黃岡市2016-2017學(xué)年高一期末文理科數(shù)學(xué)試卷(2)
黃岡市2016-2017學(xué)年高一下期末理科數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.下列結(jié)論正確的是( )
A.若ab，則ac2bc2 B.若a2b2，則ab
C.若ab，c0，則ac
2.設(shè)數(shù)列an}是等差數(shù)列，若a2a4+a6=12，則a1a2+…+a7等于( )
A.14 B.21 C.28 D.35
3.設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是( )
A.若lm，mα，則lα B.若lα，lm，則mα
C.若lα，mα，則lm D.若lα，mα，則lm
4.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若3a=2b，則的值為( )
A.﹣ B. C.1 D.
5.已知等比數(shù)列an}中，a3=2，a4a6=16，則=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
6.從點(diǎn)(2，3)射出的光線沿斜率k=的方向射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為( )
A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0
7.若α，β為銳角，且滿足cosα=，cos(αβ)=，則sinβ的值為( )
A.﹣ B. C. D.
8.若動(dòng)點(diǎn)A(x1，y2)、B(x2，y2)分別在直線l1：xy﹣11=0和l2：xy﹣1=0上移動(dòng)，則AB中點(diǎn)M所在直線方程為( )
A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0
9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中，正(主)視圖，側(cè)(左)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
10.將正偶數(shù)集合2，4，6，…從小到大按第n組有2n個(gè)偶數(shù)進(jìn)行分組：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，則2018位于( )組.
A.30 B.31 C.32 D.33
11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則ω=的取值范圍是( )
A.﹣1，] B.﹣，] C.﹣，1) D.﹣，)
12.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F平面D1AE，則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構(gòu)成的集合是( )
A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}
二、填空題(每小題5分，本題共20分)
13.若關(guān)于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1，m)，則m= .
14.若，則tan2α= .
15.若ABC的面積為，BC=2，C=60°，則邊AB的長(zhǎng)度等于 .
16.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，則
(1)z=x2y2的最小值為 .
(2)若函數(shù)y=2x﹣1m的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A(1，a)，B(﹣5，﹣3)，C(4，0);
(1)當(dāng)a(，3)時(shí)，求直線AC的傾斜角α的取值范圍;
(2)當(dāng)a=2時(shí)，求ABC的BC邊上的高AH所在直線方程l.
18.在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊， =，且ac=2.
(1)求角B;
(2)求邊長(zhǎng)b的最小值.
19.已知A(4，﹣3)，B(2，﹣1)和直線l：4x3y﹣2=0.
(1)求在直角坐標(biāo)平面內(nèi)滿足PA|=|PB|的點(diǎn)P的方程;
(2)求在直角坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PA|=|PB|且點(diǎn)P到直線l的距離為2的坐標(biāo).
20.如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為正三角形，俯視圖為正方形(尺寸如圖所示)，E為VB的中點(diǎn).
(1)求證：VD平面EAC;
(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
21.某投資公司計(jì)劃投資A，B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)y1與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y1=18﹣，B產(chǎn)品的利潤(rùn)y2與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y2= (注：利潤(rùn)與投資金額單位：萬(wàn)元).
(1)該公司已有100萬(wàn)元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品中，其中x萬(wàn)元資金投入A產(chǎn)品，試把A，B兩種產(chǎn)品利潤(rùn)總和表示為x的函數(shù)，并寫(xiě)出定義域;
(2)在(1)的條件下，試問(wèn)：怎樣分配這100萬(wàn)元資金，才能使公司獲得最大利潤(rùn)?其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?
22.已知曲線f(x)=(x0)上有一點(diǎn)列Pn(xn，yn)(nN*)，過(guò)點(diǎn)Pn在x軸上的射影是Qn(xn，0)，且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)
(1)求數(shù)列xn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)四邊形PnQnQn1Pn+1的面積是Sn，求Sn;
(3)在(2)條件下，求證： ++…+<4.
2016-2017學(xué)年湖北省黃岡市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.下列結(jié)論正確的是( )
A.若ab，則ac2bc2 B.若a2b2，則ab
C.若ab，c0，則ac
【考點(diǎn)】71：不等關(guān)系與不等式.
