高一年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷
數(shù)學(xué)可能很難，都是大家不要放棄哦，今天小編就給大家來(lái)分享一下高一數(shù)學(xué)，希望大家來(lái)多多參考哦
高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷帶答案
第Ⅰ卷(滿分100分)
一、選擇題：本大題共11個(gè)小題，每小題5分，共55分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若a，b，c是平面內(nèi)任意三個(gè)向量，λ∈R，下列關(guān)系式中，不一定成立的是
A.a+b=b+a B.λ(a+b)=λa+λb
C.(a+b)+c=a+(b+c) D.b=λa
2.下列命題正確的是
A.若a、b都是單位向量，則a=b
B.若AB→=DC→，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形
C.若兩向量a、b相等，則它們是起點(diǎn)、終點(diǎn)都相同的向量
D.AB→與BA→是兩平行向量
3.cos 12°cos 18°-sin 12°sin 18°的值等于
A.32 B.12 C.-12 D.-32
4.函數(shù)f(x)=tan x1+tan2x的最小正周期為
A.π4 B.π2 C.π D.2π
5.設(shè)a，b是非零向量，則下列不等式中不恒成立的是
A.|a+b|≤|a|+|b| B.|a|-|b|≤|a+b|
C.|a|-|b|≤|a|+|b| D.|a|≤|a+b|
6.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0，|φ|<π2的部分圖象如圖所示，則f(π)=
A.-22 B.62 C.22 D.-62
7.如圖，角α、β均以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓O分別交于點(diǎn)A、B，則OA→•OB→=
A.sin(α-β) B.sin(α+β)
C.cos(α-β) D.cos(α+β)
8.已知π4<α<π2，且sin α•cos α=310，則sin α-cos α的值是
A.-105 B.105 C.25 D.-25
9.已知α∈0，π2，cosπ6+α=13，則sin α的值等于
A.22-36 B.22+36 C.26-16 D.-26-16
10.將函數(shù)y=3sin 2x+π3的圖象向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)
A.在區(qū)間π12，7π12上單調(diào)遞減
B.在區(qū)間π12，7π12上單調(diào)遞增
C.在區(qū)間-π6，π3上單調(diào)遞減
D.在區(qū)間-π6，π3上單調(diào)遞增
11.設(shè)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP→=OA→+λAB→AB→•cos B+AC→AC→•cos C，λ∈0，+∞，則點(diǎn)P的軌跡必經(jīng)過(guò)△ABC的
A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心
答題卡
題 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得 分
答 案
二、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.已知直線x=π4是函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象上的一條對(duì)稱軸，則實(shí)數(shù)φ的最小正值為_(kāi)_______.
13.已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，則sin(α+β)=________.
14.已知AB→⊥AC→，AB→•AC→=1.點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)，滿足AP→=AB→AB→+AC→4AC→.若點(diǎn)Q為△ABC外接圓上一點(diǎn)，則AQ→•AP→的最大值等于________.
三、解答題：本大題共3個(gè)小題，共30分.
15.(本小題滿分8分)
已知5sin α-cos αcos α+sin α=1.
(1)求tan α的值;
(2)求tan2a+π4的值.
16.(本小題滿分10分)
已知向量a=(2sin α，1)，b=1，sinα+π4 .
(1)若角α的終邊過(guò)點(diǎn)(3，4)，求a•b的值;
(2)若a∥b，求銳角α的大小.
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=sinπ2-xsin x-3cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)討論f(x)在π6，2π3上的單調(diào)性.
第Ⅱ卷(滿分50分)
一、填空題：本大題共2個(gè)小題，每小題6分.
18.兩等差數(shù)列{an}和{bn}，其前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，且SnTn=7n+2n+3，則a2+a20b7+b15等于________.
19.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2+sin xx2+1的最大值為M，最小值為m，則M+m=________.
二、解答題：本大題共3個(gè)小題，共38分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
20.(本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).
(1)證明：BE⊥DC;
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值.
21.(本小題滿分13分)
在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=3，∠A=120°，BD=3.
(1)求AD的長(zhǎng);
(2)若∠BCD=105°，求四邊形ABCD的面積.
