高一數(shù)學(xué)《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》說課稿
高一數(shù)學(xué)《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》說課稿
"說課"是教學(xué)改革中涌現(xiàn)出來的新生事物,是進行教學(xué)研究、教學(xué)交流和教學(xué)探討的一種新的教學(xué)研究形式,也是集體備課的進一步發(fā)展,而說課稿則是為進行說課準(zhǔn)備的文稿。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的高一數(shù)學(xué)《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》說課稿,歡迎參考!
高一數(shù)學(xué)《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》說課稿
一、教材分析
1.教材中的地位及作用
本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后,在此基礎(chǔ)上,反過來利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容,也是高考的一個考點,是深入研究雙曲線,靈活運用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎(chǔ),更能使學(xué)生理解、體會解析幾何這門學(xué)科的研究方法,培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。
2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)
平面解析幾何研究的主要問題之一就是:通過方程,研究平面曲線的性質(zhì)。教學(xué)參考書中明確要求:學(xué)生要掌握圓錐曲線的性質(zhì),初步掌握根據(jù)曲線的方程,研究曲線的幾何性質(zhì)的方法和步驟。根據(jù)這些教學(xué)原則和要求,以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,我制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。
(1)知識目標(biāo):①使學(xué)生能運用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線等幾何性質(zhì);
?、谡莆针p曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中
的幾何意義,理解雙曲線的漸近線的概念及證明;
?、勰苓\用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。
(2)能力目標(biāo):①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力,想象能力,數(shù)形結(jié)合能力,分析、歸納能力和邏輯推理能力,以及類比的學(xué)習(xí)方法;
?、谑箤W(xué)生進一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法,加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的概念的理解。
(3)德育目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和探索精神,而且能夠運用運動的,變化的觀點分析理解事物。
3.重點、難點的確定及依據(jù)
對圓錐曲線來說,漸近線是雙曲線特有的性質(zhì),而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此,在教學(xué)過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點,充分暴露思維過程,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,通過誘導(dǎo)、分析,巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中,學(xué)生也易接受。因此,我把漸近線的證明作為本節(jié)課的難點,根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱以及高考的要求,結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實際水平和認(rèn)知能力,我把漸近線和離心率這兩個性質(zhì)作為本節(jié)課的重點。
4.教學(xué)方法
這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì),本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”,教學(xué)中可以與其類比講解,讓學(xué)生自己進行探究,得到類似的結(jié)論。在教學(xué)中,學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到,凡是難度不大,經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問題,應(yīng)該讓學(xué)生自己解決,這樣有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性,同時也有利于學(xué)習(xí)建立信心,使他們的主動性得到充分發(fā)揮,從中提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。
漸近線是雙曲線特有的性質(zhì),我們常利用它作出雙曲線的草圖,而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此,在教學(xué)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,通過誘導(dǎo)、分析,從已有知識出發(fā),層層設(shè)(釋)疑,激活已知,啟迪思維,調(diào)動學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力,進一步清晰概念(或圖形)特征,培養(yǎng)思維的深刻性。
