高三理科數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷
數(shù)學(xué)有很多的同學(xué)會(huì)說很難，其實(shí)難在哪里我們要找到原因，小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學(xué)，希望大家多多參考一下
上學(xué)期高三數(shù)學(xué)理科期末試題
一、選擇題(本大題共8小題，共40.0分)
1.若集合A={x|-2
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用交集運(yùn)算得答案.
【詳解】∵集合 表示 到0的所有實(shí)數(shù)，
集合 表示5個(gè)整數(shù)的集合，∴ ，
故選C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了交集的概念及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.
2.下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一求解即可得答案.
【詳解】∵ ， ， ， ，
∴為純虛數(shù)的是 ，故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算及基本概念，是基礎(chǔ)題
3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點(diǎn)的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的零點(diǎn)可判斷 為奇函數(shù)，且存在零點(diǎn)為 ， 為非奇非偶函數(shù)， 為偶函數(shù)， 不存在零點(diǎn)，故得解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A： 為奇函數(shù)，且存在零點(diǎn)為x=0，與題意相符;
對(duì)于選項(xiàng)B： 為非奇非偶函數(shù)，與題意不符;
對(duì)于選項(xiàng)C： 為偶函數(shù)，與題意不符;
對(duì)于選項(xiàng)D： 不存在零點(diǎn)，與題意不符，故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的零點(diǎn)，熟練掌握常見初等函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.
4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入 ，則輸出 的等于( )
A. 3 B. 12 C. 60 D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】
通過程序框圖，按照框圖中的要求將幾次的循環(huán)結(jié)果寫出，得到輸出的結(jié)果.
【詳解】模擬執(zhí)行程序，可得 ， ， ， ， ，
滿足條件 ，執(zhí)行循環(huán)體， ， ，
滿足條件 ，執(zhí)行循環(huán)體， ， ，
不滿足條件 ，退出循環(huán)，輸出 的值為60.
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出結(jié)果問題時(shí)，常采用寫出幾次的結(jié)果找規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.
5.“ ”是“函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)的對(duì)稱軸為 ，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】若函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 ，則 ，得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，即“ ”是“函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱”的充分不必要條件，故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱性求出 的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.
6.某三棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的六條棱中，最長棱的長度為( )
A. 2 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
由三棱錐的三視圖知該三棱錐是三棱錐 ，其中 底面 ， ， ， ，由此能求出在該三棱錐中，最長的棱長.
【詳解】由三棱錐的三視圖知該三棱錐是如圖所示的三棱錐 ，
其中 底面 ， ， ， ，
∴ ，
∴在該三棱錐中，最長的棱長為 ，故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐中最長棱長的求法，考查三棱錐性質(zhì)及其三視圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.
7.在極坐標(biāo)系中，下列方程為圓 的切線方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出圓的直角坐標(biāo)方程為 ，圓心為 ，半徑 ，將每個(gè)選項(xiàng)分別利用直角坐標(biāo)表示，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系能求出結(jié)果.
【詳解】圓 ，即 ，
∴圓的直角坐標(biāo)方程為 ，即 ，圓心為 ，半徑 ，
在A中， 即 ，
圓心 到 的距離 ，故 不是圓的切線，故A錯(cuò)誤;
在B中， 是圓，不是直線，故B錯(cuò)誤;
在C中， 即 ，
圓心 到 的距離 ，故 是圓的切線，故C正確;
在D中， 即 ，
圓心 到 的距離 ，故 不是圓的切線，故D錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線方程的判斷，考查直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.
8.地震里氏震級(jí)是地震強(qiáng)度大小的一種度量.地震釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M.已知兩次地震的里氏震級(jí)分別為8.0級(jí)和7.5級(jí)，若它們釋放的能量分別為E1和E2，則 的值所在的區(qū)間為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先把數(shù)據(jù)代入已知解析式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.
【詳解】 ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的值所在的區(qū)間為 ，故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)用以及運(yùn)算，熟練掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題(本大題共6小題，共30.0分)
9.若 滿足 ，則 的最小值為______.
【答案】4
【解析】
【分析】
作出不等式組 對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用 的幾何意義即可得到結(jié)論.
【詳解】作出 ， 滿足 對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
由 ，得 ，平移直線 ，
由 ，解得
由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) 時(shí)，直線 的截距最小，此時(shí)最小，
此時(shí) ，故答案為4.
【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.
10.已知雙曲線 - =1的一個(gè)焦點(diǎn)為 ，則m=______.
【答案】3
【解析】
【分析】
由雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得的值，列出關(guān)于 的方程，解出即可.
【詳解】雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)為 ，即 ，
解得 ，故答案為3.
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分析、 的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
11.若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，試寫出一組滿足條件的數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式：an=______，bn=______.
【答案】 (1). -n (2). 2
【解析】
【分析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為 ，等比數(shù)列的公比為 ，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得 ， ，即可得到所求通項(xiàng)公式，注意答案不唯一.
【詳解】等差數(shù)列 的公差設(shè)為 ，等比數(shù)列 的公比設(shè)為 ，
， ， ，可得 ，
即為 ， 可取 ，可得 ，則 ， ，
故答案為 ，2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
12.在菱形ABCD中，若 ，則 的值為______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，則 ，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可.
【詳解】菱形 中， ，由 可得
則 ，
故答案為 .
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積計(jì)算問題，由菱形的性質(zhì)得到 是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
13.函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用兩角差的正弦與余弦公式化簡，根據(jù) 在 上，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.
【詳解】函數(shù)
;
∵ ，∴當(dāng) 時(shí)， 取得最大值為 ，
故答案為 .
【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差公式的應(yīng)用和計(jì)算能力，得到 是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
14.已知函數(shù)f(x)為定義域?yàn)镽，設(shè)Ff(x)= .
?、偃鬴(x)= ，則Ff(1)=______;
?、谌鬴(x)=ea-|x|-1，且對(duì)任意x∈R，F(xiàn)f(x)=f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
?、偻ㄟ^ 的范圍，可得 ，代入可得所求值;②由題意可得 恒成立，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和參數(shù)分離，以及函數(shù)的最值求法，可得的范圍.
【詳解】①若 ，由 ，可得 ，成立，即有 ，則 ;
?、谌?，且對(duì)任意 ， ，可得 恒成立，即為 ，即有 ，可得 ，即 ，
由 的最小值為 ，則 ，故答案為 ， .