22.(本小題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)=x|x-a|+bx(a，b∈R).
(1)當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)b=1時(shí)，
?、偃魧?duì)于任意x∈[1，3]，恒有f(x)x≤2x+1，求a的取值范圍;
?、谌鬭>0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值g(a).
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題
題 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答 案 D D A C D B C B C B D
1.D 【解析】選項(xiàng)A，根據(jù)向量的交換律可知正確;選項(xiàng)B，向量具有數(shù)乘的分配律，可知正確;選項(xiàng)C，根據(jù)向量的結(jié)合律可知正確;選項(xiàng)D，a，b不一定共線，故D不正確.故選D.
2.D 【解析】A.單位向量長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同，故A不對(duì);B.A、B、C、D四點(diǎn)可能共線，故B不對(duì);C.只要方向相同且長(zhǎng)度相等，則這兩個(gè)向量就相等，與始點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān)，故C不對(duì);D.因AB→和BA→方向相反，是平行向量，故D對(duì).故選D.
3.A 【解析】cos 12°cos 18°-sin 12°sin 18°=cos (12°+18°)=cos 30°=32，故選A.
4.C 【解析】函數(shù)f(x)=tan x1+tan2x=sin xcos xcos2x+sin2x=12sin 2x的最小正周期為2π2=π，故選C.
5.D 【解析】由向量模的不等關(guān)系可得：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
|a+b|≤|a|+|b|，故A恒成立.
|a|-|b|≤|a+b|，故B恒成立.
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，故C恒成立.
令a=(2，0)，b=(-2，0)，則|a|=2，|a+b|=0，則D不成立.故選D.
6.B 【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象A=2.
由圖象得：T=47π12-π3=π，
所以ω=2πT=2.
當(dāng)x=π3時(shí)，fπ3=2sin2•π3+φ=0，
∴2π3+φ=kπ，φ=-2π3+kπ.k∈Z.
由于|φ|<π2，取k=1，解得：φ=π3，所以f(x)=2sin2x+π3.
則：f(π)=62，故選B.
7.C 【解析】根據(jù)題意，角α，β均以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓O分別交于點(diǎn)A，B，
則A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，
則有OA→•OB→=cos αcos β+sin αsin β=cos (α-β);
故選C.
8.B 【解析】∵(sin α-cos α)2=sin 2α-2sin αcos α+cos 2α
=(sin 2α+cos 2α)-2sin αcos α;
又∵sin 2α+cos 2α=1，sin αcos α=310，
∴(sin α-cos α)2=1-2×310=25;
得sin α-cos α=±105;
由π4<α<π2，知22
則sin α-cos α的值是105.故選B.
9.C 【解析】∵α∈(0，π2)，∴π6+α∈π6，2π3，
由cosπ6+α=13，得sinπ6+α=1-cos2π6+α=223，
則sin α=sinπ6+α-π6
=sinπ6+αcosπ6-cosπ6+αsinπ6=223×32-13×12=26-16.故選C.
10.B 【解析】將y=3sin2x+π3的圖象向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=3sin2x-π2+π3，即y=3sin2x-2π3的圖象，令-π2+2kπ≤2x-2π3≤π2+2kπ，k∈Z，化簡(jiǎn)可得x∈π12+kπ，7π12+kπ，k∈Z，即函數(shù)y=3sin 2x-2π3的單調(diào)遞增區(qū)間為π12+kπ，7π12+kπ，k∈Z，令k=0，可得y=3sin2x-2π3在區(qū)間π12，7π12上單調(diào)遞增，故選B.
11.D 【解析】由題意可得OP→-OA→=AP→=λAB→AB→•cos B+AC→AC→•cos C，
所以AP→•BC→=λAB→•BC→AB→•cos B+AC→•BC→AC→•cos C
=λ-BC→+BC→=0，所以AP→⊥BC→，即點(diǎn)P在BC邊的高所在直線上，即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的垂心，故選D.
