高二年級數(shù)學理科下學期期末試題
學生學習期間，在課堂的時間占了一大部分。因此聽課的效率如何，決定著學習的基本狀況，今天小編就給大家分享了高二數(shù)學，僅供參考哦
高二數(shù)學下學期期末試題帶答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設(shè)全集 是實數(shù)集 ,集合 , ,則圖中陰影部分所表示的集合是 ( )
A. B.
C. D.
2.下面是關(guān)于復(fù)數(shù) 的四個命題：其中的真命題為( )
?、僭趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點位于第二象限 ②復(fù)數(shù) 的虛部是-2
?、蹚?fù)數(shù) 是純虛數(shù) ④
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
3.設(shè) ,則( )
A. B. C. D.
4.已知向量a=(1，- )，b=(1，2 )且a⊥b，則 等于( )
A.-1 B.0 C. 12 D. 22
5.在 中，角A、B、C所對的邊分別是 、 、 ，若 ， ，則 等于( )
A. B. C. D.
6.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為( )
A.18 B.24 C.30 D.36
7. 若下框圖所給的程序運行結(jié)果為 ，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于 的條件是( )
A. B. C. D.
8.若某幾何體的三視圖(單位： )如圖所示，則該幾何體的
體積等于( )
A. B.
C. D.
9.下列說法中，正確的是( )
A.命題“若 ，則 ”的逆命題是真命題
B.命題“存在 ”的否定是：“任意 ”
C.命題“ 或 ”為真命題，則命題“ ”和命題“ ”均為真命題
D.“ ”是“函數(shù) 是偶函數(shù)”的充分不必要條件
10.右圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)( ， )圖像的一部分.為了得到這個函數(shù)的圖像，只要將y=sin x(x∈R)的圖像上所有的點 ( )
.向左平移π3個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變.
.向左平移π3個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變.
.向左平移π6個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變.
.向左平移π6個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變.
11.已知定義在 上的函數(shù) 對任意 都滿足 ，且當 時， ，則函數(shù) 的零點個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.定義在 上的函數(shù) 滿足： 則不等式 (其中 為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.函數(shù) 的定義域為 ，則函數(shù) 的定義域是__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬______
14.已知 ，則 的展開式中的常數(shù)項為 .
15.函數(shù) 的圖像恒過定點A，若點A在直線 上，其中 則 得最小值為 .
16.已知函數(shù) 若方程 有三個不同的實數(shù)根，則 的取值范圍是 .
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.第17~21題為必做題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
17. (本小題共12分)設(shè)數(shù)列 9，
(1)求證： 是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列 滿足 ,
求數(shù)列 的前 項和 ;
18.(本小題滿分12分)如圖，三棱柱 中，側(cè)棱 平面 ， 為等腰直角三角形， ，且 分別是 的中點.
(Ⅰ)求證： 平面 ;
(Ⅱ)求銳二面角 的余弦值.
19.某高校在2017年的自主招生考試成績中隨機抽取 名學生的筆試成績(被抽取學生的
成績均不低于 分,且不高于 分)，按成績分組，得到的頻率分布表如下左圖所示.
(1) 請先求出 、 、 、 的值，再在答題紙上補全頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受A考官進行面試，
第4組中有ξ名學生被考官A面試，求ξ的分布列和數(shù)學期望.
組號 分組 頻數(shù) 頻率
第1組 5 0.050
第2組
第3組 30
第4組 20 0.200
第5組 10 0.100
20.(本小題共12分)已知橢圓 的一個焦點 與拋物線 的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為 ，傾斜角為 的直線 過點 .
(Ⅰ)求該橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的另一個焦點為 ，問拋物線 上是否存在一點 ，使得 與 關(guān)于直線 對稱，若存在，求出點 的坐標，若不存在，說明理由.
21. (本小題共12分)已知函數(shù)
(Ⅰ)求 在點 處的切線方程;
(Ⅱ)若存在 ，滿足 成立，求 的取值范圍;
(Ⅲ)當 時， 恒成立，求 的取值范圍.
