直擊高考數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)六類解經(jīng)典型錯(cuò)誤
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要講究方法和技巧，用對(duì)方法做什么事情都會(huì)事半功倍，而學(xué)會(huì)分析錯(cuò)題則是進(jìn)步的關(guān)鍵。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的相關(guān)指導(dǎo)方法，希望對(duì)大家有所幫助!
直擊高考數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)六類解經(jīng)典型錯(cuò)誤
1. 思考問(wèn)題不縝密，對(duì)隱含條件挖掘不充分.
2. 對(duì)參數(shù)的具體范圍限制不準(zhǔn)，求軌跡方程時(shí)忘了考慮實(shí)際意義而未除去不合題意的解.
3. 分類討論意識(shí)不強(qiáng)，解題過(guò)程不嚴(yán)密而導(dǎo)致錯(cuò)解. 分類討論是解圓錐曲線問(wèn)題的常用方法，對(duì)于同一類圓錐曲線的焦點(diǎn)在x軸上或y軸上的問(wèn)題，應(yīng)用分類討論來(lái)解. 判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求曲線的軌跡方程，只要所給問(wèn)題含有字母參數(shù)，一般都離不開分類討論.
4. 在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程中要注意二次項(xiàng)的系數(shù)為零的情況，以及判別式Δ≥0的限制.對(duì)于求交點(diǎn)、弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、斜率、對(duì)稱點(diǎn)、存在性問(wèn)題等都應(yīng)當(dāng)在Δ>0的限制下實(shí)施.
5. 由于思維定式的消極影響，造成生搬硬套、張冠李戴的錯(cuò)解現(xiàn)象.
6. 不能用適當(dāng)?shù)挠?jì)算技巧避開繁瑣的計(jì)算.
過(guò)點(diǎn)P(1，2)總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，則k的取值范圍是________.
錯(cuò)解 當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)P可作圓的兩條切線，即12+22+k+4+k2-15>0，化簡(jiǎn)得k2+k-6>0，解得k>3或k<-2.
剖析 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件為D2+E2-4F>0.我們?nèi)绻雎粤诉@一限制條件，就會(huì)擴(kuò)大參數(shù)的取值范圍. 解題時(shí)，我們?cè)陉P(guān)注題目關(guān)鍵字的同時(shí)要深挖題目本身所具備的隱含條件.
等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4，2)，底邊的一個(gè)端點(diǎn)是B(3，5)，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程.
錯(cuò)解 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，由AC=AB得(x-4)2-(y-2)2=10.
剖析 解題后沒有認(rèn)真檢驗(yàn)，造成解的不嚴(yán)密. 實(shí)際上題目要求的幾何條件有兩個(gè)：①A，B，C三點(diǎn)要組成三角形;②A，B，C三點(diǎn)組成的三角形是等腰三角形. 錯(cuò)解在解題過(guò)程中只是根據(jù)條件②“AC=AB”將軌跡方程轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的含x，y的方程，因此所求出的方程能滿足條件②而無(wú)法保證滿足條件①. 求三角形頂點(diǎn)的軌跡要考慮三點(diǎn)是否共線，這往往是易被我們忽視的一個(gè)問(wèn)題.
正解 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，依題意得AC=AB，由兩點(diǎn)間的距離公式，可得：■=■，兩邊平方得(x-4)2+(y-2)2=10.
又A，B，C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，即點(diǎn)B，C不能重合且B，C不能為一直徑的兩端點(diǎn)，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x≠3且■≠4，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x≠3且x≠5. 故點(diǎn)C的軌跡方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3且x≠5).
剖析 (1)雙曲線的定義掌握不夠熟練，屬于概念性錯(cuò)誤;
(2)未進(jìn)行分類討論，雙曲線上的點(diǎn)P可能有兩種情況：P在左支上或在右支上.
正解 由雙曲線第一定義：PF1-PF2?搖=8，所以9-PF2=8，所以PF2=1或17. 當(dāng)P在左支上時(shí)，P到右焦點(diǎn)F2的距離最小值為c+a=10;當(dāng)P在右支上時(shí)，P到右焦點(diǎn)F2的距離最小值為c-a=2. 因此，應(yīng)排除PF2=1，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離為17.