二、填空題
12.π 【解析】(略)
13.-12 【解析】sin α+cos β=1，
兩邊平方可得：sin 2α+2sin αcos β+cos 2β=1，①，
cos α+sin β=0，
兩邊平方可得：cos 2α+2cos αsin β+sin 2β=0，②，
由①+②得：2+2(sin αcos β+cos αsin β)=1，即2+2sin(α+β)=1，
∴2sin(α+β)=-1.
∴sin(α+β)=-12.
14.178 【解析】∵AB→⊥AC→，|AB→|•|AC→|=1，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)B1t，0，C(0，t)，AB→=1t，0，AC→=(0，t)，AP→=AB→|AB→|+AC→4|AC→|=t1t，0+14t(0，t)=(1，14)，∴P(1，14)，
∵P為線段BC上一點(diǎn)，∴可設(shè)PC→=λPB→，從而有-1，t-14=λ1t-1，-14，即λ1t-1=-1，t-14=-14λ，解之得t=12.
∴B2，0，C0，12.顯然P1，14為BC中點(diǎn)，∴點(diǎn)P為△ABC外接圓圓心.Q在△ABC外接圓上，又當(dāng)AQ過(guò)點(diǎn)P時(shí)AQ→有最大值為2AP→=172，
此時(shí)AP→與AQ→夾角為θ=0°，cos θ=1.∴AP→•AQ→max=172×174=178.
三、解答題
15.【解析】(1)由題意，cos α≠0，由5sin α-cos αcos α+sin α=1，可得5tan α-11+tan α=1，
即5tan α-1=1+tan α，解得tan α=12.(4分)
(2)由(1)得tan 2α=2tan α1-tan2α=43，
tan2α+π4=tan 2α+11-tan 2α=-7.(8分)
16.【解析】(1)角α的終邊過(guò)點(diǎn)(3，4)，∴r=32+42=5，
∴sin α=yr=45，cos α=xr=35;
∴a•b=2sin α+sinα+π4
=2sin α+sin αcosπ4+cos αsinπ4
=2×45+45×22+35×22=322.(5分)
(2)若a∥b，則2sin αsina+π4=1，
即2sin αsin αcosπ4+cos αsinπ4=1，
∴sin 2α+sin αcos α=1，
∴sin αcos α=1-sin 2α=cos 2α，
對(duì)銳角α有cos α≠0，
∴tan α=1，
∴銳角α=π4.(10分)
17.【解析】(1)f(x)=sinπ2-xsin x-3cos 2x
=cos xsin x-32(1+cos 2x)
=12sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-π3-32，
因此f(x)的最小正周期為π，最大值為2-32.(6分)
(2)當(dāng)x∈π6，2π3時(shí)，0≤2x-π3≤π，從而當(dāng)0≤2x-π3≤π2，即π6≤x≤5π12時(shí)，f(x)單調(diào)遞增;π2≤2x-π3≤π即512π≤x≤2π3時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.
綜上可知，f(x)在π6，5π12上單調(diào)遞增;在5π12，2π3上單調(diào)遞減.(12分)
18.14924 【解析】a2+a20b7+b15=a1+a21b1+b21=S21T21=14924.
19.2 【解析】可以將函數(shù)式整理為f(x)=x2+1+2x+sin xx2+1=1+2x+sin xx2+1，不妨令g(x)=2x+sin xx2+1，易知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱.若x=x0時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值M，則由對(duì)稱性可知，當(dāng)x=-x0時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值m，因此，M+m=f(x0)+f(-x0)=2.
20.【解析】(1)如圖，取PD中點(diǎn)M，連接EM、AM.由于E、M分別為PC、PD的中點(diǎn)，故EM∥DC，且EM=12DC，又由已知，可得EM∥AB且EM=AB，故四邊形ABEM為平行四邊形，所以BE∥AM.
因?yàn)镻A⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，從而CD⊥平面PAD，因?yàn)锳M?平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD.(5分)
(2)連接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，
得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM，又因?yàn)锳D=AP，M為PD的中點(diǎn)，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD.所以直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM，而B(niǎo)E⊥EM，可得∠EBM為銳角，故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角.
依題意，有PD=22，而M為PD中點(diǎn)，可得AM=2，進(jìn)而B(niǎo)E=2.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM=EMBE=ABBE=12，因此sin∠EBM=33.