例題的選備,可將此題作一題多變(變條件,變結(jié)論),訓(xùn)練學(xué)生一題多解,開拓其解題思路,使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。
二、教學(xué)程序
(一).設(shè)計思路
(二).教學(xué)流程
1.復(fù)習(xí)引入
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及橢圓的簡單的幾何性質(zhì),請同學(xué)們來回顧這些知識點,對學(xué)習(xí)的舊知識加以復(fù)習(xí)鞏固,同時為新知識的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備,利用多媒體工具的先進性,結(jié)合圖像來演示。
2.觀察、類比
這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì),本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”,教學(xué)中可以與其類比講解,讓學(xué)生自己進行探究,首先觀察雙曲線的形狀,試著按照橢圓的幾何性質(zhì),歸納總結(jié)出雙曲線的幾何性質(zhì)。一般學(xué)生能用類似于推導(dǎo)橢圓的幾何性質(zhì)的方法得出雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率,對知識的理解不能浮于表面只會看圖,也要會從方程的角度來解釋,抓住方程的本質(zhì)。用多媒體演示,加強學(xué)生對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)范圍、對稱性、頂點(實軸、虛軸)、離心率(不深入的講解)的鞏固。之后,比較雙曲線的這四個性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)有何聯(lián)系及區(qū)別,這樣可以加強新舊知識的聯(lián)系,借助于類比方法,引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,激發(fā)求知欲。
3.雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明
(1)發(fā)現(xiàn)
由橢圓的幾何性質(zhì),我們能較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形。那么,由雙曲線的幾何性質(zhì),能否較準(zhǔn)確地畫出雙曲線
的圖形為引例,讓學(xué)生動筆實踐,通過列表描點,就能把雙曲線的頂點及附近的點較準(zhǔn)確地畫出來,但雙曲線向遠(yuǎn)處如何伸展就不是很清楚。從而說明想要準(zhǔn)確的畫出雙曲線的圖形只有那四個性質(zhì)是不行的。
從學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)入手,而且可以比較精確的畫出反比例函數(shù)
的圖像,它的圖像是雙曲線,當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時,它與x、y軸無限接近,此時x、y軸是
的漸近線,為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學(xué)生猜想雙曲線
有何特征?有沒有漸近線?由于雙曲線的對稱性,我們只須研究它的圖形在第一象限的情況即可。在研究雙曲線的范圍時,由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
,可解出
,
,當(dāng)x無限增大時,y也隨之增大,不容易發(fā)現(xiàn)它們之間的微妙關(guān)系。但是如果將式子變形為
,我們就會發(fā)現(xiàn):當(dāng)x無限增大,
逐漸減小、無限接近于0,而
就逐漸增大、無限接近于1(
);若將
變形為
,即說明此時雙曲線在第一象限,當(dāng)x無限增大時,其上的點與坐標(biāo)原點之間連線的斜率比1小,但與斜率為1的直線無限接近,且此點永遠(yuǎn)在直線
的下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢就可以利用對稱性得到,從而可知雙曲線
的圖形在遠(yuǎn)處與直線
無限接近,此時我們就稱直線
叫做雙曲線
的漸近線。這樣從已有知識出發(fā),層層設(shè)(釋)疑,激活已知,啟迪思維,調(diào)動學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力,進一步清晰概念(或圖形)特征,培養(yǎng)思維的深刻性。
利用由特殊到一般的規(guī)律,就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋雙曲線
(a>0,b>0)的漸近線,讓學(xué)生同樣利用類比的方法,將其變形為
,
,由于雙曲線的對稱性,我們可以只研究第一象限向遠(yuǎn)處的變化趨勢,繼續(xù)變形為
,
,可發(fā)現(xiàn)當(dāng)x無限增大時,
逐漸減小、無限接近于0,
逐漸增大、無限接近于
,即說明對于雙曲線在第一象限遠(yuǎn)處的點與坐標(biāo)原點之間連線的斜率比
小,與斜率為
的直線無限接近,且此點永遠(yuǎn)在直線
下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢可以利用對稱性得到,從而可知雙曲線
(a>0,b>0)的圖形在遠(yuǎn)處與直線
無限接近,直線
叫做雙曲線
(a>0,b>0)的漸近線。我就是這樣將漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點,充分暴露思維過程,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,通過誘導(dǎo)、分析,巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中,學(xué)生也易接受。
(2)證明
如何證明直線
是雙曲線
(a>0,b>0)的漸近線呢?
啟發(fā)思考①:首先,逐步接近,轉(zhuǎn)換成什么樣的數(shù)學(xué)語言?(x→∞,d→0)
啟發(fā)思考②:顯然有四處逐步接近,是否每一處都進行證明?
