2017數(shù)學必修一函數(shù)應用題及答案(2)
16.有下列四個命題:
?、俸瘮?shù)f(x)=|x||x-2|為偶函數(shù);
?、诤瘮?shù)y=x-1的值域為{y|y≥0};
?、垡阎螦={-1,3},B={x|ax-1=0,a∈R},若A∪B=A,則a的取值集合為{-1,13};
?、芗螦={非負實數(shù)},B={實數(shù)},對應法則f:“求平方根”,則f是A到B的映射.你認為正確命題的序號為:________.
【解析】 函數(shù)f(x)=|x||x-2|的定義域為(-∞,2)∪
(2,+∞),它關于坐標原點不對稱,所以函數(shù)f(x)=|x||x-2|既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),即命題①不正確;
函數(shù)y=x-1的定義域為{x|x≥1},當x≥1時,y≥0,即命題②正確;
因為A∪B=A,所以B⊆A,若B=Ø,滿足B⊆A,這時a=0;若B≠Ø,由B⊆A,得a=-1或a=13.因此,滿足題設的實數(shù)a的取值集合為{-1,0,13},即命題③不正確;依據(jù)映射的定義知,命題④正確.
【答案】?、冖?/p>
三、解答題(本大題共6小題,共74分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2-3x-10的兩個零點為x1,x2(x1
【解析】 A={x|x≤-2,或x≥5}.
要使A∩B=Ø,必有2m-1≥-2,3m+2≤5,3m+2>2m-1,
或3m+2<2m-1,
解得m≥-12,m≤1,m>-3,或m<-3,即-12≤m≤1,或m<-3.
18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)當a=-1時,求f(x)的最大值和最小值;
(2)求實數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調函數(shù).
【解析】 (1)當a=-1時,
f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5].
由于f(x)的對稱軸為x=1,結合圖象知,
當x=1時,f(x)的最小值為1,
當x=-5時,f(x)的最大值為37.
(2)函數(shù)f(x)=(x+a)2+2-a2的圖象的對稱軸為x=-a,
∵f(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調函數(shù),
∴-a≤-5或-a≥5.
故a的取值范圍是a≤-5或a≥5.
19.(本小題滿分12分)(1)計算:27912+(lg5)0+(2764)-13;
(2)解方程:log3(6x-9)=3.
【解析】 (1)原式
=25912+(lg5)0+343-13
=53+1+43=4.
(2)由方程log3(6x-9)=3得
6x-9=33=27,∴6x=36=62,∴x=2.
經(jīng)檢驗,x=2是原方程的解.
20.(本小題滿分12分)有一批影碟機(VCD)原銷售價為每臺800元,在甲、乙兩家商場均有銷售,甲商場用下面的方法促銷:買一臺單價為780元,買兩臺單價為760元,依次類推,每多買一臺單價均減少20元,但每臺最低不低于440元;乙商場一律按原價的75%銷售,某單位需購買一批此類影碟機,問去哪家商場購買花費較少?
【解析】 設購買x臺,甲、乙兩商場的差價為y,則去甲商場購買共花費(800-20x)x,由題意800-20x≥440.
∴1≤x≤18(x∈N).
去乙商場花費800×75%x(x∈N*).
∴當1≤x≤18(x∈N*)時
y=(800-20x)x-600x=200x-20x2,
當x>18(x∈N*)時,y=440x-600x=-160x,
則當y>0時,1≤x≤10;
當y=0時,x=10;
當y<0時,x>10(x∈N).
綜上可知,若買少于10臺,去乙商場花費較少;若買10臺,甲、乙商場花費相同;若買超過10臺,則去甲商場花費較少.
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
【解析】 (1)由1+x>0,1-x>0,得-1
∴函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1).
(2)定義域關于原點對稱,對于任意的x∈(-1,1),
有-x∈(-1,1),
f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù).
22.(本小題滿分14分)設a>0,f(x)=exa+aex是R上的偶函數(shù).
(1)求a的值;
(2)證明:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
【解析】 (1)解:∵f(x)=exa+aex是R上的偶函數(shù),
∴f(x)-f(-x)=0.
∴exa+aex-e-xa-ae-x=0,
即1a-aex+a-1ae-x=0
1a-a(ex-e-x)=0.
由于ex-e-x不可能恒為0,
∴當1a-a=0時,式子恒成立.
又a>0,∴a=1.
(2)證明:∵由(1)知f(x)=ex+1ex,
在(0,+∞)上任取x1
f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2
=(ex1-ex2)+(ex2-ex1)•1ex1+x2.
∵e>1,∴0
∴ex1+x2>1,(ex1-ex2)1-1ex1+x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
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