【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)值和解析式，考查變形能力和轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用參數(shù)分離和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為 恒成立是解決②的關(guān)鍵，屬于中檔題
三、解答題(本大題共6小題，共80.0分)
15.在△ABC中， .
(1)求∠B的大小;
(2)若△ABC的面積為a2，求cosA的值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理可得 ，結(jié)合范圍 ，可求 的值;(2)利用三角形的面積公式可求的值，根據(jù)余弦定理可求 的值，進(jìn)而可求 的值.
【詳解】(1)在△ABC中，由正弦定理可得： ，
所以： ，
又 ， .
(2)因?yàn)椤鰽BC的面積為 ，
∴ 2 ，
由余弦定理， ，所以 .
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題
16.某中學(xué)有學(xué)生500人，學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀時(shí)間，從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，獲得了他們某一個(gè)月課外閱讀時(shí)間的數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))，將數(shù)據(jù)分為5組：[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20]，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的x的值;
(2)試估計(jì)該校所有學(xué)生中，課外閱讀時(shí)間不小于16小時(shí)的學(xué)生人數(shù);
(3)已知課外閱讀時(shí)間在[10，12)的樣本學(xué)生中有3名女生，現(xiàn)從閱讀時(shí)間在[10，12)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X為抽到女生的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
【答案】(1)0.15;(2)150;(3)見解析
【解析】
【分析】
(1)利用頻率分布直方圖，通過概率和為1，即可求解 ;(2)利用分布直方圖求解即可;(3)隨機(jī)變量 的所有可能取值為0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望.
【詳解】(1)由 ，
可得 0.15
(2) ，
即課外閱讀時(shí)間不小于16個(gè)小時(shí)的學(xué)生樣本的頻率為0.30.500×0.30=150，
所以可估計(jì)該校所有學(xué)生中，課外閱讀時(shí)間不小于16個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為150.
(3)課外閱讀時(shí)間在[10，12)的學(xué)生樣本的頻率為0.08×2=0.16，50×0.16=8，即閱讀時(shí)間在[10，12)的學(xué)生樣本人數(shù)為8，8名學(xué)生為3名女生，5名男生，
隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3， ; ; ; .
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
故 的期望
【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.
17.如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，AE=EF， .將四邊形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD(如圖2)，G是BF的中點(diǎn).
(1)證明：AC⊥EG;
(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)H，使得DH∥平面ABFE?若存在，求 的值;若不存在，說明理由;
(3)求二面角D-AC-F的大小.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
【分析】
(1)推導(dǎo)出 ， ， ，從而 平面 ，進(jìn)而 ，四邊形 為正方形， ，由此能證明 平面 ，從而 ;(2)由 ， ， 兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系 ，由此利用向量法能求出在線段 上存在一點(diǎn) ，使得 平面 ，并能求出 的值;(3)求出平面 的法向理和平面 的法向量，利用向量法能求出二面角 的大小.
【詳解】證明：(1)在圖1中， ，
可得△AEF為等腰直角三角形，AE⊥EF.
因?yàn)锳D∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC.
因?yàn)槠矫鍭BFE⊥平面EFCD，且兩平面交于EF，CF⊂平面CDEF，
所以CF⊥平面ABFE.
又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG;
由G為中點(diǎn)，可知四邊形AEFG為正方形，所以AF⊥EG;
又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC.又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG
(2)由(1)知：FE，F(xiàn)C，F(xiàn)B兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz，
設(shè)FE=1，則F(0，0，0)，C(0，2，0)，B(0，0，2)，D(1，1，0).
設(shè)H是線段BC上一點(diǎn)， .
因此點(diǎn) .
由(1)知 為平面ABFE的法向量， =(0，2，0)，
因?yàn)?平面ABFE，所以 平面 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，
即 ，解得 .
.
(3)設(shè)A(1，0，1)，E(1，0，0)，G(0，0，1).
由(1)可得， 是平面 的法向量， . ，
設(shè)平面ACD的法向量為n=(x，y，z)，
由 即
令x=1，則y=1，z=1.于是n=(1，1，1).
所以 .
所以二面角D-AC-F的大小為90°
【點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.
18.已知函數(shù)f(x)=axex-x2-2x.
(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程;
(2)當(dāng)x>0時(shí)，若曲線y=f(x)在直線y=-x的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案;(2)根據(jù)題意，原問題可以轉(zhuǎn)化為 恒成立，設(shè) ，求出 的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得其最大值，分析可得答案.
【詳解】(1)當(dāng) 時(shí)， ，其導(dǎo)數(shù) ， .
又因?yàn)?，
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為 ;
(2)根據(jù)題意，當(dāng) 時(shí)，
“曲線y=f(x)在直線 的上方”等價(jià)于“ 恒成立”，
又由x>0，則 ，
則原問題等價(jià)于 恒成立;
設(shè) ，則 ，
又由 ，則 ，則函數(shù) 在區(qū)間 上遞減，
又由 ，則有 ，
若 恒成立，必有 ，
即的取值范圍為 .
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的切線方程以及最值，考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段.通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為 或 恒成立，即 或 即可，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合單調(diào)性求出 或 即得解，屬于中檔題.
19.已知橢圓 過點(diǎn)P(2，1).
(1)求橢圓C的方程，并求其離心率;
(2)過點(diǎn)P作x軸的垂線l，設(shè)點(diǎn)A為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上(點(diǎn)A不在直線l上)，點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A'，直線A'P與C交于另一點(diǎn)B.設(shè)O為原點(diǎn)，判斷直線AB與直線OP的位置關(guān)系，并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
【分析】
(1)將點(diǎn) 代入橢圓方程，求出，結(jié)合離心率公式即可求得橢圓的離心率;(2)設(shè)直線 ， ，設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ，分別求出 ， ，根據(jù)斜率公式，以及兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系即可得結(jié)果.
【詳解】(1)由橢圓方程橢圓 過點(diǎn)P(2，1)，可得 .
所以 ，
所以橢圓C的方程為 + =1，離心率e= = ，
(2)直線AB與直線OP平行.證明如下：
設(shè)直線 ， ，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 得 ，
∴ ，∴
同理 ，所以 ，
由 ，
有 ，
因?yàn)锳在第四象限，所以 ，且A不在直線OP上.
∴ ，
又 ，故 ，
所以直線 與直線 平行.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了斜率和直線平行的關(guān)系，是中檔題.
20.對(duì)給定的d∈N*，記由數(shù)列構(gòu)成的集合 .