啟發(fā)思考③:鎖定第一象限后,具體地怎樣利用x表示d
(工具是什么:點到直線的距離公式)
啟發(fā)思考④:讓學(xué)生設(shè)點,而d的表達式較復(fù)雜,能否將問題進行轉(zhuǎn)化?
分析:要證明直線
是雙曲線
(a>0,b>0)的漸近線,即要證明隨著x的增大,直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點到直線的距離
|MQ|越來越短,因此把問題轉(zhuǎn)化為計算|MQ|。但因|MQ|不好直接求得,因此又可以把問題轉(zhuǎn)化為求|MN|。
啟發(fā)思考⑤:這樣證明后,還須交代什么?
(在其他象限,同理可證,或由對稱性可知有相似情況)
引導(dǎo)學(xué)生層層深入的進行探究,從而更深刻的理解雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明過程。
(3)深化
再來研究實軸在y軸上的雙曲線
(a>0,b>0)的漸近線方程就會變得容易很多,此時可利用類比的方法或者利用對稱性得到焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程即為
。
這樣,我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題,從而可比較精確的畫出雙曲線。但是如果仔細(xì)觀察漸近線實質(zhì)就是雙曲線過實軸端點、虛軸端點,作平行與坐標(biāo)軸的直線
所成的矩形的兩條對角線,數(shù)形結(jié)合,來加強對雙曲線的漸近線的理解。
4.離心率的幾何意義
橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度,雙曲線離心率有何幾何意義呢?不難得到:
,這是剛剛學(xué)生在類比橢圓的幾何性質(zhì)時就可以得到的簡單結(jié)論。通過對離心率的研究,同樣也可以使學(xué)生進一步加深對漸近線的理解。
由等式
,可得:
,不難發(fā)現(xiàn):e越小(越接近于1),
就越接近于0,雙曲線開口越小;e越大,
就越大,雙曲線開口越大。所以,雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對這些性質(zhì)的探究,就可以更好的理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關(guān)系,更加準(zhǔn)確的作出雙曲線的圖形。
5.例題分析
為突出本節(jié)內(nèi)容,使學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識。我選配了這樣的例題:
例1.求雙曲線9x2-16y2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的在于拿到一個雙曲線的方程之后若不是標(biāo)準(zhǔn)式,要先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量。本題求漸近線的方程的方法:(1)直接根據(jù)漸近線方程寫出;(2)利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對角線得到。加強對于雙曲線的漸近線的應(yīng)用和理解。
變1:求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的:和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量;但求漸近線時可直接求出,也可以利用對稱性來求解。
關(guān)鍵在于對比:雙曲線的形狀不變,但在坐標(biāo)系中的位置改變,它的那些性質(zhì)改變,那些性質(zhì)不變?試歸納雙曲線的幾何性質(zhì)。(小結(jié)列表)
變2:已知雙曲線的漸近線方程是
,且經(jīng)過點(
,3),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。選題目的
?。涸谝阎p曲線的漸近線的前提下,如何利用已知信息求解雙曲線的方程。方法1:分焦點在x軸,焦點在y軸分別求解;方法2:確定點所在的區(qū)域,定方程的形式,然后求a、b。深化知識,加強應(yīng)用,使知識系統(tǒng)化。
例題的選備,可將此題作一題多變(變條件,變結(jié)論),訓(xùn)練學(xué)生一題多解,開拓其解題思路,使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。
6.課堂練習(xí)
課本P113練習(xí)1.2,讓學(xué)生自己練習(xí),熟悉并運用雙曲線的幾何性質(zhì)解題,加強應(yīng)用性。
7.課堂小結(jié)
(1)通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求學(xué)生熟悉并掌握雙曲線的幾何性質(zhì),尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明,并能簡單應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì);
(2)雙曲線的幾何性質(zhì)總結(jié)(學(xué)生填表歸納)。
8.課后作業(yè)
課本P113習(xí)題1.2.3,鞏固并掌握課上所學(xué)的知識。
思考:雙曲線與其漸近線的方程之間有何內(nèi)在的變化規(guī)律?
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