái))，其總成本為g(x)(萬(wàn)元)，其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本)，銷(xiāo)售收入R(x)(萬(wàn)元)滿(mǎn)足 = 假設(shè)該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡，試根據(jù)上述資料分析：
(Ⅰ)要使工廠(chǎng)有盈利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi);
(Ⅱ)工廠(chǎng)生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多?
(Ⅲ)當(dāng)盈利最多時(shí)，求每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià).
參考答案及解析
一、選擇題
(1)A (2)C (3)A (4)C (5)D (6)D
(7)A (8)B (9)D (10)B (11)C (12)A
二、填空題
(13)(4，+∞) (14) (15)3 (16)
三、解答題
(17)解：(Ⅰ)因?yàn)?=(3，2)， =(﹣1，2)， =(4，1)，
所以 +k =(3+4k，2+k)，2 ﹣ =(﹣5，2).
又( +k )∥(2 ﹣ )，
所以2(3+4k)+5(2+k)=0，解得 (4分)
(Ⅱ)因?yàn)?=(x，y)，且滿(mǎn)足( + )⊥( ﹣ )，| ﹣ |= ，
又 =(2，4)， =(x﹣4，y﹣1)，
所以 ，解得 或 .
所以 =(6，0)或者(2，2).(10分)
(18)解：(Ⅰ)由題意得，10 +0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以 =0.005.(2分)
(Ⅱ)由直方圖可知，分?jǐn)?shù)在[50，60)的頻率為0.05，[60，70)的頻率為0.35，[70，80)的頻率為0.30，[80，90)的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分的估計(jì)值為55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74. 5 . (6分)
(Ⅲ)由直方圖得，
第3組的人數(shù)為0.3×100=30人，第4組的人數(shù)為0.2×100=20人，第5組的人數(shù)為0.1×100=10人.
所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名，
第3組應(yīng)抽取 人，第4組應(yīng)抽取 人，第5組應(yīng)抽取 =1人.(8分)
設(shè)第3組的3名學(xué)生分別為 第4組的2名學(xué)生分別為 第5組的1名學(xué)生為 ，
則從6名學(xué)生中抽取2名的情況有
,共15種.
其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的情況有 共5種.(10分)
所以其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率P= .(12分)
(19)解：(Ⅰ)由題得，
f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1= sin(2ωx+ )+1，
因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，所以 =π，解得ω=1，
所以f(x)= sin(2x+ )+1.(4分)
則f( )= sin( + )+1= (sin cos +cos sin )+1= .(6分)
(Ⅱ)由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣ ，kπ+ ] .(12分)
(20)解：(Ⅰ)∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PD.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.(2分)
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD.(3分)
而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD.(5分)
(Ⅱ)∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，
∴PD∥OE，
∵O是BD的中點(diǎn)，∴E是PB的中點(diǎn).
取AD的中點(diǎn)H，連接BH .(7分)
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD.又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BH⊥平面PAD， .(9分)
∴ = = .(12分)
(21)解：(Ⅰ)由題知，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣3)2+(y+2)2=9.
?、僭O(shè)直線(xiàn) 的斜率為k(k存在)，
則直線(xiàn)方程為y﹣0=k(x﹣2)，即kx﹣y﹣2k=0.
又圓C的圓心為(3，﹣2)，
由
所以直線(xiàn)方程為 ，即3x+4y﹣6=0;(4分)
②當(dāng)斜率k不存在時(shí)，直線(xiàn) 的方程為x=2，滿(mǎn)足題意.
綜上所述，直線(xiàn) 的方程為3x+4y﹣6=0或x=2.(6分)
(Ⅱ)由于|CP|= ，而弦心距 ，即 |CP|= ，
所以點(diǎn)P恰為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，
則所求圓的圓心為P(2，0)，半徑為 |AB|=2，
故以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程為(x﹣2)2+y2=4.(12分)
(22)解：(Ⅰ)由題意，得g(x)=x+2，
設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f(x)，
則f(x)=R(x)﹣g(x)= ，
由f(x)>0，解得1
即1
故要使工廠(chǎng)有盈利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在100臺(tái)到820臺(tái)內(nèi).(4分)
(Ⅱ)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，f(x)=﹣0.4(x﹣4)2+3.6，
即當(dāng)x=4時(shí)有最大值3.6;
當(dāng)x>5時(shí)，f(x)<8.2﹣5=3.2.
故當(dāng)工廠(chǎng)生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多為3.6萬(wàn)元.(8分)
(Ⅲ)當(dāng)x=4時(shí)，
R(4)=9.6(萬(wàn)元)， =2.4(萬(wàn)元/百臺(tái))，
故盈利最多時(shí)，每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為240元.(12分)
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