(1)若數(shù)列{an}∈Ω(2)，寫出a3的所有可能取值;
(2)對(duì)于集合Ω(d)，若d≥2.求證：存在整數(shù)k，使得對(duì)Ω(d)中的任意數(shù)列{an}，整數(shù)k不是數(shù)列{an}中的項(xiàng);
(3)已知數(shù)列{an}，{bn}∈Ω(d)，記{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為An，Bn.若|an+1|≤|bn+1|，求證：An≤Bn.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析
【解析】
【分析】
(1)推導(dǎo)出 ， ， ， ，由此能求出 的所有可能取值;(2)先應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列 ，則 具有 ，( )的形式，由此能證明取整數(shù) ，則整數(shù) 均不是數(shù)列 中的項(xiàng);(3)由 ，得： ，從而 ，由此利用累加法得 ，從而 ，同理 ，由此能證明 .
【詳解】(1)由于數(shù)列{an}∈Ω(2)，即d=2，a1=1.
由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，
|a3|=|a2+d|=|a2+2|，
將a2=±3代入得a3的所有可能取值為-5，-1，1，5.
證明：(2)先應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列：
若{an}∈Ω(d)，則an具有md±1，(m∈Z)的形式.
?、佼?dāng)n=1時(shí)，a1=0•d+1，因此n=1時(shí)結(jié)論成立.
?、诩僭O(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即存在整數(shù)m0，使得ak=m0d0±1成立.
當(dāng)n=k+1時(shí)，|an+1|=|m0d0±1+d0|=|(m0+1)d0±1|，
ak+1=(m0+1)d±1，或ak+1=-(m0+1)±1，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
由①②可知，若數(shù)列{an}∈Ω(d)對(duì)任意n∈N*，an具有md±1(m∈Z)的形式.
由于an具有md±1(m∈Z)的形式，以及d≥2，可得an不是d的整數(shù)倍.
故取整數(shù)k=d，則整數(shù)k均不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)
(3)由|an+1|=|an+d|，可得： = ，
所以有 = +2and+d2，
= +2an-1d+d2，
，
…
= ，
以上各式相加可得 ，
即An= - ，同理Bn= - ，
當(dāng) 時(shí)，有 ，
∵d∈N*，∴ ≤ ，
∴ ≤ - ，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的第 項(xiàng)的所有可能取值的求法，考查數(shù)列不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題.
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷理科
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若復(fù)數(shù)滿足 ，則 ( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a，b，則答案可求.
【詳解】設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，
由z2=5+12i，得a2﹣b2+2abi=5+12i，
∴ ，解得 或 .
∴z=3+2i或z=﹣3﹣2i.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題.
2.函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由于連續(xù)函數(shù)f(x)滿足 f(1)<0，f(2)>0，從而得到函數(shù)y=x﹣4•( )x的零點(diǎn)所在區(qū)間.
【詳解】∵y=x﹣4•( )x為R上的連續(xù)函數(shù)，
且f(1)=1﹣2<0，f(2)=2﹣1>0，
∴f(1)•f(2)<0，
故函數(shù)y=x﹣4•( )x的零點(diǎn)所在區(qū)間為：(1，2)，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間的方法，屬于基礎(chǔ)題.
3.已知 是兩條不同的直線， 是兩個(gè)不同的平面，則 的一個(gè)充分條件是( )
A. ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】
在A中，a與b相交、平行或異面;在C中，由線面垂直的性質(zhì)可得a∥b;在B、D中，均可得a與b相交、平行或異面;
【詳解】由a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，
在A中， ， ，則a與b相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤;
在B中， ， ， ，則a與b相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤;
在C中，由a ， ，則 ，又 ，由線面垂直的性質(zhì)可知 ，故C正確;
在D中， ， ， ，則a與b相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查線線平行的充分條件的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.
4.定義運(yùn)算 ，則函數(shù) 的圖像是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)新定義可得函數(shù)1⊕log2x就是取1與log2x中較大的一個(gè)即可判斷.
【詳解】從定義運(yùn)算a⊕b 上看，對(duì)于任意的a、b，a⊕b實(shí)質(zhì)上是求a與b中最大的，
∴1⊕log2x就是取1與log2x中較大的一個(gè)，
∴對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x，當(dāng)x≥2，log2x≥1，∴當(dāng)0
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義，求函數(shù)的最大值，屬于基礎(chǔ)題.
5. 的展開式中， 的系數(shù)是( )
A. -160 B. -120 C. 40 D. 200
【答案】B
【解析】
【分析】
將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式(1﹣2x)5的展開式的系數(shù)問題，求出(1﹣2x)5展開式的通項(xiàng)，分別令r=2，3求出(1﹣2x)5(2+x)的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù).
【詳解】(1﹣2x)5(2+x)的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是(1﹣2x)5展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)的2倍與(1﹣2x)5展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)的和
∵(1﹣2x)5展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(﹣2)rC5rxr
令r=3得到x3項(xiàng)的系數(shù)為﹣8C53=﹣80
令r=2得到x2項(xiàng)的系數(shù)為4C52=40
所以(1﹣2x)5(2+x)的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是﹣80×2+40=﹣120
故答案為：B
【點(diǎn)睛】解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題常利用的工具是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第 項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可;(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第 項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).
6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A. 36 B. 32 C. 30 D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中的三視圖，判斷該幾何體是一個(gè)四棱錐，四棱錐的底面是一個(gè)以3為邊長的長方形，高為4，分別求出棱錐各個(gè)面的面積，進(jìn)而可得答案.
【詳解】由已知中的該幾何體是一個(gè)四棱錐的幾何體，
四棱錐的底面為邊長為3和3的正方形，高為4，
故S四棱錐 4×3+ 5×3 5×3 4×3+3×3=36.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求表面積，其中根據(jù)三視圖判斷出幾何體的形狀，并找出各個(gè)面的棱長、高等關(guān)鍵的數(shù)據(jù)是解答本題的關(guān)鍵.
7.若雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)重合，則雙曲線 的離心率為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由此得到雙曲線C： 1的一個(gè)焦點(diǎn)，從而求出a的值，進(jìn)而得到該雙曲線的離心率.
【詳解】∵拋物線y2=8x的焦點(diǎn)是(2，0)，
雙曲線C： 1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，
∴c=2，b2=3，m=1，
∴e 2.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要拋物線的性質(zhì)進(jìn)行求解.
8.在 中，若 ， ( )，則當(dāng) 最小時(shí)， ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知 可求 的坐標(biāo)，然后結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)可求BC最小時(shí)的x，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.
