2017年高考全國Ⅲ卷理數(shù)試題和答案(2)
2017年高考全國Ⅲ卷理數(shù)試題和答案
2017年高考全國Ⅲ卷理數(shù)試題解析版
一、選擇題：(本題共12小題，每小題5分，共60分)
1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為()
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】表示圓上所有點(diǎn)的集合，表示直線上所有點(diǎn)的集合，
故表示兩的交點(diǎn)，由圖可知交點(diǎn)的個數(shù)2，即元素的個數(shù)為2，故選B
2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則()
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】由題，，則，故選C
WWW.ziyuanku.com3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.
2014年 2015年 2016年
根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()
接待游客量月增加
接待游客量逐年增加
C年的月接待游客量期大致在
D.各年至的月接待游客量相對于至，波動性更小，變化比較平穩(wěn)
【答案】A
【解析】由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項(xiàng)錯誤，故選A
4.的展開式中系數(shù)為()
B. C.40 D.80
【答案】C
【解析】由二項(xiàng)式定理可得，原式展開中含的項(xiàng)為
，則的系數(shù)為40，故選C
5.知雙曲(，)一條近線方程為且與橢圓焦點(diǎn).的方程為(
A. B. . D.
【答案】B
【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，則
又橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知，則
由解得，則雙曲線的方程為，故選B
6.數(shù)則下列結(jié)論錯誤的是(
A.一個周期為 B.圖像關(guān)于直線稱
.一個零點(diǎn)為 D.單調(diào)遞減
【答案】D
【解析】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到，
如圖可知，在上先遞減后遞增，選項(xiàng)錯誤，故選
7.行右圖的程序框圖，為使出值1，則入的正數(shù)小值為(
A.
B.
C.
D.2
【答案】D
【解析】程序運(yùn)行過程如下表所示：
初始狀態(tài) 0 100 1
第1次循環(huán)結(jié)束 100 2
第2次循環(huán)結(jié)束 90 1 3
此時首次滿足條件，程序需在時跳出循環(huán)，即為滿足條件的最小值，故選D
8.知的高為它的兩個底面的圓在直徑為同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(
A. . . .
【答案】B
【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑，
則圓柱體體積，故選B
9.列首項(xiàng)為公不為.，，成等比數(shù)列，則的和(
A. . . D.
【答案】A
【解析】為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，設(shè)公差為.
則，即
又，代入上式可得
又，則
，故選A
10.知()左、右頂點(diǎn)分別為，且以線段直徑的圓與直線切，則離率為(
A. . . .
【答案】A
【解析】以為直徑為圓與直線相切等于半徑，
∴
又，則上式可化簡為
，可得，即
，故選A
11.知函數(shù)一點(diǎn)，則(
A. . . .
【答案】
【解析】由條件，得
∴，即為的對稱軸
由題意有唯一零點(diǎn)
∴的零點(diǎn)只能為
即
解得.
12.形，，動點(diǎn)以點(diǎn)且與切的圓上.，則最大值為(
A. B. . .
【答案】
【解析】由題意畫出右圖.
設(shè)與切于點(diǎn)連接.
以為原點(diǎn)為軸正半軸
為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系
則點(diǎn)坐標(biāo)為.
，.
.
切于點(diǎn).
⊥.
是中斜邊上的高.
即的半徑為.
在上.
點(diǎn)的軌跡方程為.
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程如下
而，.
∴，.
兩式相加得
(其中)
當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值3.
二、填空題：(本題共4小題，每小題5分，共20分)
約束條件的最小值為________
【答案】
【解析】由題，畫出可行域如圖：
目標(biāo)函數(shù)為，則直線截距越大，值越小.
由圖可知：在處取最小值，故.
等比數(shù)列，，則________
【答案】
【解析】為等比數(shù)列，設(shè)公比為.
，
顯然，，
，即，代式可得，
.
函數(shù)滿足取值范圍是________
【答案】
【解析】，，
由圖象變換可畫出與的圖象如下：
由圖可知滿足的解為
16.，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形直角邊在與
，都垂直，邊直線旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：
直線成角時，成角;
直線成角時，成角;
與所成角的最小值為
?、苤本€與所成角的最值為
其中正確的是________所有正確結(jié)論的編號)
【答案】②③
【解析】由題意知三條直線兩兩相互垂直畫出圖形如.
不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1
故，
斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)則點(diǎn)保持不變
點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以為圓心1為半徑的圓.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)以為軸正方向?yàn)檩S正方向
為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
則，
直線的方向單位向量.