所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為33.(13分)
21.【解析】(1)∵在四邊形ABCD中，
AD∥BC，AB=3，∠A=120°，BD=3.
∴由余弦定理得cos 120°=3+AD2-92×3×AD，
解得AD=3(舍去AD=-23)，
∴AD的長(zhǎng)為3.(5分)
(2)∵AB=AD=3，∠A=120°，∴∠ADB=12(180°-120°)=30°，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°.
∵∠BCD=105°，∠DBC=30°，∴∠BDC=180°-105°-30°=45°，△BCD中，由正弦定理得BCsin 45°=3sin 105°，解得BC=33-3.(9分)
從而S△BDC=12BC•BDsin∠DBC=12×(33-3)×3×sin 30°=94(3-1).(10分)
S△ABD=12AB×ADsin A=12×3×3×sin 120°=343.(11分)
∴S=S△ABD+S△BDC=123-94.(13分)
22.【解析】(1)當(dāng)b=-1時(shí)，f(x)=x|x-a|-x=x(|x-a|-1)，
由f(x)=0，解得x=0或|x-a|=1，
由|x-a|=1，解得x=a+1或x=a-1.
∵f(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)且a+1≠a-1，
∴a+1=0或a-1=0，得a=±1.(4分)
(2)當(dāng)b=1時(shí)，f(x)=x|x-a|+x，
①∵對(duì)于任意x∈[1，3]，恒有f(x)x≤2x+1，
即x|x-a|+xx≤2x+1，即|x-a|≤2x+1-1，
∵x∈[1，3]時(shí)，2x+1-1>0，
∴1-2x+1≤x-a≤2x+1-1，
即x∈[1，3]時(shí)恒有a≤x+2x+1-1，a≥x-2x+1+1，成立.
令t=x+1，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，t∈[2，2]，x=t2-1.
∴x+2x+1-1=t2+2t-2=(t+1)2-3≥(2+1)2-3=22，
∴x-2x+1+1=t2-2t=(t-1)2-1≤0，
綜上，a的取值范圍是[0，22].(8分)
?、趂(x)=-x2+ax+x，x≤ax2-ax+x，x>a=-x-a+122+(a+1)24，x≤a，x-a-122-(a-1)24，x>a.
當(dāng)0
這時(shí)y=f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，
此時(shí)g(a)=f(2)=6-2a;
當(dāng)1
y=f(x)在0，a+12上單調(diào)遞增，在a+12，a上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增，
∴g(a)=maxfa+12，f(2)，fa+12=(a+1)24，f(2)=6-2a，
而fa+12-f(2)=(a+1)24-(6-2a)=(a+5)2-484，
當(dāng)1
當(dāng)43-5≤a<2時(shí)，g(a)=fa+12=(a+1)24;
當(dāng)2≤a<3時(shí)，a-12
這時(shí)y=f(x)在0，a+12上單調(diào)遞增，在a+12，2上單調(diào)遞減，
此時(shí)g(a)=fa+12=(a+1)24;
當(dāng)a≥3時(shí)，a+12≥2，y=f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，
此時(shí)g(a)=f(2)=2a-2.
綜上所述，x∈[0，2]時(shí)，g(a)=6-2a，0
有關(guān)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷
第Ⅰ卷(選擇題，滿分60分)
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫(xiě)在答題卡上。并檢查條形碼粘貼是否正確。
2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。
3.考試結(jié)束后，將答題卡收回。
一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求)