【詳解】∵ (1，2)， (﹣x，2x)(x>0)，
∴ (﹣x﹣1，2x﹣2)，
∴| |
令y=5x2﹣6x+5，x>0
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x ，ymin ，此時(shí)BC最小，
∴ ， ( ， )，
0，
∴ ，即C=90°，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.
9.已知函數(shù) ，且圖像在點(diǎn) 處的切線的傾斜角為 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出f′(1)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率
k=f′(2)=tanα，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系可得sin( α)cos( α)=﹣cosαsinα ，代入可求.
【詳解】∵f(x)=x3+2x2f′(1)+2，
∴f′(x)=3x2+4xf′(1)，
∴f′(1)=3+4f′(1)，
即f′(1)=﹣1，f′(x)=3x2﹣4x，
∴圖象在點(diǎn)x=2處的切線的斜率k=f′(2)=4=tanα，
則sin( α)cos( α)
=﹣cosαsinα
，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用.
10.已知 是 所在平面內(nèi)一點(diǎn)， ，現(xiàn)將一粒紅豆隨機(jī)撒在 內(nèi)，記紅豆落在 內(nèi)的概率為 ，落在 內(nèi)的概率為 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)2 3 ，計(jì)算出△PAB，△PAC，△PBC面積的關(guān)系，求出概率，作積得答案.
【詳解】如圖，令 ， ， .
則P為△A1B1C1 的重心，
∴ ，
而 ， ， .
∴2S△PAB=3S△PAC=6S△PBC，
∴ ， ， .
則P△PBCP△PBAP△PAC .
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出滿足條件和所有基本事件對(duì)應(yīng)的幾何量，是解答的關(guān)鍵，難度中檔.
11.數(shù)列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2， ，其相鄰的兩個(gè)1被2隔開，第 對(duì)1之間有 個(gè)2，則數(shù)列的前209項(xiàng)的和為( )
A. 279 B. 289 C. 399 D. 409
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，先把數(shù)列分組，每組中，第一個(gè)數(shù)為1，其他均為2，且第n組中，有n+1個(gè)數(shù);得到209是前19行的和，進(jìn)而得到所有項(xiàng)的和.
【詳解】根據(jù)題意，先把數(shù)列分組，
第一組為1，2，有2個(gè)數(shù)，
第二組為1，2，2，有3個(gè)數(shù)，
第三組為1，2，2，2，有4個(gè)數(shù)，
…
第n組中，第一個(gè)數(shù)為1，其他均為2，有n+1個(gè)數(shù)，即每組中，第一個(gè)數(shù)為1，其他均為2，則前n組共有 個(gè)數(shù)，
當(dāng)n=19時(shí)，恰好前19行有209個(gè)數(shù)，
前19行有19個(gè)1，有209-19=190個(gè)2，則這些數(shù)的和為：19+
故答案為C.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的求和，注意要先根據(jù)數(shù)列的規(guī)律進(jìn)行分組，綜合運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與分組求和的方法，進(jìn)行求和.
12.已知 且 ，則下列結(jié)論正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
將式子變形得到 ，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)是偶函數(shù)，故 ，構(gòu)造函數(shù) ，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】 等價(jià)于 ,即 ，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)是偶函數(shù)，故 ，構(gòu)造函數(shù) ，根據(jù)偶函數(shù)的定義f(x)=f(-x)得到函數(shù)是偶函數(shù)，而f(x)在 上， ，故函數(shù)單調(diào)增，又因?yàn)?，故得到 .
故答案為：A.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)來比較函數(shù)的大小;比較大小常用的方法，除構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)得到結(jié)果，常用的有：做差和0比，做商和1比，不等式性質(zhì)的應(yīng)用等.
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.已知集合 ， ，則 __________.(用區(qū)間表示)
【答案】(-1,0)
【解析】
【分析】
化簡集合N，根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義寫出.
【詳解】M={x|﹣1
則?MN=(﹣1，0)，
故答案為：(﹣1，0).
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.
14.元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒?”用程序框圖表達(dá)如圖所示，若最終輸出的x=0，則開始時(shí)輸入的x的值為____________
【答案】
【解析】
【分析】
求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，由題輸出的結(jié)果的值為0，由此關(guān)系建立方程求出自變量的值即可.
【詳解】第一次輸入x=x，i=1
執(zhí)行循環(huán)體，x=2x﹣1，i=2，
執(zhí)行循環(huán)體，x=2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3，i=3，
執(zhí)行循環(huán)體，x=2(4x﹣3)﹣1=8x﹣7，i=4>3，
輸出8x﹣7的值為0，解得：x ，
故答案為： .
【點(diǎn)睛】解答本題，關(guān)鍵是根據(jù)所給的框圖，得出函數(shù)關(guān)系，然后通過解方程求得輸入的值.本題是算法框圖考試常見的題型，其作題步驟是識(shí)圖得出函數(shù)關(guān)系，由此函數(shù)關(guān)系解題，得出答案.
15.設(shè)實(shí)數(shù) 滿足 ，若 的最大值為16，則實(shí)數(shù) __________.
【答案】3
【解析】
【分析】
先畫出可行域，得到角點(diǎn)坐標(biāo).再對(duì)k進(jìn)行分類討論，通過平移直線z=kx+y得到最大值點(diǎn)A，即可得到答案.
【詳解】實(shí)數(shù)x，y滿足 的可行域如圖：
得：A(4，4)，
同樣地，得B(0，2)，
z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k>0，k<0兩種情況.
當(dāng)k>0時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在A點(diǎn)取最大值，即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，即16=4k+4，得k=3;
當(dāng)k<0時(shí)，
?、佼?dāng)k 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在A點(diǎn)(4，4)時(shí)取最大值，
即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，
此時(shí)，16=4k+4，
故k=3.
?、诋?dāng)k 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在B點(diǎn)(0，2)時(shí)取最大值，
即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，
此時(shí)，16=0×k+2，
故k不存在.
綜上，k=3.
故答案為：3.
【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃.解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義.
16.已知過橢圓 上一點(diǎn) 的切線方程為 ，若分別交 軸于 兩點(diǎn)，則當(dāng) 最小時(shí)， __________.( 為坐標(biāo)原點(diǎn))
【答案】
【解析】
【分析】
利用切線求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出 ，再利用 ，結(jié)合基本不等式求得 ，再利用 最小時(shí)的條件求得 ， ，即可求解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn) 的切線方程為 ，若分別交 軸于 兩點(diǎn)，所以A( ，0)，B(0， )， = = ，
又 點(diǎn)P 在橢圓 上， 有 ，
= + ) ，當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)等號(hào)成立， ，
解得 ， ， = = ，
= .