【分析】對(duì)于A，B舉反例即可，對(duì)于C，D根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷
【解答】解：對(duì)于A：當(dāng)c=0時(shí)，不成立，
對(duì)于B：當(dāng)a=﹣2，b=1時(shí)，則不成立，
對(duì)于C：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可得若ab，c0，則ac>b+c，故C不成立，
對(duì)于D：若<，則ab，成立，
故選：D
2.設(shè)數(shù)列an}是等差數(shù)列，若a2a4+a6=12，則a1a2+…+a7等于( )
A.14 B.21 C.28 D.35
【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)及其求和公式即可得出.
【解答】解：數(shù)列an}是等差數(shù)列，a2a4+a6=12，
3a4=12，解得a4=4.
則a1a2+…+a7=7a4=28.
故選：C.
3.設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是( )
A.若lm，mα，則lα B.若lα，lm，則mα
C.若lα，mα，則lm D.若lα，mα，則lm
【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定.
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：A，根據(jù)線面垂直的判定定理判斷.C：根據(jù)線面平行的判定定理判斷.D：由線線的位置關(guān)系判斷.B：由線面垂直的性質(zhì)定理判斷;綜合可得答案.
【解答】解：A，根據(jù)線面垂直的判定定理，要垂直平面內(nèi)兩條相交直線才行，不正確;
C：lα，mα，則lm或兩線異面，故不正確.
D：平行于同一平面的兩直線可能平行，異面，相交，不正確.
B：由線面垂直的性質(zhì)可知：平行線中的一條垂直于這個(gè)平面則另一條也垂直這個(gè)平面.故正確.
故選B
4.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若3a=2b，則的值為( )
A.﹣ B. C.1 D.
【考點(diǎn)】HR：余弦定理;HP：正弦定理.
【分析】根據(jù)正弦定理，將條件進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.
【解答】解：3a=2b，b=，
根據(jù)正弦定理可得===，
故選：D.
5.已知等比數(shù)列an}中，a3=2，a4a6=16，則=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì).
【分析】設(shè)等比數(shù)列an}的公比為q，由于a3=2，a4a6=16，可得=2， =16，解得q2.可得=q4.
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an}的公比為q，a3=2，a4a6=16， =2， =16，
解得q2=2.
則==q4=4.
故選：B.
6.從點(diǎn)(2，3)射出的光線沿斜率k=的方向射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為( )
A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0
【考點(diǎn)】IQ：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程.
【分析】用點(diǎn)斜式求出入射光線方程，求出入射光線與反射軸y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用(2，3)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)(﹣2，3)，在反射光線上，點(diǎn)斜式求出反射光線所在直線方程，并化為一般式.
【解答】解：由題意得，射出的光線方程為y﹣3=(x﹣2)，即x﹣2y4=0，與y軸交點(diǎn)為(0，2)，
又(2，3)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為(﹣2，3)，
反射光線所在直線過(guò)(0，2)，(﹣2，3)，
故方程為y﹣2=(x﹣0)，即 x2y﹣4=0.
故選：A.
7.若α，β為銳角，且滿足cosα=，cos(αβ)=，則sinβ的值為( )
A.﹣ B. C. D.
【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù).
【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα、sin(αβ)的值，再利用兩角和差的正弦公式求得sinβ=sin(αβ)﹣α的值.
【解答】解：α，β為銳角，且滿足cosα=，cos(αβ)=，
sinα=，sin(αβ)=，
sinβ=sin[(αβ)﹣α=sin(αβ)cosα﹣cos(αβ)sinα=﹣=，
故選：B
8.若動(dòng)點(diǎn)A(x1，y2)、B(x2，y2)分別在直線l1：xy﹣11=0和l2：xy﹣1=0上移動(dòng)，則AB中點(diǎn)M所在直線方程為( )
A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0
【考點(diǎn)】J3：軌跡方程.
【分析】根據(jù)題意可推斷出M點(diǎn)的軌跡為平行于直線l1、l2且到l1、l2距離相等的直線l進(jìn)而根據(jù)兩直線方程求得M的軌跡方程.
【解答】解：由題意知，M點(diǎn)的軌跡為平行于直線l1、l2且到l1、l2距離相等的直線l，故其方程為xy﹣6=0，
故選：D.