選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，按所做的第一題計分.作答時請寫清題號.
22.(本小題滿分10分)選修4—4：極坐標系與參數(shù)方程.
在直角坐標系 中，曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).曲線C2: ，以坐標原點為極點，以 軸正半軸為極軸建立極坐標系，若點P的極坐標為( ).
(I)求曲線C2的極坐標方程;
(Ⅱ)若C1與C2相交于M、N兩點，求 的值.
23.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知 .
(I)當m=0時，求不等式 的解集;
(Ⅱ)對于任意實數(shù) ，不等式 成立，求m的取值范圍.
數(shù)學試題(理科)答案
一、 選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
CCABB CDBBA BA
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 14. 15. 2 16.
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.第17~21題為必做題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
17.(本小題共12分)解：(1)依題意， ，故 ，
當 ①
又 ②
?、?①整理得： ，故 是等比數(shù)列，
(2)由(1)知，且 ， ，
18. (本小題滿分12分)
(Ⅰ)連結(jié) ，∵ 是等腰直角三角形 斜邊 的中點，∴ .
又 三棱柱 為直三棱柱，
∴面 面 ，
∴ 面 ， .
設(shè) ，則 .
∴ ，∴ .
又 ，∴ 平面 .
(Ⅱ)以 為坐標原點， 分別為 軸建立直角坐標系如圖，設(shè) ，
則 ，
， .
由(Ⅰ)知， 平面 ，
∴可取平面 的法向量 .
設(shè)平面 的法向量為 ，
由
∴可取 .
設(shè)銳二面角 的大小為 ，
則 .
∴所求銳二面角 的余弦值為 .
19. (本小題共12分)【解】：(1)由第1組的數(shù)據(jù)可得 ，第2組的頻率 = ，第2組的頻數(shù)為 = 人,
第3組的頻率為 = ,
頻率分布直方圖如右:
(2)因為第3、4、5組共有60名學生,
所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生,每組分別為:第3組: 人,… 6分
第4組: 人, …7分
第5組: 人, …8分
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人.
(3)由題意知變量ξ的可能取值是0，1，2
該變量符合超幾何分布，
∴
ξ 0 1 2
P
∴分布列是
∴
20. (本小題共12分)解：(Ⅰ)拋物線 的焦點為 ，準線方程為 ，
∴ ①
又橢圓截拋物線的準線 所得弦長為 ，
∴ 得上交點為 ，∴ ②
由①代入②得 ，解得 或 (舍去)，
從而
∴ 該橢圓的方程為該橢圓的方程為
(Ⅱ)∵ 傾斜角為 的直線 過點 ，
∴ 直線 的方程為 ，即 ，
由(Ⅰ)知橢圓的另一個焦點為 ，設(shè) 與 關(guān)于直線 對稱，則得 ，解得 ，即 ，
又 滿足 ，故點 在拋物線上.所以拋物線 上存在一點 ，使得 與 關(guān)于直線 對稱.
21. (本小題共12分)
解：(Ⅰ)
在 處的切線方程為：
即
(Ⅱ) 即 令
時， ， 時，
在 上減，在 上增
又 時， 的最大值在區(qū)間端點處取到.
在 上最大值為 ，
故 的取值范圍是： < .
