高考必備數(shù)學(xué)方差公式
高考必備數(shù)學(xué)方差公式
方差公式是即將進(jìn)行高考的同學(xué)們需要牢記的知識點(diǎn),下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼母呖急貍鋽?shù)學(xué)方差公式,希望對你有幫助。
高考必備公式:方差公式
一.方差的概念與計算公式
例1 兩人的5次測驗成績?nèi)缦拢篨: 50,100,100,60,50 E(X )=72;Y: 73, 70, 75,72,70 E(Y )=72。
平均成績相同,但X 不穩(wěn)定,對平均值的偏離大。方差描述隨機(jī)變量對于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值,記為D(X ):直接計算公式分離散型和連續(xù)型,具體為:
這里D(X) 是一個數(shù)。推導(dǎo)另一種計算公式
得到:“方差等于平方的均值減去均值的平方”。
其中,分別為離散型和連續(xù)型計算公式。 稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差,方差描述波動
二.方差的性質(zhì)
1.設(shè)C為常數(shù),則D(C) = 0(常數(shù)無波動);
2. D(CX )=C2 D(X ) (常數(shù)平方提取);
證:特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負(fù)值)
3.若X 、Y 相互獨(dú)立,則
證:記則前面兩項恰為 D(X )和D(Y ),第三項展開后為當(dāng)X、Y 相互獨(dú)立時,,故第三項為零。特別地獨(dú)立前提的逐項求和,可推廣到有限項。
方差公式:
平均數(shù):M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示這組數(shù)據(jù)個數(shù),x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值)
方差公式:S²=〈(M-x1)²+(M-x2)²+(M-x3)²+…+(M-xn)²〉?n
三.常用分布的方差
1.兩點(diǎn)分布
2.二項分布
X ~ B ( n, p )引入隨機(jī)變量 Xi (第i次試驗中A 出現(xiàn)的次數(shù),服從兩點(diǎn)分布)
3.泊松分布(推導(dǎo)略)
4.均勻分布
另一計算過程為
5.指數(shù)分布(推導(dǎo)略)
6.正態(tài)分布(推導(dǎo)略)
7.t分布 :其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
8.F分布:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
~正態(tài)分布的后一參數(shù)反映它與均值 的偏離程度,即波動程度(隨機(jī)波動),這與圖形的特征是相符的。
例2 求上節(jié)例2的方差。
解 根據(jù)上節(jié)例2給出的分布律,計算得到
工人乙廢品數(shù)少,波動也小,穩(wěn)定性好。
方差的定義:
設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3······xn中,各組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)²,(x2-x拔)²······(xn-x拔)²,那么我們用他們的平均數(shù)s2=1/n【(x1-x拔)²+(x2-x拔)²+·····(xn-x拔)²】來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小,并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。