1. 的值是
A. B. C. D.
2. 已知 ，則下列不等式正確的是
A. B. C. D.
3. 已知等比數(shù)列 中， ， ，則
A.4 B.-4 C. D.16
4. 若向量 ， ， ，則 等于
A. B.
C. D.
5. 在 中， =60°， ， ，則 等于
A.45°或135° B.135°
C.45° D.30°
6. 在 中，已知 ，那么 一定是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D.正三角形
7. 不等式 對(duì)任何實(shí)數(shù) 恒成立，則 的取值范圍是
A. (﹣3，0 ) B. (﹣3，0]
C. [﹣3，0 ) D. [﹣3，0]
8. 《萊茵德紙草書(shū)》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中有一道這樣的題目：把100磅面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的兩份之和的 是較小的三份之和，則最小的1份為
A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅
9. 如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔 的高，先在河岸上選一點(diǎn) ，使 在塔底 的正東方向上，此時(shí)測(cè)得點(diǎn) 的仰角為 再由點(diǎn) 沿北偏東 方向走 到位置 ，測(cè)得 ，則塔 的高是
A. 10
B. 102
C. 103
D. 10
10. 已知兩個(gè)等差數(shù)列 和 的前 項(xiàng)和分別為 和 ，且 ，則使得 為質(zhì)數(shù)的正整數(shù) 的個(gè)數(shù)是
A.2 B.3 C.4 D.5
11. 如圖，菱形 的邊長(zhǎng)為 為 中點(diǎn)，若 為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，則 的最大值為
A. B. C. D.
12.對(duì)于數(shù)列 ，定義 為數(shù)列 的“誠(chéng)信”值，已知某數(shù)列 的“誠(chéng)信”值 ,記數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 對(duì)任意的 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題，滿分90分)
注意事項(xiàng)：
1.請(qǐng)用藍(lán)黑鋼筆或圓珠筆在第Ⅱ卷答題卡上作答，不能答在此試卷上。
2.試卷中橫線及框內(nèi)注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答題卡上作答。
二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 不等式 的解集為 ▲ .
14. 化簡(jiǎn) ▲ .
15. 已知 ，并且 ， ， 成等差數(shù)列，則 的最小值為 ▲ .
16. 已知函數(shù) 的定義域?yàn)?,若對(duì)于 、 、 分別為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，則稱 為“三角形函數(shù)”。給出下列四個(gè)函數(shù)：
① ; ② ;
?、?;④ .
其中為“三角形函數(shù)”的數(shù)是 ▲ .
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)
17.(本題滿分10分)
已知 , 是互相垂直的兩個(gè)單位向量， ， .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)當(dāng) 為何值時(shí)， 與 共線.
▲
18.(本題滿分12分)
已知 是等比數(shù)列， ，且 ， ， 成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè) ，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 .
▲
19.(本題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)求 的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若 ， ，求 的值.
▲
20.(本題滿分12分)
建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來(lái)的大計(jì)，是實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的重要內(nèi)容.習(xí)近平指出：“綠水青山就是金山銀山”。某鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定開(kāi)墾荒地打造生態(tài)水果園區(qū)，其調(diào)研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水果樹(shù)的產(chǎn)量 (單位：千克)與肥料費(fèi)用 (單位：元)滿足如下關(guān)系： 。此外，還需要投入其它成本(如施肥的人工費(fèi)等) 元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)為16元/千克，且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求。記該棵水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)為 (單位：元)。
(Ⅰ)求 的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
▲
21.(本題滿分12分)
如圖：在 中， ，點(diǎn) 在線段 上，且 .
(Ⅰ)若 ， .求 的長(zhǎng);
(Ⅱ)若 ，求△DBC的面積最大值.
▲
22.(本題滿分12分)
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 且 .