故答案為 .
【點(diǎn)睛】本題以過橢圓上點(diǎn)的切線為載體，考查了利用基本不等式求最值及等號(hào)成立的條件，考查了邏輯推理及運(yùn)算能力，屬于難題.
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.在 中， 分別是內(nèi)角 的對(duì)邊，且 .
(1)求 ;
(2)若 ， ，求 的面積.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由已知利用正弦定理可得：a2=b2+c2+bc.由余弦定理可得：cosA ，結(jié)合范圍A∈(0，π)，可求A .
(2)由已知利用余弦定理c2+2c﹣5=0，解得c的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解.
【詳解】(1)因?yàn)?，
由正弦定理得 .
再由余弦定理得 ，
又因?yàn)?，所以 .
(2)因?yàn)閍=3， ，
代入 得 ,
解得 .
故△ABC的面積 .
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.
18.設(shè) ， ， ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ，點(diǎn) ( )均在函數(shù) 的圖像上.
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ， 是數(shù)列 的前 項(xiàng)和，求滿足 ( )的最大正整數(shù) .
【答案】(1)an=6n-5 ( ) (2)8
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)f(x)=3x2﹣2x，由(n，Sn)在y=3x2﹣2x上，知Sn=3n2﹣2n.由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由 ，知Tn (1- )，根據(jù) ( )對(duì) 恒成立,當(dāng)且僅當(dāng) ，由此能求出所有n∈N*都成立的m的范圍.
【詳解】(1)因?yàn)?=3x2-2x.
又因?yàn)辄c(diǎn) 均在函數(shù) 的圖像上，所以 =3n2-2n.
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- =6n-5.
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3×12-2=1，所以，an=6n-5 ( ).
(2)由(1)得知 = ，
故Tn= =
= (1- )，且Tn隨著n的增大而增大
因此，要使 (1- ) ( )對(duì) 恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)T1= ，
即m<9，所以滿足要求的最大正整數(shù)m為8.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大.易錯(cuò)點(diǎn)是基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，不會(huì)運(yùn)用數(shù)列知識(shí)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
19.如圖，正三棱柱 中，(底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面)，側(cè)棱長 ，底面邊長 ， 是 的中點(diǎn).
(1)求證：平面 平面 ;
(2)設(shè) 是線段 的中點(diǎn)，求直線 與平面 所成的角的正弦值.
【答案】(1) 見解析(2)
【解析】
【分析】
(1)通過做平行線構(gòu)造平行四邊形，進(jìn)而得到線面垂直，再由平形四邊行的對(duì)邊平行的性質(zhì)得到平面 內(nèi)的線垂直于平面 內(nèi)的線，進(jìn)而得到面面垂直;(2)建立空間坐標(biāo)系，求直線 的方向向量和面 的法向量，進(jìn)而得到線面角.
【詳解】(1)證明：取 中點(diǎn) ， 的中點(diǎn)為M，連結(jié) ，MN,則有 ∥ 且 = ∴四邊形 為平行四邊形， ∥
∵ 面 ,
∴ ,又
∴ 平面 故 ⊥平面 .
所以平面 平面
(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(- ,0,0),A( ,0,0),
因?yàn)?是線段 的中點(diǎn)，所以M
所以
設(shè) 是平面 的一個(gè)法向量，因?yàn)?/p>
所以，由
所以可取
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了面面垂直的證明，以及線面角的求法，求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值;還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。
20.為了積極支持雄安新區(qū)建設(shè)，某投資公司計(jì)劃明年投資1000萬元給雄安新區(qū)甲、乙兩家科技企業(yè)，以支持其創(chuàng)新研發(fā)計(jì)劃，經(jīng)有關(guān)部門測算，若不受中美貿(mào)易戰(zhàn)影響的話，每投入100萬元資金，在甲企業(yè)可獲利150萬元，若遭受貿(mào)易戰(zhàn)影響的話，則將損失50萬元;同樣的情況，在乙企業(yè)可獲利100萬元，否則將損失20萬元，假設(shè)甲、乙兩企業(yè)遭受貿(mào)易戰(zhàn)影響的概率分別為0.6和0.5.
(1)若在甲、乙兩企業(yè)分別投資500萬元，求獲利1250萬元的概率;
(2)若在兩企業(yè)的投資額相差不超過300萬元，求該投資公司明年獲利約在什么范圍內(nèi)?
【答案】(1)0.2 (2)其獲利區(qū)間范圍為335與365萬元之間
【解析】
【分析】
(1)由已知條件可知，在甲、乙兩公司分別投資500萬元的情況下欲獲利1250萬元，須且必須兩公司均不遭受貿(mào)易戰(zhàn)的影響，故可列出式子即可;(2)先求得投資100萬元在甲公司獲利的期望30萬，乙為40萬，設(shè)在甲、乙兩公司的投資分別為x,(1000-x)萬元，則平均獲利z=0.3x+0.4(1000-x)=400-0.1x萬元，根據(jù)x的范圍可得到z的范圍.
【詳解】(1)由已知條件可知，在甲、乙兩公司分別投資500萬元的情況下欲獲利1250萬元，須且必須兩公司均不遭受貿(mào)易戰(zhàn)的影響.
故所求的概率為P=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2.
(2)設(shè)投資100萬元在甲公司獲利萬元，則的可能取值為150和-50萬元.
又甲公司遭受貿(mào)易戰(zhàn)影響的概率為0.6
故投資100萬元在甲公司獲利的期望為150×0.4+(-50)×0.6=30萬元.
同理在乙公司獲利的期望為100×0.5+(-20)×0.5=40萬元.
設(shè)在甲、乙兩公司的投資分別為x,(1000-x)萬元，則平均獲利
z=0.3x+0.4(1000-x)=400-0.1x萬元(其中 ).
由于上述函數(shù)為減函數(shù)，所以其獲利區(qū)間范圍為335與365萬元之間.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了互相獨(dú)立事件的概率的求法，以及離散型隨機(jī)變量的均值的求法，即期望的求法;其中互相獨(dú)立事件A和B，P(AB)=P(A)P(B).
21.設(shè)點(diǎn) 在以 ， 為焦點(diǎn)的橢圓 上.
