高一數(shù)學(xué)集合的例題講解介紹
高一數(shù)學(xué)集合的例題講解介紹
學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候嗎，需要多注意例題，很多的考試的試題都是根據(jù)課本的典型例題的變化得來的，下面學(xué)習(xí)啦的小編將為大家?guī)砀咭粩?shù)學(xué)關(guān)于集合的典型例題的介紹，希望能夠幫助到大家。
高一數(shù)學(xué)集合的例題講解
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關(guān)系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合M：{x|x= ,m∈Z};對于集合N：{x|x= ,n∈Z}
對于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。
點(diǎn)評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合 ， ，則( B )
A.M=N B.M N C.N M D.
解：
當(dāng) 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B
【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數(shù)為
A)1 B)2 C)3 D)4
分析：確定集合A*B子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。
變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個數(shù)為
A)5個 B)6個 C)7個 D)8個
變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析 本題集合A的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴ ∴
變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數(shù)b,c,m的值.
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1
分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。
解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。
綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
點(diǎn)評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。
變式2：設(shè)M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M(jìn)∩N=N, ∴N M
?、佼?dāng) 時，ax-1=0無解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{-1，0， }
【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：(1)若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于x的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍
1、已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 ( )
2 . 如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一個元素，則a的值是 ( )
A.0 B.0 或1 C.1 D.不能確定
3. 設(shè)集合A={x|1
A.{a|a ≥2｝ B.{a|a≤1｝ C.{a|a≥1｝. D.{a|a≤2｝.
5. 滿足{1，2，3} M {1，2，3，4，5，6}的集合M的個數(shù)是 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
6. 集合A={a2，a+1，-1}，B={2a-1，| a-2 |， 3a2+4}，A∩B={-1}，則a的值是( )
A.-1 B.0 或1 C.2 D.0
7. 已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，則 ( )
A.I=A∪B B.I=( )∪B C.I=A∪( ) D.I=( )∪( )
8. 設(shè)集合M= ，則 ( )
A.M =N B. M N C.M N D. N
9 . 集合A={x|x=2n+1，n∈Z}， B={y|y=4k±1，k∈Z}，則A與B的關(guān)系為 ( )
A.A B B.A B C.A=B D.A≠B
10.設(shè)U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4}，( UA)∩( UB)={1，5}，則下列結(jié)論正確的是( )
A.3 A且3 B B.3 B且3∈A C.3 A且3∈B D.3∈A且3∈B
二.填空題(5分×5=25分)
11 .某班有學(xué)生55人,其中音樂愛好者34人,體育愛好者43人,還有4人既不愛好體育也不愛好音樂,則班級中即愛好體育又愛好音樂的有 人.
12. 設(shè)集合U={(x，y)|y=3x-1}，A={(x，y)| =3}，則 A= .
13. 集合M={y∣y= x2 +1,x∈ R｝,N={y∣ y=5- x2,x∈ R｝,則M∪N=_ __.
14. 集合M={a| ∈N，且a∈Z}，用列舉法表示集合M=_
15、已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,則m的值為
三.解答題.10+10+10=30
16. 設(shè)集合A={x, x2,y2-1｝,B={0,|x|,,y｝且A=B,求x, y的值
17.設(shè)集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0} ，A∩B=B， 求實數(shù)a的值.
18. 集合A={x|x2-ax+a2-19=0｝，B={x|x2-5x+6=0｝，C={x|x2+2x-8=0｝.
(1)若A∩B=A∪B，求a的值;
(2)若 A∩B，A∩C= ，求a的值.
19.(本小題滿分10分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍.
20、已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2-4x+m-1>0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A, 求m的取值范圍.
21、已知集合 ，B={x|2
參考答案
C B A D C D C D C B
26 {(1,2)} R {4,3,2,-1｝ 1或-1或0
16、x=-1 y=-1
17、解：A={0，-4} 又
(1)若B= ，則 ，
(2)若B={0}，把x=0代入方程得a= 當(dāng)a=1時，B=
(3)若B={-4}時，把x=-4代入得a=1或a=7.
當(dāng)a=1時，B={0，-4}≠{-4}，∴a≠1.
當(dāng)a=7時，B={-4，-12}≠{-4}， ∴a≠7.
(4)若B={0，-4}，則a=1 ，當(dāng)a=1時，B={0，-4}， ∴a=1
綜上所述：a
18、.解： 由已知，得B={2，3｝，C={2，-4｝.
(1)∵A∩B=A∪B，∴A=B
于是2，3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的兩個根，由韋達(dá)定理知：
解之得a=5.
(2)由A∩B ∩ ，又A∩C= ，得3∈A，2 A，-4 A，由3∈A，
得32-3a+a2-19=0，解得a=5或a=-2?
當(dāng)a=5時，A={x|x2-5x+6=0｝={2，3｝，與2 A矛盾;
當(dāng)a=-2時，A={x|x2+2x-15=0｝={3，-5｝，符合題意.
∴a=-2.
19、解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).
(1)當(dāng)2
(2)當(dāng)a≤2或a≥10時，Δ≥0，則B≠ .
若x=1，則1-a+3a-5=0,得a=2,
此時B={x|x2-2x+1=0}={1} A;
若x=2，則4-2a+3a-5=0，得a=1,
此時B={2,-1} A.