(Ⅰ)求證 為等比數(shù)列，并求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，是否存在正整數(shù) ，對(duì)任意 ，不等式 恒成立?若存在，求出 的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
▲
數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分意見(jiàn)
一、選擇題(5′×12=60′)
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D C A B D B A D C
二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 14.1 15.9 16. ①④
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)
17.(10分)
解：(1)因?yàn)?, 是互相垂直的單位向量，所以 ,
; …………2分
∴ …5分
(2) ∵ 與 共線，
∴ ，又 不共線; …………8分
∴ …………10分
【解法二】
解：設(shè) 與 的夾角為 ，則由 ， 是互相垂直的單位向量，不妨設(shè) , 分別為平面直角坐標(biāo)系中 軸、 軸方向上的單位向量，則 …………1分
(1)
∴ …………5分
(2) ，
∵ 與 共線，∴ …………8分
∴ …………10分
18.(12分)
(1)設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，由 ， ， 成等差數(shù)列
∴ ， …………2分
即 ∴
∴ . …………6分
(2)由
…………8分
兩式作差：
…………10分
∴ …………12分
19.(12分)
解:(1)
……………3分
令 ， ……………5分
所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， . ……………6分
(2) ，
∵ ∴ ∴ ……………9分
∴ ……………10分
. ……………12分
20.(12分)
(1) ……………6分
(2)當(dāng) ……………8分
當(dāng)
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)等號(hào)成立 ……………11分
答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為30元時(shí)， 種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是430元. …12分
21.(12分)
∵ ……………1分
(1)法一、在 中,設(shè) , 由余弦定理可得： ①
……………2分
在 和 中，由余弦定理可得：
又因?yàn)?/p>
∴ 得 ② ……………4分
由①②得 ∴ . ……………6分
法二、向量法： 得 ……………3分
得 ……5分
∴ ……………6分
(2) ……………7分
由
∴ (當(dāng)且僅當(dāng) 取等號(hào)) ……………10分
由 ，可得
∴ 的面積最大值為 . ……………12分
22.(12分)
解析：(1)證明：當(dāng) 時(shí)， ……………1分
當(dāng) 時(shí)， ……………2分
兩式作差：
得 ， ……………4分
以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列; ……………5分
(2) 代入 得 ……………6分
由
∴ 為遞增數(shù)列， ……………7分
∴
………9分
當(dāng) 時(shí)， ;
當(dāng) 時(shí)， ;
當(dāng) 時(shí)，
; ∵ ……………11分
∴存在正整數(shù) 對(duì)任意 ，不等式 恒成立，
正整數(shù) 的最小值為1 ……………12分
高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題帶答案
第I卷(60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、已知 ，其中 是第二象限角，則 = ( )
A. B. C. D.
2、要得到 的圖象只需將 的圖象( )
A.向左平移 個(gè)單位 B.向右平移 個(gè)單位
C.向左平移 個(gè)單位 D.向右平移 個(gè)單位
3、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 值為( )
A. B.
C. D.2
4、已知 ，那么 的值為( )
A. B. C. D.
5、與函數(shù) 的圖象不相交的一條直線是( )
A. B. C. D.
6、設(shè) =(1，2)， =(1，1)， = + .若 ⊥ ，則實(shí)數(shù) 的值等于( )
A. B. C.53 D.32
7、直線 : ,圓 : , 與 的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.相離 C.相切 D.不能確定
8、某班有男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級(jí)中選出5人負(fù)責(zé)校園開(kāi)放日的接待工作.現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選取2人，至少有1名男生的概率是( )
A. B. C. D.
9、已知方程 ，則 的最大值是( )
A.14- B.14+ C.9 D.14
10、已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，其中圖象最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 和 ，圖象在 軸上的截距為 ，給出下列四個(gè)結(jié)論：
?、?的最小正周期為π;
?、?的最大值為2;
?、?;
?、?為奇函數(shù).
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11、在直角三角形 中，點(diǎn) 是斜邊 的中點(diǎn)，點(diǎn) 為線段 的中點(diǎn)， ( )
A.2 B.4 C.5 D.10
12、設(shè) ,其中 ，若 在區(qū)間 上為增函
數(shù)，則 的最大值為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(90分)
二、填空題:本大題共4小題，每小題5分,共20分。
13、歐陽(yáng)修的《賣油翁》中寫(xiě)道：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢(qián)覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢(qián)孔入，而錢(qián)不濕.”可見(jiàn)“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.已知銅錢(qián)是直徑為3 的圓，中間有邊長(zhǎng)為1 的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢(qián)上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計(jì))，則油正好落入孔中的概率是________.
14、為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下隨時(shí)間變化的繁殖規(guī)律，得如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算得回歸直線方程為 .由以上信息，得到下表中 的值為_(kāi)_______.
天數(shù) (天)
3 4 5 6 7
繁殖個(gè)數(shù) (千個(gè))
2.5 3 4 4.5
15、若向量 =(2，3)，向量 =(-4，7)，則 在 上的正射影的數(shù)量為_(kāi)_______________
16、由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù) ，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為_(kāi)____________.(從小到大排列)
三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17、(本小題滿分10分)已知
(1)化簡(jiǎn) ;
(2)若 是第三象限角，且 ，求 的值.