(1)求橢圓 的方程;
(2)經(jīng)過 作直線 交 于兩點(diǎn) ，交 軸于 點(diǎn)，若 ， ，且 ，求 與 .
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)橢圓的定義得到2a值，由題干得到c=2,進(jìn)而得到方程;(2)設(shè)出A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量關(guān)系得到A點(diǎn)坐標(biāo) ， ，代入橢圓方程得到關(guān)于 的方程，同理得到關(guān)于 的方程，進(jìn)而抽出 、 是方程 的兩個(gè)根，解出即可得到 與 .
【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P 在以 為焦點(diǎn)的橢圓C 上，所以
所以 .
又因?yàn)閏=2，所以
所以橢圓C的方程為
(2)設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A( ， )，B( ， )，M(0， ).
∵ 2， ∴ ( ， )
∴ ，
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得 .
去分母整理得 ：
同理，由 2可得：
∴ 、 是方程 的兩個(gè)根，
∴ ，又
二者聯(lián)立解得
或所以 又 ，所以
所以上述方程即為
所以
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了橢圓的方程的求法，還考查了向量在圓錐曲線中的應(yīng)用，一般采用的是向量坐標(biāo)化，得到點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，再通過題干列出相應(yīng)的方程進(jìn)行分析即可.
22.已知函數(shù) .
(1)若 ，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù) 在區(qū)間 上不單調(diào)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(3)求證： 或 是函數(shù) 在 上有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要不充分條件.
【答案】(1)函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，沒有單調(diào)遞減區(qū)間. (2) (3)見解析
【解析】
【分析】
(1)將參數(shù)值k代入解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0，進(jìn)而得到函數(shù)只有增區(qū)間沒有減區(qū)間;(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)， 在區(qū)間 上不單調(diào)所以 在 上有實(shí)數(shù)解，且無重根，變量分離即方程 有解，通過換元得到新函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)方程的根進(jìn)行討論即可;(3)證明： 或 則函數(shù) 在 上不能有三個(gè)不同零點(diǎn)，證明，函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)則 或 即可.
【詳解】(1)若k=-1，則 ，所以
由于△=16-48<0,
所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)因
，因 在區(qū)間 上不單調(diào)，
所以 在 上有實(shí)數(shù)解，且無重根，
由 得
令 有 ，記 則 ，
所以在 上，h(t)單調(diào)遞減，在 上, h(t)單調(diào)遞增，
所以有 ，于是得
而當(dāng) 時(shí)有 在 上有兩個(gè)相等的實(shí)根 ，故舍去
所以 .
(3)因?yàn)?/p>
所以，當(dāng)△= ，即 時(shí)
函數(shù) 在R上單調(diào)遞增
故 在R上不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)
所以，若 在R上有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必有△ ，
即 是 在R上有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件.
而當(dāng) ， 時(shí)，滿足
但
即此時(shí) 只有兩個(gè)不同零點(diǎn)
同樣，當(dāng) 時(shí)，滿足 ，
但
即此時(shí) 也只有兩個(gè)不同零點(diǎn)
故k<-2或k>7是 在R上有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要不充分條件.
【點(diǎn)睛】本題中涉及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題，(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解;(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
高三理科數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)全集為 ，集合 ， ，則 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化簡B，再根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義即可求出.
【詳解】∵A={x|0
∴?RB={x|x<1}，
∴A∩(?RB)={x|0
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目.
2.下面是關(guān)于復(fù)數(shù) 的四個(gè)命題：
; ; 的虛部為2; 的共軛復(fù)數(shù)為 .
其中真命題為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先將復(fù)數(shù)化簡運(yùn)算，可得|z|及 和共軛復(fù)數(shù)，再依次判斷命題的真假.
【詳解】復(fù)數(shù)z 2+2i.可得|z|=2 ，所以p1：|z|=2;不正確;
z2=(2+2i)2=8i，所以p2：z2=8i;正確;
z=2+2i.z的虛部為2;可得p3：z的虛部為2;正確;
z=2+2i的共軛復(fù)數(shù)為：2﹣2i;所以p4：z的共軛復(fù)數(shù)為﹣2﹣2i不正確;
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及命題的真假的判斷與應(yīng)用，是對(duì)基本知識(shí)的考查.
3.已知某產(chǎn)品連續(xù)4個(gè)月的廣告費(fèi) (千元)與銷售額 (萬元)( )滿足 ， ，若廣告費(fèi)用 和銷售額 之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸直線方程為 ， ，那么廣告費(fèi)用為5千元時(shí)，可預(yù)測的銷售額為( )萬元
A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 3.75
【答案】D
【解析】
【分析】
求出樣本中心點(diǎn)代入回歸直線方程，可得a，再將x=6代入，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意， ， ，
代入 0.6x+a，可得3=0.6×3.75+a，
所以a=0.75，
所以 0.6x+0.75，
所以x=5時(shí)， 0.6×5+0.75=3.75，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，利用回歸方程恒過樣本中心點(diǎn)是關(guān)鍵.
4.已知數(shù)列 為等差數(shù)列，且 成等比數(shù)列，則 的前6項(xiàng)的和為( )
A. 15 B. C. 6 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用 成等比數(shù)列,得到方程2a1+5d=2，將其整體代入 {an}前6項(xiàng)的和公式中即可求出結(jié)果.
【詳解】∵數(shù)列 為等差數(shù)列，且 成等比數(shù)列，∴ ，1， 成等差數(shù)列，
∴2 ，
∴2=a1+a1+5d，
解得2a1+5d=2，
∴{an}前6項(xiàng)的和為 2a1+5d)= .
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
5.已知定義在 的奇函數(shù) 滿足 ，當(dāng) 時(shí)， ，則 ( )
A. B. 1 C. 0 D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，分析可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，可得f(2019)=f(﹣1+2020)=f(﹣1)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與解析式分析可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=﹣f(x)，則有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
則f(2019)=f(﹣1+2020)=f(﹣1)，
又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(1)2=﹣1;
則f(2019)=﹣1;
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，注意分析函數(shù)的周期.
6.設(shè) 且 ，則 是 的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意看命題“ab>1”與“ ”能否互推，然后根據(jù)必要條件、充分條件和充要條件的定義進(jìn)行判斷.
【詳解】若“ab>1”當(dāng)a=﹣2，b=﹣1時(shí)，不能得到“ ”，
若“ ”，例如當(dāng)a=1，b=﹣1時(shí)，不能得到“ab>1“，
故“ab>1”是“ ”的既不充分也不必要條件，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查了充分必要條件，考查了對(duì)不等關(guān)系的分析，屬于基礎(chǔ)題.