(Ⅲ)由已知得 時 恒成立，設(shè)
由(Ⅱ)知 ，當且僅當 時等號成立，
故 從而當
即 時， ， 為增函數(shù)，又
于是當 時， 即 時符合題意。
由 可得 ，從而當 時，
故當 時， ， 為減函數(shù)，又 ，
于是當 時， 即
故 ，不符合題意.綜上可得 的取值范圍為
高二數(shù)學下學期期末模擬試題
第I卷(選擇題 60分)
一.選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復(fù)數(shù) (i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
2.有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為
A. B. C. D.
3.設(shè)變量x，y滿足約束條件 則目標函數(shù) 的最大值為
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
4. 的展開式中 的系數(shù)為
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
5.三國時期吳國的數(shù)學家趙爽曾創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，其中一個直角三角形中較小的銳角 滿足 ，現(xiàn)向大正方形內(nèi)隨機投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是( )
A. B. C. D.
6.函數(shù) 的大致圖像是( )
A. B. C. D.
7.下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱的是
A. B. C. D.
8.直線 分別與 軸， 軸交于 ， 兩點，點 在圓 上，則 面積的取值范圍是
A. B. C. D.
9.設(shè)函數(shù) .若 為奇函數(shù)，則曲線 在點 處的切線方程為
A. B. C. D.
10.設(shè) , 是雙曲線 ( )的左、右焦點， 是坐標原點.過 作 的一條漸近線的垂線，垂足為 .若 ，則 的離心率為
A. B. C. D.
11.在 中，點 滿足 ，過點 的直線與 ， 所在直線分別交于點 ， ，若 ， ，則 的最小值為( )
A. 3 B. 4 C. D.
12.已知函數(shù) ， 若關(guān)于 的方程 有兩個不等實根 ，且 ，則 的最小值是( )
A. 2 B. C. D.
第II卷(非選擇題 90分)
二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的 ，則輸出的 _______________.
14.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門決定派出五位相關(guān)專家對三個貧困地區(qū)進行調(diào)研，每個地區(qū)至少派遣一位專家，其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數(shù)為__________(用數(shù)字作答).
15.已知直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱) 各頂點都在同一球面上，且 ， ，若此球的表面積等于 ，則 _______.
16.若存在兩個正實數(shù) ， 使等式 成立(其中 )，則實數(shù) 的取值范圍是__________.
三.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
(一)必考題：共60分。
17.(本小題滿分12分)
華中師大附中中科教處為了研究高一學生對物理和數(shù)學的學習是否與性別有關(guān)，從高一年級抽取 名同學(男同學30名，女同學30名)，給所有同學物理題和數(shù)學題各一題，讓每位同學自由選擇一題進行解答。選題情況如下表：(單位：人)
物理題 數(shù)學題 總計
男同學
女同學
總計
(I)在犯錯誤的概率不超過 的條件下，能否判斷高一學生對物理和數(shù)學的學習與性別有關(guān)?
(II)經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn)，甲每次解答一道物理題所用的時間為5—8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時間為6—8分鐘，現(xiàn)甲、乙解同一道物理題，求甲比乙先解答完的概率;
(III)現(xiàn)從選擇做物理題的8名女生中任意選取兩人，對她們的解答情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.
附表及公式
18.(本小題滿分12分)已知函數(shù) .
(I)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;(II)當 時， 恒成立，求 的取值范圍.
19.(本小題滿分12分)
已知四棱錐 的底面 是直角梯形， 平行 ， ， 為 的中點， .
(I)證明:平面 平面 ;
(II)若 與平面 所成的角為 ，
求二面角 的余弦值.
20.(本小題滿分12分)
橢圓 ，其右焦點為 ,點 在橢圓 上,直線的方程為 .
(Ⅰ)求橢圓 的標準方程;
(Ⅱ)若過橢圓左焦點 的直線(不過點 )交橢圓于 兩點,直線 和直線 相交于點 ,記 ， ， 的斜率分別為 ， ， 求證:
21.(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù) , .
(Ⅰ)當 時，函數(shù) 有兩個極值點，求 的取值范圍;
(Ⅱ)若 在點 處的切線與 軸平行，且函數(shù) 在 時，其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角，求 的取值范圍.
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.(本小題滿分10分)[選修4–4：極坐標和參數(shù)方程選講]
在極坐標系中.曲線 的極坐標方程為 點 的極坐標為 以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸.建立平面直角坐標系，
(Ⅰ)求曲線 的直角坐標方程和點 的直角坐標;
(Ⅱ)過點 的直線 與曲線 相交于 兩點.若 ,求 的值.