18、(本小題滿分12分)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30)，[30，40)， ，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;
(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù);
(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.
19、(本小題滿分12分)隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高;
(2)計(jì)算甲班身高的樣本方差;
(3)現(xiàn)從乙班的這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名身高不低于173 cm的同學(xué)，求身高為176 cm的同學(xué)被抽到的概率.
20、(本小題滿分12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2，4).
(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC=OA，
求直線l的方程.
21、(本小題滿分12分)已知函數(shù) ， .
(1)求函數(shù) 的最小正周期及在區(qū)間 上的最大值和最小值;
(2)若 ，x0 ，求cos 2x0的值.
22、(本小題滿分12分)已知向量 ， ，
(1)求出 的解析式，并寫(xiě)出 的最小正周期，對(duì)稱軸，對(duì)稱中心;
(2)令 ，求 的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)若 ，求 的值.
數(shù)學(xué)答案
一、選擇題
1—5;ACDAC 6—10;AADBD; 11—12;DC
二、填空題
13、 ; 14、6; 15、 ; 16、1,1,3,3
三、解答題
17、解：(1) ..........(4分)
(2) ..........(6分)
是第三象限角, ......(8分)
...........(10)
18、解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為
(0.02+0.04)×10=0.6 ,..........(2分)
樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4.
∴從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)為0.4..........(4分)
(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為
，
分?jǐn)?shù)在區(qū)間 內(nèi)的人數(shù)為 ...........(6分)
所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間 內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為 ...........(8分)
(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為
，
所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為 ...........(10分)
所以樣本中的男生人數(shù)為 ，女生人數(shù)為 ，男生和女生人數(shù)的比例為 ..........(12分)
19、解：(1)由莖葉圖可知，甲班的平均身高為
x=182+179+179+171+170+168+168+163+162+15810=170，..........(2分)
乙班的平均身高為y=181+170+173+176+178+179+162+165+168+15910=171.1.
所以乙班的平均身高高于甲班...........(4分)
(2)由(1)知x=170，
∴s2=110[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+ (168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2...........(8分)
(3)設(shè)身高為176 cm的同學(xué)被抽中為事件A，從乙班10名同學(xué)中抽取兩名身高不低于173 cm的同學(xué)有(181,176)，(181,173)，(181,178)，(181,179)，(173,176)，(173,178)，(173,179)，(176,178)，(176,179)，(178,179)共10個(gè)基本事件.
而事件有(181,176)，(173,176)，(176,178)，(176,179)共4個(gè)基本事件...........(11分)
∴P(A)=410=25. ..........(12分)
20、解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25，
所以圓心M(6,7)，半徑為5.
(1)圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-1)2=1...........(2分)
(2)因?yàn)橹本€l∥OA，所以直線l的斜率為4-02-0=2
設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，...........(4分)
因?yàn)锽C=OA=22+42=25，而MC2=d2+ 2， ...........(6分)
則圓心M到直線l的距離d=|2×6-7+m|5=|m+5|5 ............(8分)
所以解得m=5或m=-15............(10分)
故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0............(12分)
21.解：(1)由f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1，
得f(x)=3(2sin xcos x)+(2cos2x-1)
=3sin 2x+cos 2x=2sin ，...........(2分)
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π............(3分)
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的最大值為2，最小值為-1............(6分)
(2) 由(1)可知f(x0)=2sin
又因?yàn)閒(x0)=65，所以sin =35.
由x0∈ ，得2x0+π6∈ ...........(8分)
從而cos = =-45............(10分)
所以cos 2x0=cos =cos cosπ6+sin sinπ6
=3-4310............(12分)
22、解：(1)
...........(2分)
所以 的最小正周期 ，對(duì)稱軸為
對(duì)稱中心為 ...........(4分)
(2) ...........(6分)
令 得
所以 的單調(diào)減區(qū)間為 ...........(8分)
(3)若 // ，則 即
...........(10分)
...........(12分)
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