7.設(shè) ， ， ，若 ，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得： (0， )，由數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角得：cosθ ， 可得結(jié)果.
【詳解】由 (1， )， (1，0)， .
則 (1+k， )，
由 ，
則 0，
即k+1=0，即k=﹣1，即 (0， )，
設(shè) 與 的夾角為θ，
則cosθ ，
又θ∈[0，π]，
所以 ，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角、及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于簡單題
8.第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的，會(huì)標(biāo)是四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果小正方形的面積為 ，大正方形的面積為 ，直角三角形中較小的銳角為，則 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由圖形可知三角形的直角邊長度差為a，面積為6 ，列方程組求出直角邊得出sinθ，代入所求即可得出答案.
【詳解】由題意可知小正方形的邊長為a，大正方形邊長為5a，直角三角形的面積為 6 ，
設(shè)直角三角形的直角邊分別為x，y且x
∴直角三角形的面積為S xy=6 ，
聯(lián)立方程組可得x=3a，y=4a，
∴sinθ ，tanθ= .
∴ = = = ，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.
9.如圖所示，正方形的四個(gè)頂點(diǎn) ， ， ， ，及拋物線 和 ，若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形 中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用幾何槪型的概率公式，求出對(duì)應(yīng)的圖形的面積，利用面積比即可得到結(jié)論.
【詳解】∵A(﹣1，﹣1)，B(1，﹣1)，C(1，1)，D(﹣1，1)，
∴正方體的ABCD的面積S=2×2=4，
根據(jù)積分的幾何意義以及拋物線的對(duì)稱性可知陰影部分的面積：
S=2 [1﹣ ]dx=2( x3) 2[(1 )﹣0]=2 ，
則由幾何槪型的概率公式可得質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是 .
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何槪型的概率的計(jì)算，利用積分求出陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵.
10.如果 是拋物線 上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo) ， 是拋物線 的焦點(diǎn)，若 ，則 ( )
A. 2028 B. 2038 C. 4046 D. 4056
【答案】B
【解析】
【分析】
由拋物線性質(zhì)得|PnF| xn+1，由此能求出結(jié)果.
【詳解】∵P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2=4x上的點(diǎn)，
它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，
,
∴
=(x1+1)+(x2+1)+…+(x2018+1)
=x1+x2+…+x2018+2018
=2018+20=2038.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中一組焦半徑和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
11.已知函數(shù) ，記 ，若 存在3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由g(x)=0得f(x)=ex+a，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】由g(x)=0得f(x)=ex+a，
作出函數(shù)f(x)和y=ex+a的圖象如圖：
當(dāng)直線y=ex+a過A 點(diǎn)時(shí)，截距a= ，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
將直線y=ex+a向上平移到過B(1，0)時(shí)，截距a=-e，兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
在平移過程中直線y=ex+a與函數(shù)f(x)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)g(x)存在3個(gè)零點(diǎn)，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，利用函數(shù)與零點(diǎn)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
12.設(shè) 是雙曲線 的左右焦點(diǎn)， 是坐標(biāo)原點(diǎn)，過 的一條直線與雙曲線 和 軸分別交于 兩點(diǎn)，若 ， ，則雙曲線 的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由條件得到 = ，連接A ，在三角形 中，由余弦定理可得A ，
再由雙曲線定義A =2a，可得.
【詳解】∵ ，得到| ，∴ = ，又 ，連接A ， ，在三角形 中，由余弦定理可得A ，
又由雙曲線定義A =2a，可得 ，∴ = ，
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用及離心率的求法，綜合考查了三角形中余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.若 滿足約束條件 ，則 的最大值為____.
【答案】5
【解析】
【分析】
畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解目標(biāo)函數(shù)的最值即可.
【詳解】x，y滿足約束條件 的可行域如圖：
由 解得A(1，2).
由可行域可知：目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過可行域A時(shí)，
z=x+2y取得最大值：5.
故答案為：5.
【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力.
14.設(shè) ，則 的值為__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
分別令x=0和x=-1，即可得到所求.
【詳解】由條件 ，令x=0,則有 =0，再令x=-1,則有-1= ，∴ ，
故答案為1.
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的系數(shù)問題，利用賦值法是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
15.在平面直角坐標(biāo)系 中,已知過點(diǎn) 的直線與圓 相切,且與直線 垂直,則實(shí)數(shù) __________.
【答案】
【解析】
因?yàn)?在圓 上，所以圓心與切點(diǎn) 的連線與切線垂直，又知與直線與直線 垂直，所以圓心與切點(diǎn) 的連線與直線 斜率相等， ，所以 ，故填： .
16.已知函數(shù) ，過點(diǎn) 作與 軸平行的直線交函數(shù) 的圖像于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 圖像的切線交 軸于點(diǎn) ，則 面積的最小值為____.
【答案】
【解析】
【分析】
求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，令x=a，求得P的坐標(biāo)，可得切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，令y=0，可得B的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式可得△ABP面積S，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得到所求值.
【詳解】函數(shù)f(x)= 的導(dǎo)數(shù)為f′(x) ，
由題意可令x=a，解得y ，
可得P(a， )，
即有切線的斜率為k ，
切線的方程為y﹣ (x )，
令y=0，可得x=a﹣1，
即B( a﹣1，0)，
在直角三角形PAB中，|AB|=1，|AP| ，
則△ABP面積為S(a) |AB|•|AP| • ，a>0，
導(dǎo)數(shù)S′(a) • ，
當(dāng)a>1時(shí)，S′>0，S(a)遞增;當(dāng)0
即有a=1處S取得極小值，且為最小值 e.
故答案為： e.
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，注意運(yùn)用直線方程和構(gòu)造函數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.已知函數(shù) 的最小正周期為 ，將函數(shù) 的圖像向右平移 個(gè)單位長度，再向下平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù) 的圖像.
(1)求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在銳角 中，角 的對(duì)邊分別為 ，若 ， ，求 面積的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)f(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)先利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，在銳角△ABC中，由g( )=0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面積的最大值.
【詳解】(1)由題得：函數(shù)
=
=
，
由它的最小正周期為 ，得 ，
∴
由 ，得
故函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)將函數(shù) 的圖像向右平移 個(gè)單位長度，再向下平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù) 的圖像，
在銳角 中，角 的對(duì)邊分別為 ，
若 ，可得 ，∴ .
