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高考必備數(shù)學(xué)方差公式

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高考必備數(shù)學(xué)方差公式

  方差公式是即將進(jìn)行高考的同學(xué)們需要牢記的知識(shí)點(diǎn),下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)的高考必備數(shù)學(xué)方差公式,希望對(duì)你有幫助。

  高考必備公式:方差公式

  一.方差的概念與計(jì)算公式

  例1 兩人的5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢篨: 50,100,100,60,50 E(X )=72;Y: 73, 70, 75,72,70 E(Y )=72。

  平均成績(jī)相同,但X 不穩(wěn)定,對(duì)平均值的偏離大。方差描述隨機(jī)變量對(duì)于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。單個(gè)偏離是消除符號(hào)影響方差即偏離平方的均值,記為D(X ):直接計(jì)算公式分離散型和連續(xù)型,具體為:

  這里D(X) 是一個(gè)數(shù)。推導(dǎo)另一種計(jì)算公式

  得到:“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

  其中,分別為離散型和連續(xù)型計(jì)算公式。 稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差,方差描述波動(dòng)

  二.方差的性質(zhì)

  1.設(shè)C為常數(shù),則D(C) = 0(常數(shù)無(wú)波動(dòng));

  2. D(CX )=C2 D(X ) (常數(shù)平方提取);

  證:特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無(wú)負(fù)值)

  3.若X 、Y 相互獨(dú)立,則

  證:記則前面兩項(xiàng)恰為 D(X )和D(Y ),第三項(xiàng)展開(kāi)后為當(dāng)X、Y 相互獨(dú)立時(shí),,故第三項(xiàng)為零。特別地獨(dú)立前提的逐項(xiàng)求和,可推廣到有限項(xiàng)。

  方差公式:

  平均數(shù):M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值)

  方差公式:S²=〈(M-x1)²+(M-x2)²+(M-x3)²+…+(M-xn)²〉?n

  三.常用分布的方差

  1.兩點(diǎn)分布

  2.二項(xiàng)分布

  X ~ B ( n, p )引入隨機(jī)變量 Xi (第i次試驗(yàn)中A 出現(xiàn)的次數(shù),服從兩點(diǎn)分布)

  3.泊松分布(推導(dǎo)略)

  4.均勻分布

  另一計(jì)算過(guò)程為

  5.指數(shù)分布(推導(dǎo)略)

  6.正態(tài)分布(推導(dǎo)略)

  7.t分布 :其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

  8.F分布:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

  ~正態(tài)分布的后一參數(shù)反映它與均值 的偏離程度,即波動(dòng)程度(隨機(jī)波動(dòng)),這與圖形的特征是相符的。

  例2 求上節(jié)例2的方差。

  解 根據(jù)上節(jié)例2給出的分布律,計(jì)算得到

  工人乙廢品數(shù)少,波動(dòng)也小,穩(wěn)定性好。

  方差的定義:

  設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3······xn中,各組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)²,(x2-x拔)²······(xn-x拔)²,那么我們用他們的平均數(shù)s2=1/n【(x1-x拔)²+(x2-x拔)²+·····(xn-x拔)²】來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。

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