9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中，正(主)視圖，側(cè)(左)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】先由三視圖還原成原來(lái)的幾何體，再根據(jù)三視圖中的長(zhǎng)度關(guān)系，找到幾何體中的長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)而可以求幾何體的體積.
【解答】解：由三視圖可得該幾何體的上部分是一個(gè)三棱錐，下部分是半球，
所以根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得：
V=××
=，
故選C.
10.將正偶數(shù)集合2，4，6，…從小到大按第n組有2n個(gè)偶數(shù)進(jìn)行分組：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，則2018位于( )組.
A.30 B.31 C.32 D.33
【考點(diǎn)】F1：歸納推理.
【分析】根據(jù)題意可分析第一組、第二組、第三組、…中的數(shù)的個(gè)數(shù)及最后的數(shù)，從中尋找規(guī)律即可使問(wèn)題得到解決.
【解答】解：第一組有2=12個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為4;
第二組有4=22個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為12即2(24);
第三組有6=23個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為24，即2(24+6);
…
第n組有2n個(gè)數(shù)，其中最后一個(gè)數(shù)為2(24+…+2n)=4(12+3+…+n)=2n(n1).
當(dāng)n=31時(shí)，第31組的最后一個(gè)數(shù)為231×32=1984，
當(dāng)n=32時(shí)，第32組的最后一個(gè)數(shù)為232×33=2112，
2018位于第32組.
故選：C
11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則ω=的取值范圍是( )
A.﹣1，] B.﹣，] C.﹣，1) D.﹣，)
【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.
【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線的斜率公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.
【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
ω的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(﹣1，1)的斜率，
由圖象知當(dāng)直線和BC：x﹣y=0平行時(shí)，直線斜率最大，此時(shí)直線斜率為1，但取不到，
當(dāng)直線過(guò)A(1，0)時(shí)，直線斜率最小，
此時(shí)AD的斜率k==，
則ω的范圍是﹣，1)，
故選：C
12.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F平面D1AE，則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構(gòu)成的集合是( )
A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}
【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角.
【分析】設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn).分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，可證出平面A1MN平面D1AE，從而得到A1F是平面A1MN內(nèi)的直線.由此將點(diǎn)F在線段MN上運(yùn)動(dòng)并加以觀察，即可得到A1F與平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不難得到A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍.
【解答】解：設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn)
分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，則
A1M∥D1E，A1M平面D1AE，D1E平面D1AE，
A1M∥平面D1AE.同理可得MN平面D1AE，
A1M、MN是平面A1MN內(nèi)的相交直線
平面A1MN平面D1AE，
由此結(jié)合A1F平面D1AE，可得直線A1F平面A1MN，即點(diǎn)F是線段MN上上的動(dòng)點(diǎn).
設(shè)直線A1F與平面BCC1B1所成角為θ
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)F并加以觀察，可得
當(dāng)F與M(或N)重合時(shí)，A1F與平面BCC1B1所成角等于A1MB1，此時(shí)所成角θ達(dá)到最小值，滿足tanθ==2;
當(dāng)F與MN中點(diǎn)重合時(shí)，A1F與平面BCC1B1所成角達(dá)到最大值，滿足tanθ==2
A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍為2，2]
故選：D
二、填空題(每小題5分，本題共20分)
13.若關(guān)于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1，m)，則m= 2 .
【考點(diǎn)】74：一元二次不等式的解法.
【分析】由二次不等式的解集形式，判斷出 1，m是相應(yīng)方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理求出m的值.
【解答】解：ax2﹣6xa2<0的解集是 (1，m)，
a>0，
1，m是相應(yīng)方程ax2﹣6xa2=0的兩根，
解得 m=2;
故答案為：2.
14.若，則tan2α= .
【考點(diǎn)】GU：二倍角的正切.
【分析】由條件可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得結(jié)論.
【解答】解：，
2(sinαcosα)=sinα﹣cosα
sinα=﹣3cosα
tanα=﹣3
tan2α===
故答案為：
15.若ABC的面積為，BC=2，C=60°，則邊AB的長(zhǎng)度等于 2 .
【考點(diǎn)】HP：正弦定理.