因?yàn)?，由余弦定理，得 ，
∴ ，
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得等號(hào).
∴ 面積 ，
故 面積的最大值為
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.
18.設(shè) 是等差數(shù)列，前 項(xiàng)和為 ， 是等比數(shù)列，已知 ， ， ， .
(1)求數(shù)列 和數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ，記 ，求 .
【答案】(1) ， ;(2)
【解析】
【分析】
(1)設(shè)數(shù)列 的公差為 等比數(shù)列{bn}的公比為q，由已知列式求得d，q及首項(xiàng)，則可求數(shù)列 和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)知， ，利用錯(cuò)位相減直接求和.
【詳解】(1)設(shè)數(shù)列 的公差為 ，等比數(shù)列 的公比為
由已知得： ，即 ，
又 ，所以 ，
所以
由于 ，
，
所以 ，即 ( 不符合題意，舍去)
所以 ，
所以 和 的通項(xiàng)公式分別為 ， .
(2)由(1)知， ，
所以
所以
上述兩式相減，得：
=
= ，
得 .
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列求和的基本方法及運(yùn)算能力，是中檔題.
19.已知橢圓 ，點(diǎn) 在橢圓 上，橢圓 的離心率是 .
(1)求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn) 為橢圓長軸的左端點(diǎn)， 為橢圓上異于橢圓 長軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，記直線 斜率分別為 ，若 ，請(qǐng)判斷直線 是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1) (2)過定點(diǎn)
【解析】
【分析】
(1)由點(diǎn)M(﹣1， )在橢圓C上，且橢圓C的離心率是 ，列方程組求出a=2，b ，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，聯(lián)立 ，得：(4k2+3)x2+8kmx+(4m2﹣12)=0，利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件得直線PQ的方程過定點(diǎn)(1，0);再驗(yàn)證直線PQ的斜率不存在時(shí)，同樣推導(dǎo)出x0=1，從而直線PQ過(1，0).由此能求出直線PQ過定點(diǎn)(1，0).
【詳解】(1)由點(diǎn) 在橢圓 上，且橢圓 的離心率是 ，
可得 ，
可解得：
故橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(2)設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為 ，
(ⅰ)當(dāng)直線 斜率不存在時(shí)，由題意知，直線方程和曲線方程聯(lián)立得： ， ，
(ⅱ)當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 的方程為 ，
聯(lián)立 ，消去 得： ，
由 ，有 ，
由韋達(dá)定理得： ， ，
故 ，可得： ，
可得： ，
整理為： ，
故有 ，
化簡整理得： ，解得： 或 ，
當(dāng) 時(shí)直線 的方程為 ，即 ，過定點(diǎn) 不合題意，
當(dāng) 時(shí)直線 的方程為 ，即 ，過定點(diǎn) ，
綜上，由(ⅰ)(ⅱ)知，直線 過定點(diǎn) .
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程是否過定點(diǎn)的判斷與求法，考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，是中檔題.
20.在創(chuàng)新“全國文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：
(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分 ， 近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求 ;
(2)在(1)的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：
?、俚梅植坏陀?的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于 的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi);
?、诿看潍@贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：
現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記 (單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附：參考數(shù)據(jù)與公式： ,若 ，則 ， ， .
【答案】(1)0.8185(2)詳見解析
【解析】
【分析】
(1)由題意計(jì)算平均值，根據(jù)Z～N( ， )計(jì)算 的值;
(2)由題意知X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值.
【詳解】(1)由題意得：
∴ ，∵ ，
∴ ，
，
∴
綜上，
(2)由題意知， ，
獲贈(zèng)話費(fèi) 的可能取值為20,40,50,70,100
;
;
;
，
;
的分布列為：
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望以及正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.
21.已知函數(shù) ， ， .
(1)已知 為函數(shù) 的公共點(diǎn)，且函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線相同，求的值;
(2)若 在 上恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)f(x)，g(x)在點(diǎn)T處的切線相同，得到 ，且 ，從而求出a的值即可;
(2)令 ，將a與0、e分別比較進(jìn)行分類，討論 的單調(diào)性及最值情況，從而找到符合條件的a的值.
【詳解】(1)由題意 ， ，
∵點(diǎn) 為函數(shù) 的公共點(diǎn)，且函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線相同，
故 且 ，
由(2)得： ，
∵ ，∴ ，從而 ，∴
代入(1)得： ，∴ ， .
(2)令
，
①當(dāng) 時(shí)， ， 在 單調(diào)遞增，
∴ ，滿足題意;
?、诋?dāng) 時(shí)，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 在 單調(diào)遞增，
需 解得： ，∴
?、郛?dāng) 時(shí)， ，使
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減;
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增;
，
∵ ，
∴
，不恒成立，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題.
請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系 中，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)， )，以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)，以 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程是 .
(1)求直線的普通方程和曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線與曲線 交于 兩點(diǎn)，且 ，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)的普通方程 ; 的直角坐標(biāo)方程是 ;(2)
【解析】
【分析】
(1)把直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的t消掉即可得到直線的普通方程，由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2 sin(θ )，展開得 (ρsinθ+ρcosθ)，利用 即可得出曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)先求得圓心 到直線 的距離為 ，再用垂徑定理即可求解.
【詳解】(1)由直線的參數(shù)方程為 ，所以普通方程為
由曲線 的極坐標(biāo)方程是 ，
所以 ，
所以曲線 的直角坐標(biāo)方程是
(2)設(shè) 的中點(diǎn)為 ，圓心 到直線 的距離為 ，則 ，
圓 ，則 ， ，
,
由點(diǎn)到直線距離公式，
解得 ，所以實(shí)數(shù)的值為 .
【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程化為普通方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，圓中垂徑定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
23.選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) .
(1)若不等式 的解集為 ，求的值;
(2)當(dāng) 時(shí)，求 的解集.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)通過討論a的范圍，求出不等式的解集，結(jié)合對(duì)應(yīng)關(guān)系求出a的值即可;
(2)代入a的值，通過討論x的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可.
【詳解】(1)由 得 ，
當(dāng) 時(shí)，
由 ，得 ，
當(dāng) 時(shí)，
由 ，無解
所以 .
(2)
當(dāng) 時(shí)，原不等式化為 ，所以 ;
當(dāng) 時(shí)，原不等式化為 ，所以 (舍);
當(dāng) 時(shí)，原不等式化為
所以，不等式的解集為 .
【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題.
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