高一數(shù)學(xué)教材下冊(cè)《向量的數(shù)量積》練習(xí)及解析(2)
高一數(shù)學(xué)教材下冊(cè)《向量的數(shù)量積》練習(xí)及解析
二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上.)
7.(2010•江西)已知向量a，b滿足|b|=2，a與b的夾角為60°，則b在a上的投影是________.
解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉=2cos60°=1.
答案：1
8.(2010•浙江)已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥(α-2β)，則|2α+β|的值是________.
解析：由于α⊥(α-2β)，所以α•(α-2β)=|α|2-2α•β=0，故2α•β=1，所以|2α+β|=4|α|2+4α•β+|β|2=4+2+4=10.
答案：10
9.已知|a|=2，|b|=2，a與b的夾角為45°，要使λb-a與a垂直，則λ=________.
解析：由λb-a與a垂直，(λb-a)•a=λa•b-a2=0，所以λ=2.
答案：2
10.在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2，則 )的最小值是________.
解析：令| |=x且0≤x≤2，則| |=2-x.
=-2(2-x)x=2(x2-2x)=2(x-1)2-2≥-2.
∴ 的最小值為-2.
答案：-2
三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫(xiě)出證明過(guò)程或推演步驟.)
11.已知|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為45°，求使向量(2a+λb)與(λa-3b)的夾角是銳角的λ的取值范圍.
解：由|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為45°，
則a•b=|a||b|cos45°=2×1×22=1.
而(2a+λb)•(λa-3b)=2λa2-6a•b+λ2a•b-3λb2=λ2+λ-6.
設(shè)向量(2a+λb)與(λa-3b)的夾角為θ，
則cosθ=(2a+λb)•(λa-3b)|2a+λb||λa-3b|>0，且cosθ≠1，
∴(2a+λb)•(λa-3b)>0，∴λ2+λ-6>0，
∴λ>2或λ<-3.
假設(shè)cosθ=1，則2a+λb=k(λa-3b)(k>0)，
∴2=kλ，λ=-3k，解得k2=-23.
故使向量2a+λb和λa-3b夾角為0°的λ不存在.
所以當(dāng)λ>2或λ<-3時(shí)，向量(2a+λb)與(λa-3b)的夾角是銳角.
評(píng)析：由于兩個(gè)非零向量a，b的夾角θ滿足0°≤θ≤180°，所以用cosθ=a•b|a||b|去判斷θ分五種情況：cosθ=1，θ=0°;cosθ=0，θ=90°;cosθ=-1，θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1，θ為鈍角;cosθ>0且cosθ≠1，θ為銳角.
12.設(shè)在平面上有兩個(gè)向量a=(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b=-12，32.
(1)求證：向量a+b與a-b垂直;
(2)當(dāng)向量3a+b與a-3b的模相等時(shí)，求α的大小.
解：(1)證明：因?yàn)?a+b)•(a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-14+34=0，故a+b與a-b垂直.
(2)由|3a+b|=|a-3b|，兩邊平方得3|a|2+23a•b+|b|2=|a|2-23a•b+3|b|2，
所以2(|a|2-|b|2)+43a•b=0，而|a|=|b|，所以a•b=0，則-12•cosα+32•sinα=0，
即cos(α+60°)=0，
∴α+60°=k•180°+90°，
即α=k•180°+30°，k∈Z，
又0°≤α<360°，則α=30°或α=210°.
13.已知向量a=(cos(-θ)，sin(-θ))，b=cosπ2-θ，sinπ2-θ，
(1)求證：a⊥b;
(2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使x=a+(t2+3)b，y=-ka+tb滿足x⊥y，試求此時(shí)k+t2t的最小值.
解：(1)證明：∵a•b=cos(-θ)•cosπ2-θ+
sin(-θ)•sinπ2-θ=sinθcosθ-sinθcosθ=0.
∴a⊥b.
(2)由x⊥y，得x•y=0，
即[a+(t2+3)b]•(-ka+tb)=0，
∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a•b=0，
∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.
又|a|2=1，|b|2=1，∴-k+t3+3t=0，
∴k=t3+3t，
∴k+t2t=t3+t2+3tt=t2+t+3
=t+122+114.
故當(dāng)t=-12時(shí)，k+t2t有最小值114.
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