【分析】利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把已知面積，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可.
【解答】解：ABC的面積為，BC=a=2，C=60°，
absinC=，即b=2，
由余弦定理得：c2=a2b2﹣2abcosC=44﹣4=4，
則AB=c=2，
故答案為：2
16.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，則
(1)z=x2y2的最小值為 .
(2)若函數(shù)y=2x﹣1m的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.
【分析】由題意作平面區(qū)域，(1)利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求解z=x2y2的最小值;
(2)利用圖形，求出圖形中A，B，C坐標(biāo);化簡(jiǎn)y=2x﹣1m，從而確定最值.
【解答】解：由題意作不等式組平面區(qū)域如圖：
(1)z=x2y2的最小值為圖形中OP的距離的平方;
可得： =.
(2)
結(jié)合圖象可知，，可得B(，)，解得A(2，﹣1).當(dāng)x時(shí)，
y=1m﹣2x，解得C(，)
x(，2時(shí)，y=2x﹣1m，m的范圍在A，B，C之間取得，y=2x﹣1m，
經(jīng)過(guò)A時(shí)，可得3m=﹣1，即m=﹣4，m有最小值為﹣4;
經(jīng)過(guò)C可得，可得m=，即最大值為：;
經(jīng)過(guò)B可得1﹣+m=，m=.
函數(shù)y=2x﹣1m的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍：.
故答案為：，.
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A(1，a)，B(﹣5，﹣3)，C(4，0);
(1)當(dāng)a(，3)時(shí)，求直線AC的傾斜角α的取值范圍;
(2)當(dāng)a=2時(shí)，求ABC的BC邊上的高AH所在直線方程l.
【考點(diǎn)】IG：直線的一般式方程.
【分析】(1)求出AC的斜率，根據(jù)a的范圍，求出AC的斜率的范圍，從而求出傾斜角的范圍即可;
(2)求出BC的斜率，根據(jù)垂直關(guān)系求出AH的斜率，代入點(diǎn)斜式方程即可求出l.
【解答】解：(1)KAC==﹣，
a(，3)，則KAC(﹣1，﹣)，
k=tanα，又α∈[0，π，
α∈(，);
(2)KBC==，
AH為高，AH⊥BC，
KAH•KBC=﹣1，
KAH=﹣3;
又l過(guò)點(diǎn)A(1，2)，
l：y﹣2=﹣3(x﹣1)，
即3xy﹣5=0.
18.在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊， =，且ac=2.
(1)求角B;
(2)求邊長(zhǎng)b的最小值.
【考點(diǎn)】HS：余弦定理的應(yīng)用;HP：正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)表達(dá)式，求角B;個(gè)兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可.
(2)利用余弦定理求邊長(zhǎng)b的最小值.推出b的表達(dá)式，利用基本不等式求解即可.
【解答】解：(1)在ABC中，由已知，
即cosCsinB=(2sinA﹣sinC)cosB，
sin(BC)=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB，…4分
ABC 中，sinA0，
故. …6分.
(2)ac=2，
由(1)，因此b2=a2c2﹣2accosB=a2c2﹣ac …9分
由已知b2=(ac)2﹣3ac=4﹣3ac …10分
…11分
故b 的最小值為1.…12分
19.已知A(4，﹣3)，B(2，﹣1)和直線l：4x3y﹣2=0.
(1)求在直角坐標(biāo)平面內(nèi)滿足PA|=|PB|的點(diǎn)P的方程;
(2)求在直角坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PA|=|PB|且點(diǎn)P到直線l的距離為2的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】IT：點(diǎn)到直線的距離公式.
【分析】(1)A(4，﹣3)，B(2，﹣1)，可得線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，﹣2)，又kAB=﹣1，即可得出線段AB的垂直平分線方程.
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)，由于點(diǎn)P(a，b)在上述直線上，可得a﹣b﹣5=0.又點(diǎn)P(a，b)到直線l：4x3y﹣2=0的距離為2，可得=2，聯(lián)立解出即可得出.
【解答】解：(1)A(4，﹣3)，B(2，﹣1)，
線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，﹣2)，又kAB=﹣1，
線段AB的垂直平分線方程為y2=x﹣3，
即點(diǎn)P的方程x﹣y﹣5=0.…
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)，
點(diǎn)P(a，b)在上述直線上，a﹣b﹣5=0.