23.(本小題滿分10分)[選修4–5：不等式選講]
已知 .
(Ⅰ)當 時，求不等式 的解集;
(Ⅱ)若 時不等式 成立，求 的取值范圍.
數(shù)學(理科)參考答案
一.選擇題
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.C
7.B 8.A 9.D 10.C 11.A 12.D
二.填空題
13.6. 14.36 15.2 16.
17.(1) 在犯錯誤的概率不超過 的前提下，不能判斷高一學生對物理題和數(shù)學題的學習與性別有關(guān).
(2) . (3)分布列省略， .
18.(1)單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ;(2)
19.(1)見解析;(2)
20.(1)橢圓方程為 ;(2)省略.
21.(1) ;(2)
22.(1)省略.(2) .
23.(1) . (2) .
有關(guān)于高二數(shù)學下學期期末試卷
一、選擇題(本大題共12小題，共60.0分)
1. 已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足 ，則
A. B. C. D. 2
3. 已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為 ，則實數(shù)a的值為
x 2 3 4 5 6
y 3 7 11 a 21
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
4. 方程 表示雙曲線的一個充分不必要條件是
A. B. C. D.
5. 設(shè)等比數(shù)列 的前n項和為 ，且滿足 ，則
A. 4 B. 5 C. 8 D. 9
6. 如圖所示，一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為2的正方形，俯視圖是一個直徑為2的圓，則這個幾何體的全面積是
A. B. C. D.
7. 在如圖所示的計算 的值的程序框圖中，判斷框內(nèi)應(yīng)填入
A.
B.
C.
D.
8. 拋物線 上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是
A. B. C. D.
9. 函數(shù) 的部分圖象大致為
A. B.
C. D.
10. 如圖，在三棱錐 中，側(cè)面 底面BCD， ， ， ， ，直線AC與底面BCD所成角的大小為
A. B. C. D.
11. 經(jīng)過橢圓 的一個焦點作傾斜角為 的直線l，交橢圓于M，N兩點，設(shè)O為坐標原點，則 等于
A. B. C. D.
12. 已知函數(shù) ，給出下列四個說法：
; 函數(shù) 的周期為 ;
在區(qū)間 上單調(diào)遞增; 的圖象關(guān)于點 中心對稱
其中正確說法的序號是
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)
13. 已知向量 ，若 與 垂直，則m的值為______ .
14. 的展開式中常數(shù)項為______ .
15. 設(shè) ，函數(shù)f 是偶函數(shù)，若曲線 的一條切線的斜率是 ，則切點的橫坐標為______ .
16. 若直線l： 與x軸相交于點A，與y軸相交于B，被圓 截得的弦長為4，則 為坐標原點 的最小值為______.
三、解答題(本大題共7小題，共84.0分)
17. 的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若 ， ， .
求c的值;
?、?求 的面積.
18. 如圖，斜三棱柱 中，側(cè)面 為菱形，底面 是等腰直角三角形， ， C.
求證：直線 直線 ;
若直線 與底面ABC成的角為 ，求二面角 的余弦值.
19. 在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在 內(nèi)的選手可以參加復(fù)活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽.
?、?已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計這200名參賽選手的成績平均數(shù);
?、?根據(jù)已有的經(jīng)驗，參加復(fù)活賽的選手能夠進入第二輪比賽的概率為 ，假設(shè)每名選手能否通過復(fù)活賽相互獨立，現(xiàn)有3名選手進入復(fù)活賽，記這3名選手在復(fù)活賽中通過的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望.
20. 如圖，已知橢圓C： 的離心率是 ，一個頂點是 .
?、?求橢圓C的方程;
Ⅱ 設(shè)P，Q是橢圓C上異于點B的任意兩點，且 試問：直線PQ是否恒過一定點?若是，求出該定點的坐標;若不是，說明理由.