綜上所述，當(dāng)2≤a<10時，均有A∩B=B.
20、解：由已知A={x|x2+3x+2 }得 得 .(1)∵A非空 ，∴B= ;(2)∵A={x|x }∴ 另一方面， ，于是上面(2)不成立，否則 ，與題設(shè) 矛盾.由上面分析知，B= .由已知B= 結(jié)合B= ,得對一切x 恒成立，于是，有 的取值范圍是
21、∵A={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1}，
B={x|1
∵ ，(A∪B)∪C=R，
∴全集U=R。
∴ 的解為x<-2或x>3，
即，方程 的兩根分別為x=-2和x=3，
由一元二次方程由根與系數(shù)的關(guān)系，得
b=-(-2+3)=-1，c=(-2)×3=-6
高中數(shù)學(xué)關(guān)于集合的知識點(diǎn)
(1)集合是數(shù)學(xué)上的一個基礎(chǔ)概念，所謂的“基礎(chǔ)概念”是不能用其他的概念加以定義的，因此我們只能通過描述它的特點(diǎn)和性質(zhì)來認(rèn)識它。
(2)對于集合一定要從整體的角度來看待它.例如由“我們班的同學(xué)”組成的一個集合A，則它是一個整體，也就是一個班集體;
(3)構(gòu)成集合的對象必須是“確定的”且“不同”的。
(4)要注意組成集合的“對象”的廣泛性：一方面，任何一個確定的對象都可以組成一個集合，如人、動物、數(shù)、方程、不等式等都可以作為組成集合的對象;另一方面，就是集合本身也可以作為集合的對象，如上面所提到的集合A，可以作為以“我們高一年級各班”組成的集合B的元素.
1、確定性：
即給定一個集合，每一個對象是否是該集合中的元素，應(yīng)該是有明確判定標(biāo)準(zhǔn)的才行，不能出現(xiàn)模棱兩可的情況。
例如：個子比較高的同學(xué)，跑得比較快的人，素質(zhì)非常高的人，試問以上的描述對象的全體構(gòu)成集合嗎?
這些表述由于無法找到一個明確的判定標(biāo)準(zhǔn)，因此他們所描述對象就無法組成一個集合。
2、互異性：
集合中的元素是互不相同的，如果出現(xiàn)兩個及以上的相同元素只能算作一個，及集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。
3、無序性：
即集合中的元素沒有次序之分，只要兩個集合的元素王全相同，這么這兩個集合就是同一集合。
知識解讀：
集合中的元素，必須具備確定性、互異性、無序性。反過來，一組對象若不具備這三性，則這組對象也就不能構(gòu)成集合，集合中元素的這三大特性是我們判斷一組對象是否能構(gòu)成集合的依據(jù).
解決與集合有關(guān)的問題時，要充分利用集合元素的“三性”來分析解決，也就是一方面，我們要利用集合元素的“三性”找到解題的“突破口”;另一方面，問題被解決之時，應(yīng)注意檢驗元素是否滿足它的“三性”.
以下是高中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)集及相應(yīng)字母表示，在學(xué)習(xí)過程中大家比較容易混淆：
有理數(shù)集(N)、整數(shù)集(Z)、有理數(shù)集(Q)、實數(shù)集(R)
實際上，我們只需要按照它們所表示的范圍依次列出，然后記熟四個英文字母即可，非常簡潔高效。
注意：
(1)自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0
(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作N*或N+ ，Q+表示非負(fù)有理數(shù)。
1、集合的概念
集合是集合論中的不定義的原始概念，教材中對集合的概念進(jìn)行了描述性說明：“一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(或集)”。理解這句話，應(yīng)該把握4個關(guān)鍵詞：對象、確定的、不同的、整體。
對象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一確定的。
整體――集合不是研究某一單一對象的，它關(guān)注的是這些對象的全體。
確定的――集合元素的確定性――元素與集合的“從屬”關(guān)系。
不同的――集合元素的互異性。
2、有限集、無限集、空集的意義
有限集和無限集是針對非空集合來說的。我們理解起來并不困難。
我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記做Φ。理解它時不妨思考一下“0與Φ”及“Φ與{Φ}”的關(guān)系。
幾個常用數(shù)集N、N*、N+、Z、Q、R要記牢。
3、集合的表示方法
(1)列舉法的表示形式比較容易掌握，并不是所有的集合都能用列舉法表示，同學(xué)們需要知道能用列舉法表示的三種集合：
?、僭夭惶嗟挠邢藜?，如{0，1，8}
?、谠剌^多但呈現(xiàn)一定的規(guī)律的有限集，如{1，2，3，„，100}
?、鄢尸F(xiàn)一定規(guī)律的無限集，如 {1，2，3，„，n，„}
●注意a與{a}的區(qū)別
●注意用列舉法表示集合時，集合元素的“無序性”。
(2)特征性質(zhì)描述法的關(guān)鍵是把所研究的集合的“特征性質(zhì)”找準(zhǔn)，然后適當(dāng)?shù)乇硎境鰜砭托辛恕５P(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)。學(xué)習(xí)時多加練習(xí)就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2}， {y|y=x2}， {(x，y)|y=x2}是三個不同的集合。
4、集合之間的關(guān)系
●注意區(qū)分“從屬”關(guān)系與“包含”關(guān)系
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