又點(diǎn)P(a，b)到直線l：4x3y﹣2=0的距離為2，
=2，即4a3b﹣2=10，…
聯(lián)立可得或
所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，﹣4)或.…
20.如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為正三角形，俯視圖為正方形(尺寸如圖所示)，E為VB的中點(diǎn).
(1)求證：VD平面EAC;
(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
【考點(diǎn)】MR：用空間向量求平面間的夾角;LS：直線與平面平行的判定.
【分析】(1)欲證VD平面EAC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證VD與平面EAC內(nèi)一直線平行即可，而連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，由已知易得VDEO，VD平面EAC，EO平面EAC，滿足定理?xiàng)l件;
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為P，則VP平面ABCD，建立坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式，可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
【解答】(1)證明：由正視圖可知：平面VAB平面ABCD
連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，由已知得BO=OD，VE=EB
VD∥EO
又VD平面EAC，EO平面EAC
VD∥平面EAC;
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為P，則VP平面ABCD，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則=(0，1，0)
設(shè)平面VBD的法向量為
∴由，可得，可取=(，，1)
二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ==
21.某投資公司計(jì)劃投資A，B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)y1與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y1=18﹣，B產(chǎn)品的利潤(rùn)y2與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y2= (注：利潤(rùn)與投資金額單位：萬(wàn)元).
(1)該公司已有100萬(wàn)元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品中，其中x萬(wàn)元資金投入A產(chǎn)品，試把A，B兩種產(chǎn)品利潤(rùn)總和表示為x的函數(shù)，并寫(xiě)出定義域;
(2)在(1)的條件下，試問(wèn)：怎樣分配這100萬(wàn)元資金，才能使公司獲得最大利潤(rùn)?其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?
【考點(diǎn)】5D：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.
【分析】(1)其中x萬(wàn)元資金投入A產(chǎn)品，則剩余的100﹣x(萬(wàn)元)資金投入B產(chǎn)品，根據(jù)A產(chǎn)品的利潤(rùn)y1與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y1=18﹣，B產(chǎn)品的利潤(rùn)y2與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y2=，可得利潤(rùn)總和;
(2)f(x)=40﹣﹣，x0，100，由基本不等式，可得結(jié)論.
【解答】解：(1)其中x萬(wàn)元資金投入A產(chǎn)品，則剩余的100﹣x(萬(wàn)元)資金投入B產(chǎn)品，
利潤(rùn)總和f(x)=18﹣+=38﹣﹣(x0，100).…
(2)f(x)=40﹣﹣，x0，100，
由基本不等式得：f(x)40﹣2=28，取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，即x=20.…
答：分別用20萬(wàn)元和80萬(wàn)元資金投資A、B兩種金融產(chǎn)品，可以使公司獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為28萬(wàn)元.…
22.已知曲線f(x)=(x0)上有一點(diǎn)列Pn(xn，yn)(nN*)，過(guò)點(diǎn)Pn在x軸上的射影是Qn(xn，0)，且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)
(1)求數(shù)列xn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)四邊形PnQnQn1Pn+1的面積是Sn，求Sn;
(3)在(2)條件下，求證： ++…+<4.
【考點(diǎn)】8I：數(shù)列與函數(shù)的綜合;8K：數(shù)列與不等式的綜合.
【分析】(1)求出n=1時(shí)，x1=1;n2時(shí)，將n換為n﹣1，兩式相減，即可得到所求通項(xiàng)公式;
(2)運(yùn)用點(diǎn)滿足函數(shù)式，代入化簡(jiǎn)，求出梯形的底和高，由梯形的面積公式，化簡(jiǎn)可得;
(3)求得：，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得證.
【解答】解：(1)n=1時(shí)，x1=22﹣1﹣2=1，
n2時(shí)，x1x2+x3+…+xn﹣1=2n﹣(n﹣1)﹣2，
又x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2，
?、讴伒茫簒n=2n﹣1(n=1仍成立)
故xn=2n﹣1;
(2)，
，又，，
故四邊形PnQnQn1Pn+1的面積為：;
(3)證明：，
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