21. 已知函數(shù) .
?、?當 時，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值;
Ⅱ 若 在 上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.
22. 已知直線l的參數(shù)方程為 為參數(shù) ，曲線C的極坐標方程為 ，直線l與曲線C交于A，B兩點，點 ，
求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程;
求 的值.
23. 已知函數(shù) .
當 時，解不等式 ;
若存在 滿足 ，求實數(shù)a的取值范圍.
答案和解析
【答案】
1. D 2. C 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B
9. D 10. A 11. C 12. B
13.
14. 15
15.
16.
17. 本題滿分為12分
解： ， ， ，
，
在 中，由正弦定理 ，
可得 ，可得： ，即： ，
解得： 分
?、?在 中，由余弦定理 ，可得 ，
故 分
18. 證明：連接 ，
側(cè)面 為菱形，
，
又 與 相互垂直， ，
平面 ，
，又 ， ，
平面 ，
平面 ， 直線 直線 ;
解：由 知，平面 平面 ，由 作AB的垂線，垂足為D，則 平面ABC，
，得D為AB的中點，
過A作 的平行線，交 于E點，則 平面ABC，
建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè) ，
則 為平面 的一個法向量，
則 0， ， 2， ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，
由 ，取 ，得 ，
，
故二面角 的余弦值為 .
19. 解： Ⅰ 由題意： ，
估計這200名選手的成績平均數(shù)為 .
Ⅱ 由題意知， X B 3 ， 1 3 ，X可能取值為0，1，2，3，
，
所以X的分布列為 ：
X的數(shù)學期望為 .
20. 本小題滿分14分
?、?解：設(shè)橢圓C的半焦距為 依題意，得 ， 分
且 ， 分
解得 分
所以，橢圓C的方程是 分
?、?證法一：易知，直線PQ的斜率存在，設(shè)其方程為 分
將直線PQ的方程代入 ，
消去y，整理得 分
設(shè) ， ，
則 ， 分
因為 ，且直線BP，BQ的斜率均存在，
所以 ，整理得 分
因為 ， ，
所以 ，
將 代入 ，整理得 分
將 代入 ，整理得 分
解得 ，或 舍去 .
所以，直線PQ恒過定點 分
證法二：直線BP，BQ的斜率均存在，設(shè)直線BP的方程為 分
將直線BP的方程代入 ，消去y，得 分
解得 ，或 分
設(shè) ，所以 ， ，
所以 分
以 替換點P坐標中的k，可得 分
從而，直線PQ的方程是 .
依題意，若直線PQ過定點，則定點必定在y軸上 分
在上述方程中，令 ，解得 .
所以，直線PQ恒過定點 分
21. 解： Ⅰ 函數(shù) ， 函數(shù) 的定義域為 .
當 時， .
當x變化時， 和 的值的變化情況如下表：
x 1
0
遞減 極小值 遞增
由上表可知，函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 、單調(diào)遞增區(qū)間是 、極小值是 .
Ⅱ 由 ，得 .
若函數(shù) 為 上的單調(diào)增函數(shù)，則 在 上恒成立，
即不等式 在 上恒成立.
也即 在 上恒成立.
令 ，則 .
當 時， ，
在 上為減函數(shù)， .
.
的取值范圍為 .
22. 【解答】
解： 直線l的參數(shù)方程為 為參數(shù) ，消去參數(shù)，可得直線l的普通方程 ，
曲線C的極坐標方程為 ，即 ，曲線C的直角坐標方程為 ，
直線的參數(shù)方程改寫為 ，
代入 ， ， ， ，
.
23. 解： 當 時， ，
當 時，不等式等價于 ，解得 ，即 ;
當 時，不等式等價于 ，解得 ，即 ;
當 時，不等式等價于 ，解得 ，即 .
綜上所述，原不等式的解集為 或 .
由 ，即 ，
得 ，
又 ，
，即 ，
解得 .
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