點(diǎn)起始坐標(biāo)為
直線的方向單位向量.
設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動過程中的坐標(biāo)
其中為與的夾角.
那么在運(yùn)動過程中的向量.
設(shè)與所成夾角為
則.
故③正確④錯誤.
設(shè)與所成夾角為
.
當(dāng)與夾角為時即
.
，
∴.
.
.
，此時與夾角為.
?、谡_錯誤.
三、解答題：(共70分.第17-20題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答)
)考：共
17.(12分)
內(nèi)角A對邊分別為已知，.
(1)
(2)為邊上一點(diǎn)，且求面積
【解析】)由得，
即，
，得.
余弦定理.代入，故.
)，
余弦定理.
，即為直角三角形，
則，得.
由勾股定理.
又，則，
.
.2分)超市計(jì)劃按月購一種奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶，售價每瓶，售出的酸奶降價處理，以瓶2價格當(dāng)天全部處理完.據(jù)年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(：)關(guān).果最高氣溫不低于需求量為;如果最高氣溫位于區(qū)間求量為;如果氣低于需求量為，為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的分布表：
高氣溫 數(shù) 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
)六月份這種酸奶一天的需量瓶)分列
(2)六月份一天銷售這種酸奶的利為：元).六月這種酸奶一天的進(jìn)貨量瓶多少時，數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?
【解析】⑴易知需求量可取
.
則分布列為：
?、脾佼?dāng)時：，此時，當(dāng)時取到.
?、诋?dāng)時：
此時，當(dāng)時取到.
?、郛?dāng)時，
此時.
?、墚?dāng)時，易知一定小于③的情況.
綜上所述：當(dāng)時，取到最大值為.
9.2分)圖，四面體，正三角形，直三角形..
)明：面面
(2)的平面交點(diǎn)若平面四面體成積相等的兩部分.二的余弦值.
?、湃≈悬c(diǎn)為，連接，;
為等邊三角形
∴
.
∴,即為等腰直角三角形，
為直角又為底邊中點(diǎn)
令，則
易得：，
由勾股定理的逆定理可得
即
又
由面面垂直的判定定理可得
⑵由題意可知
即,到平面的距離相等
即為中點(diǎn)
以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
易得：，，
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，
則，解得
，解得
若二面角為為銳角，
則
20.2分)知拋物線點(diǎn))直線于，兩點(diǎn)，圓以線段直徑的圓.
)明：坐標(biāo)原點(diǎn)圓;
)圓點(diǎn))直線圓程.
【解析】顯然，當(dāng)直線斜率為時，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意.
設(shè)，，
聯(lián)立：得
恒大于，，
∴，即在圓上
⑵若圓過點(diǎn)，則
化簡得解得或
當(dāng)時，圓心為，
，，
半徑
則圓
當(dāng)時，圓心為，
，，
半徑
則圓
21.知函數(shù).
)，求值;
)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，求最小值.
【解析】，
則，且
當(dāng)時，，在上單調(diào)增，所以時，，不滿足題意;
當(dāng)時，
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增
?、偃?，在上單調(diào)遞增當(dāng)時矛盾
若，在上單調(diào)遞減當(dāng)時矛盾
若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增滿足題意
綜上所述
?、?當(dāng)時即
則有當(dāng)且僅當(dāng)時成立
，
一方面：
即
另一方面：
當(dāng)時，
，，
∴的最小值為
22.[選修4-4坐標(biāo)參數(shù)方程])
直角坐標(biāo)，直線方程(參數(shù))直線參數(shù)方程為參數(shù))與的交點(diǎn)為當(dāng)時，軌跡為曲線
(1)寫出普通方程：
原點(diǎn)為極點(diǎn)，正半為極軸極，設(shè)與C的交點(diǎn)，求極徑
【解析】⑴將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程
……①
……②
①②消可得：
即的軌跡方程為;
?、茖?shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程
……③
聯(lián)立曲線和
解得
由解得
即的極半徑是.
23修4-5等式選講])
函數(shù)
(1)求不等式解集;
不等式解集非空求值范圍
【解析】⑴可等價為.由可得：
當(dāng)時顯然不滿足題意;
當(dāng)時，，解得;
當(dāng)時，恒成立.綜上，的解集為.
?、撇坏仁降葍r為，
令，則解集非空只需要.
而.
當(dāng)時，;
當(dāng)時，;
當(dāng)時，.
綜上，，故.
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