若動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N(-2，0)，且與圓M：(x-2)2+y2=8外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程.
剖析 沒有考慮到動(dòng)圓圓心P的取值范圍，也就是在求軌跡方程過(guò)程中沒有檢驗(yàn)曲線和方程是否等價(jià).
正解 由PN=r和PM=r+2■直接消去r得到PM-PN=2■，由雙曲線的定義知所求曲線為雙曲線的一支，使用定義法得a=■，c=■=2，b=■，所以所求軌跡方程為■-■=1(x≤-■).
■ 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓■+y2=1的左、右焦點(diǎn). 設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0，2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的斜率k的取值范圍.
錯(cuò)解 顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l：y=kx+2，A(x1，y2)，B(x2，y2)，聯(lián)立y=kx+2，x2+4y2-4=0，消去y，整理得：(1+4k2)x2+16kx+12=0?、?
剖析 以上解答看似天衣無(wú)縫，實(shí)則犯了我們經(jīng)常會(huì)忽視的錯(cuò)誤，即忽略了方程①必須滿足Δ>0這個(gè)條件，從而導(dǎo)致參數(shù)k的取值范圍不準(zhǔn)確. 在考慮用違達(dá)定理前，不應(yīng)忘記對(duì)根的存在性的判定.
正解 由Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)>0得k<-■或k>■，將其與-2<k<2取交集便得正確答案k-2<k<-■或■<k 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，0)(a∈R)，則曲線y2=2x上的點(diǎn)到A點(diǎn)的距離的最小值為________.
錯(cuò)解 設(shè)最小值為d，則d2=(x-a)2+y2=x2-(2a-2)x+a2=[x-(a-1)]2+(2a-1). a∈R，所以x=a-1時(shí)，d2取最小值2a-1，所以dmin=■.
剖析 忽視了拋物線中x的取值范圍. 圓錐曲線中，坐標(biāo)的取值范圍是有限制的，如圓x2+y2=r2中，-r≤x≤r;橢圓■+■=1中，-a≤x≤a;雙曲線■-■=1中，x≤-a或x≥a.
正解 接上，因?yàn)閤∈[0，+∞)，所以當(dāng)a≥1時(shí)，d■■=2a-1，dmin=■;當(dāng)a<1時(shí)，d■■=a2，dmin=a.
已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，Q是準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q且與拋物線有唯一公共點(diǎn)，求直線l的斜率.
錯(cuò)解 由題知：Q(-1，0)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)，聯(lián)立y=k(x+1)，y2=4x得k2x2+(2k2-4)x+k2=0. 因?yàn)橹本€l與拋物線有唯一公共點(diǎn)，所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0，解得k=1或k=-1.
剖析 直線與曲線有唯一公共點(diǎn)，只有聯(lián)立直線方程和曲線方程，所得的是一元二次方程時(shí)，其充要條件才是Δ=0，而本題中涉及方程k2x2+(2k2-4)x+k2=0的二次項(xiàng)系數(shù)是k2，需對(duì)k=0與k≠0兩種情況進(jìn)行討論. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一直是高考考查的重點(diǎn)，我們?cè)谠O(shè)直線時(shí)一定要把握如下原則，即首先判斷直線斜率是否存在，在斜率存在的情況下，再討論斜率為零與不為零的情形. 比如此題我們可作如下改編，過(guò)點(diǎn)(0，1)作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有( )
A. 1條 B. 2條
C. 3條?搖 D. 0條
正確答案為3條，這里我們就需要首先考慮斜率不存在的情況.
正解 當(dāng)k=0時(shí)，方程有一根，此時(shí)也滿足直線與拋物線有唯一公共點(diǎn);當(dāng)k≠0時(shí)，Δ=(2k2-4)2-4k4=0，解得k=1或k=-1. 因此，所求直線的斜率為k=0或k=1或k=-1.
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